Книги о треугольниках геометрия (4 видео)

Книги о треугольниках геометрия

ОТ АВТОРА.
В XIX в. в элементарной геометрии на плоскости было проведено миого интересных исследований. Они привели к установлению ряда соотношений в треугольнике; к известным классическим замечательным точкам, прямым и окружностям было присоединено много новых точек, прямых и окружностей. Изложение результатов этих исследований составляет большой отдел планиметрии, известный под названием «Новой геометрии треугольника». На иностранных языках существует ряд сочинений, в которых систематически излагаются результаты исследований в области геометрии треугольника. На русском языке в 1903 г. было выпушено обстоятельное сочинение Д. Ефремова «Новая геометрия треугольника», ныне представляющее библиографическую редкость.
Объем материала соответствует программе факультативного курса по «Новой геометрии треугольника», который я читал в Московском городском педагогическом инстнтуте. Я считал возможным включить в книгу также некоторые результаты, полученные мною и напечатанные в различных журналах (§ 16, 19. 22, 29, 44, 106, 113).
Считаю необходимым выразить благодарность нроф. Д. Перепелкину, причитавшему книгу в рукописи и сделавшему ряд ценных замечаний, которыми я вое по шзовалси при окончательной обработке книги, и Р. Н. Боичковскому, много потрудившемуся над редактированием книги.

При составлении книги мною использована следующая литература:
Д. Ефремов, Новая геометрия треугольника, падание «Вестника опытной физики и элементарной математики». Одесса, 1913.
Exercices dc Gdometrie par F. G., Paris, 1882 и 1912.
Ж. Ада мар. Элементарная геометрия, ч. 1. Планиметрия (перевод под редакцией нроф. Д. И. Перепел кина, Учпедгиз, 1936).
R. Baltzer, Die Elemente der Mathematik.
Roue he et ComberouSse, Traite de Gcometrie 616mentairc, Paris.
Ф. Кеджорн, История элементарной математики, изд Матезис, 1910.
Н. А. Глаголев, Проективная геометрия, ОНТИ, 1936.
Н. Ф. Ч с т в е р у х и н. Введение в высшую геометрию, Учпедгиз, 1934.
Л. Я. Г и р ш в а л ь д. Проективная геометрия, Харьков, ОНТИ Украины, 1935.
Б. К. Млодзее веки й, Основы аналитической геометрии на плоскости.
Цюльке, Построение на ограниченном куске плоскости, ОНТИ, 1936.
Б. Делоне и О. Житомирский, Геометрия и тригонометрия. Задачи с решениями. Научное книгоиздательство, 1929.
М. Попруженко, Сборник геоме’фическнх задач. Планиметрия, Учпедгиз, 1936.
Г. Радемахер и О. Теплиц, Числа и фигуры, ОНТИ, 1936.
Ряд статей из журналов:
«Вестник опытной физики и элементарной математики», «Математическое образование»,«Математическое просвещение», — Математика в школе», Nouvelles annales malhlmatiques. «Journal des mathematiques Olementaires et sp?ciales», Nouvelle correspondence mathimatique, L’Enseignement scientifique.
С. Зетель.

Содержание

Элементы геометрии треугольника. Мякишев А.Г.
Изучение темы Треугольники в курсе геометрии 7-9 классов средней школы
Введение
§ 1 Анализ школьных учебников по теме: «Треугольники» в 7-9 классе
п. 1 Содержание и порядок изложения материала
п. 2 Сравнительный анализ учебников по данной теме
п. п. 1 Определение треугольника
п. п. 2 Равнобедренный треугольник
п. п. 3 Признаки равенства треугольников
п. п. 4 Признаки подобия треугольников
§ 2 Конспекты итоговых уроков по теме «Треугольники» для 7-9 классов
п. 1 Обобщающий урок по теме «Признаки равенства треугольников»
💡 Видео

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Элементы геометрии треугольника. Мякишев А.Г.

Название: Элементы геометрии треугольника. 2002.

Автор: Мякишев А.Г.
2002

Геометрия треугольника справедливо считается одним из интереснейших разделов элементарной геометрии.
В данной брошюре рассматриваются различные замечательные точки и прямые треугольника, а также некоторые преобразования плоскости, свзянные с треугольником. Брошюра содержит краткое введение в барицентрическое исчисление — один из основных методов исследования свойств треугольника.
Текст брошюры подготовлен по материалам лекции, прочитанной автором 13 апреля 2002 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей.

Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой-либо систематизации, не могут не восхищать. Впрочем, иной раз эти благородные чувства перерастают в изумлённое раздражение, едва ли не в протест: если уж с виду такая «игрушечная» область геометрии настолько сложна, то в чём же вообще тогда можно разобраться?

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ТЕОРЕМА ЧЕВЫ
Теорема Чевы: случай внутренней точки
Теорема Чевы: случай внешней точки. Бесконечно удалённые точки плоскости
Теорема Чевы в форме синусов
Некоторые замечательные точки треугольника. Теорема Карно
Некоторые замечательные преобразования, связанные с теоремой Чевы
БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Система материальных точек и её центр масс
Определение барицентрических координат
Барицентрические координаты некоторых замечательных точек
Определение центральной точки
Лемма о трёх точках и две замечательные прямые
Изотомическое и изогональное сопряжения в барицентрических координатах
Изоциркулярное преобразование в барицентрических координатах
Уравнение прямой. Двойственность
Изоциркулярное преобразование и бесконечно удалённая прямая
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Элементы геометрии треугольника. Мякишев А.Г. — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Изучение темы Треугольники в курсе геометрии 7-9 классов средней школы

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математического анализа и

методики преподавания математики

Изучение темы «Треугольники»

в курсе геометрии 7-9 классов средней школы

Выполнила студентка математического

факультета группы М-41

Научный руководитель Ошуева Е.С.

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Введение

Треугольник является важнейшей фигурой планиметрии, и потому в первую очередь изучают свойства этой фигуры. С ним связаны многие методы, используемые при решении различных геометрических задач. Любой многоугольник может быть разделён на треугольники, а изучение свойств этого многоугольника, сводится к изучению составляющих его треугольников. В каком-то смысле изучаемая в школьном курсе геометрия — это геометрия треугольника. Поэтому очень важно представлять себе методику изложения этой темы в различных учебных пособиях для правильного построения курса и избежания методических ошибок.

Данная работа проведена с целью, проследить методику изложения темы «Треугольники» в курсе геометрии 7-9 класса средней школы, а также подготовить конспекты итоговых уроков по данной теме.

Анализ проводится по 4 основным учебникам, наиболее часто встречаемым в школьной практике. Это учебники А.В. Погорелова Геометрия 7-11 (8 издание), Л.С. Атанасяна, Б.Ф. Бутузова и др. Геометрия 7-9, А.П. Киселёва Геометрия 7-9, И.Ф. Шарыгина Геометрия 7-9.

Проанализировать подходы и особенности изложения данной темы.

Проследить соответствие материала учебников содержанию обучения, принятого министерством образования Р.Ф.

Выявить достоинства и недостатки изложения этой темы.

Разработать 4 конспекта уроков итогового повторения.

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

§ 1 Анализ школьных учебников по теме: «Треугольники» в 7-9 классе

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

п. 1 Содержание и порядок изложения материала

Л.С. Атанасян и др.

Соотношения между сторонами и углами

Основные свойства простейших геометрических фигур

Смежные и вертикальные

Признаки равенства треугольников

Сумма углов треугольника

Декартовы координаты на плоскости

Понятие об измерении величин

Подобие фигур произвольного вида

Некоторые теоремы о пропорциональных отрезков

Метрические соотношения между элементами треугольника

Пропорциональные линии в круге

тригонометрические функции острого угла

Первые понятия геометрии

Основные свойства плоскости

Треугольник и окружность. Начальные сведения

Виды геометри-ческих задач и методы их решения

Параллельные прямые и углы

Метрические соотношения в треугольнике и окружности

Задачи и теоремы геометрии

Содержание рассмотренных выше учебников соответствует содержанию образования и даже по некоторым вопросам превосходит её.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

п. 2 Сравнительный анализ учебников по данной теме

Видео:ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать

п. п. 1 Определение треугольника

Существуют два подхода к определению треугольника:

1 подход. Понятие треугольника вводится конструктивно: как фигура, состоящая из трёх точек и трёх отрезков соединяющих эти точки. Такой подход реализован в учебнике Атанасяна и в учебнике Погорелова. При этом ничего не говорится о плоскости треугольника. Это делается с целью отступления от теоретико-множественной концепции и от определения равных геометрических фигур с помощью отображений, сохраняющих расстояния (перемещений и движений). Но и здесь есть существенные различия.

