Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.
I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.
Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.
Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.
Дано:
СF — биссектриса ∠ABC
Доказательство:
Опишем около треугольника ABC окружность и продлим биссектрису CF до пересечения с окружностью в точке D. Соединим точки A и D отрезком.
Рассмотрим треугольники BCF и DCA.
∠BCF=∠DCA (по условию);
Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
Что и требовалось доказать.
II. Через три стороны треугольника
Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле
По свойству биссектрисы треугольника:
Согласно утверждению 1,
Что и требовалось доказать.
III Через две стороны треугольника и угол между ними.
Длина биссектрисы треугольника через две стороны, образующие угол, из вершины которого исходит биссектриса, и угол между этими сторонами выражается по формуле
Видео:Найди длину биссектрисы. Непростая задача №3Скачать
Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника
Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника
Можно вывести различные формулы, с помощью которых можно вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны:
· длины прилежащих сторон и угол между ними
· длины прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону
· длины трех сторон треугольника.
Докажем первую из формул.
Задача 1. Вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны длинны двух прилежащих сторон треугольника и угол между ними.
Решение. Пусть в треугольнике АВС известно, что
.
Обозначим биссектрису AD через la .
.
Используя формулу синуса двойного угла, получаем:
.
Ответ: .
Выражение называется средним гармоническим чисел а и с. Поэтому формулу можно запомнить следующим образом:
биссектриса треугольника равна произведению среднего гармонического прилежащих сторон треугольника на косинус половинного угла между ними.
Доказательство остальных формул можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».
Задача 2. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12.
Решение. Воспользуемся формулой для вычисления биссектрисы угла, если известны три стороны треугольника:
Задача 3. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.
Пусть в треугольнике АВС АС=35, АВ=14, AD — биссектриса, AD=12.
,
Вычислим , получаем:
, .
(по основному тригонометрическому тождеству).
Далее по формуле синуса двойного угла вычисляем
.
Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой .
Задача 4. . В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD
проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 20 и DE = 10. Найдите BE.
Используя свойство биссектрисы угла треугольника (урок 4), получаем
, то есть .
Таким образом, нам известны длины двух прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону, поэтому
Ответ :.
Задачи для самостоятельного решения
1. Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.
2. В треугольнике ABC известно, что АВ = 10, АС = 15, BAC = 120°. Найдите биссектрису AD.
3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины прямого угла.
4. В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 18 и DE = 12. Найдите BE.
Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать
Биссектриса треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти биссектрису треугольника. Для нахождения длины биссектрисы треугольника введите длины сторон треугольника, выберите сторону, к которой проведена биссектриса и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Определение 1. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника (Рис.1).
Биссектриса треугольника также называют биссектрисей угла треугольника или биссектрисей внутреннего угла треугольника.
Биссектриса внешнего угла треугольника − это биссектриса угла, которая является смежным с внутренним углом треугольника (Рис.2).
Любой треугольник имеет три биссектрисы.
Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Проведем биссектрисы AA1, BB1 и обозначим через O точку их пересечения (Рис.3). Из точки O проведем перпендикуляры OK, OM и OL по сторонам треугольника ABC. По теореме 1 статьи Биссектриса угла. Свойства − OK=OL OK=OM. Следовательно OL=OM. Но последнее равенство означает, что точка O равноудалена от сторон AC и BC, т.е. находится на биссектрисе CC1 (Определение 2 статьи Биссектриса угла. Свойства).
Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром треугольника. Инцентр треугольника является центром вписанной в треугольник окружности (Рис.4).
Доказательство следует из теоремы 1