В книге Погорелова даётся следующее определение треугольника: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки». Смысл выражения «отрезок соединяет точки» нигде не объяснён. Хотя об этом и легко догадаться; но смысл слова «попарно» совсем не очевиден для семиклассника. Кроме того, определение существенно зависит от обозначений, чего явно в формулировке не указано. В целом, формулировка воспринимается как тяжеловесная и трудная для понимания. У Атанасяна определение чисто конструктивное, оно наглядно и легче воспринимается школьниками.

2 подход. Понятие треугольника даётся как частный случай многоугольника, но в этом понятии говорится не только о фигуре образованной замкнутой линией, но и о части плоскости ограниченной этой замкнутой линией. Этот подход реализован в учебниках Киселёва и Шарыгина. Здесь определение треугольника отдельно не рассматривается. Впоследствии Атанасян и Погорелов всё же обращаются ко второму подходу в теме «Многоугольники» т.к это понятие им потребуется для определения понятия площади.

Определение равенства треугольников во всех четырёх учебниках даётся через совмещение равных фигур путём наложения. Но в учебниках со вторым подходом подразумевается, что и плоскости треугольников также совмещаются наложением.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

п. п. 2 Равнобедренный треугольник

Определение равнобедренного и равностороннего треугольника одинаковое во всех учебниках. Такое определение является общепринятым в математике.

В учебниках Киселёва и Шарыгина свойства равнобедренного треугольника рассматриваются в одной теореме. Доказательства проводятся аналогично, с использованием осевой симметрии относительно биссектрисы треугольника и определения равных треугольников. В силу того, что ни Атанасян, ни Погорелов не используют движения плоскости в 7 классе, основой для доказательства свойств равнобедренных треугольников являются признаки равенства треугольников.

Атанасян в доказательстве свойств равнобедренного треугольника пользуется первым признаком равенства треугольников. В книге Погорелова свойства равнобедренного треугольника доказываются с использованием определения треугольника как упорядоченной тройки точек, но ни где не поясняется, что ΔCAB и ΔCBA это разные треугольники, а не один и тот же по-разному обозначенный. Такое доказательство учениками 7 класса понимается довольно трудно. Автор, уклонившись от явной формулировки определения треугольника как ориентированного пути, ставит ученика лицом к лицу с рассуждениями, которые может понять только тот, кто совершенно чётко представляет себе треугольник как ориентированный путь (это хоть и не явное, но обращение к теоретико-множественному подходу, который так тщательно избегается). Поэтому такие доказательства воспринимаются учениками как цирковой фокус.

Признаки равнобедренного треугольника в учебнике Атанасяна не рассматриваются, хотя эти теоремы очень полезные. В учебнике Погорелова приводится один признак (через равенство углов при основании). Полностью все признаки рассмотрены только у Шарыгина.

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

п. п. 3 Признаки равенства треугольников

Во всех четырёх учебниках применяется один и тот же подход с использованием аксиомы существования треугольника равного данному. Но нигде ссылок на эту аксиому нет. Доказательства проводятся на основе наглядности с помощью наложения и приложения. В учебнике Погорелова эта аксиома формулируется, но непосредственно при доказательстве на неё ссылки не делаются. Лишь после доказательства первого признака равенства треугольников проводится подробный разбор его с указанием используемых в доказательстве аксиом. Это введено с целью, сделать доказательство более строгим, чем, например доказательство, приведённое у Киселёва. Как нам кажется, именно для этого автор вводит такое нетрадиционное определение треугольника.

Доказательства, приведённые в учебниках Атанасяна и Киселёва аналогичны. Но в учебнике Киселёва, исходя из введенного им определения треугольника, следовало бы ещё доказать, что плоскости треугольников так же совпадут при наложении (о чём в доказательствах даже не упомянуто). В учебнике Атанасяна аксиомы не являются основой, на которой строится школьный курс геометрии (вместе с тем, в приложении в конце учебника подробно изложен вопрос о системе аксиом в курсе геометрии). По нашему мнению, большое преимущество по сравнению с учебным пособием Киселёва, имеет использование в учебнике Атанасяна в качестве основного рабочего аппарата признаки равенства треугольников, а не свойства геометрических преобразований. Такой подход позволяет отработать общие приёмы доказательства теорем. Эти доказательства строятся по схеме: поиск равных треугольников → доказательство предполагаемого равенства → обоснование новых утверждений. Благодаря использованию признаков равенства треугольников легче усваиваются основные теоремы планиметрии (свойства и признаки серединного перпендикуляра, свойства равнобедренного треугольника, теорема о внешнем угле треугольника, свойства и признаки параллельных прямых и параллелограмма, теорема Фалеса, признаки подобия треугольников и т.п.). В учебнике Атанасяна первый признак рассматривается в отрыве от двух других. Это обосновано тем, что он является основой для доказательства свойств равнобедренного треугольника, облегчающих доказательство третьего признака равенства треугольников.

Лишь в учебниках Киселёва и Шарыгина все три признака изучаются последовательно т.к. там не требуется разбивать их для доказательства свойств равнобедренных треугольников.

В учебнике Шарыгина кроме наложения используются ещё и симметрия, что усложняет доказательства. Доказательство третьего признака проводится с использованием элементов построения. Кроме того, применяется движение называемое переносом, но нигде не указано как оно осуществляется и действительно ли переводит одну точку в другую. Кроме трёх традиционных признаков равенства треугольников приводится ещё один для тупого угла и двух не образующих его сторон. Доказательство вытекает из задачи о не существовании треугольника равного данному, если равны две стороны и не содержащийся между ними угол.

Видео:Миникурс по геометрии. ТреугольникиСкачать

п. п. 4 Признаки подобия треугольников

Определение подобных треугольников даётся как треугольники, у которых соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Атанасян вводит понятие пропорциональных сходственных сторон. Аналогичное определение приведено в учебнике Киселёва. В учебнике Шарыгина понятие аналогично определению, приведённому у Погорелова, но оно ни как не связано с обозначениями.

Доказательство признаков подобия треугольников в учебнике геометрии А.В. Погорелова основывается на свойствах гомотетии, вывод которых использует формулу расстояния между точками на координатной плоскости и тем самым теорему Пифагора. А теорема Пифагора, в свою очередь, доказывается на основе тригонометрических функций угла, корректность определений которых проверяется с помощью обобщённой теоремы Фалеса, утверждающей, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки. Ясно, что теорема Фалеса является частью признаков подобия, здесь наблюдается нежелательный в методическом отношении отход от поступательного развития курса. Кроме того, при доказательстве теоремы Фалеса процесс измерения отрезков, и в случае, когда отрезки не соизмеримы, осознавание процесса их измерения происходит у учащихся со значительными трудностями. Этот материал занимает время всего курса геометрии в 8 классе. Теорема Фалеса рассматривается в самом начале 8 класса, а признаки подобия в самом конце 8 класса. В этом плане предпочтительнее расположение материала в учебном пособии Киселёва. Но и у него доказательство признаков подобия основано на такой лемме: прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному. При доказательстве этой леммы рассматриваются отдельно случаи, когда отношение сторон треугольников является либо рациональным, либо иррациональным числом, доказательство усложняется также использованием общей меры и аксиом. А у Атанасяна площади фигур, в отличие от трёх других учебников, рассматриваются раньше, и поэтому удаётся обойти указанную трудность. Фактически она преодолевается один раз при доказательстве свойств пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике. В этом и состоит одно из преимуществ раннего введения понятия площади.

Как уже видно метод доказательства признаков подобия треугольников в учебнике Атанасяна является существенно другим. Так доказательство первого признака подобия треугольников в этом учебнике основывается на теореме об отношении площадей треугольников, утверждающей, что если в треугольниках ABC и A₁ B₁ C₁ углы А и А₁ равны, то . Эта теорема не является традиционной для школьного курса и скорее всего носит вспомогательный характер. С другой стороны на основе этой теоремы весьма просто доказывается, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. По сути дела всё доказательство в одну строчку. Эта же теорема позволяет дать простое доказательство признаков подобия треугольников. В то же время её удалённость от места применения накладывает определённые трудности на усвоение учащимися доказательства признаков подобия треугольников. Здесь лучше модифицировать её, с тем, чтобы её можно было применить непосредственно в теме «Признаки подобия треугольников». У Погорелова такой теоремы нет, что делает невозможным решение его методами задач такого плана:

Треугольники АВС и А₁ В₁ С₁ подобны, их соответствующие стороны относятся как 6: 5. Площадь Δ АВС больше площади Δ А₁ В₁ С₁ на 77 см 2 . Найдите площади треугольников.

В учебнике Шарыгина доказывается терема о пропорциональных отрезках и свойства параллельных прямых. Все три признака подобия формулируются друг за другом, и для всех приводится одно доказательство с некоторыми пояснениями для каждого из признаков. Применяются дополнительные построения для каждого, а дальше используется предыдущая теорема с некоторыми вариациями и признаки равенства треугольников.

Об отношении площадей подобных фигур так же ничего не говорится.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)Скачать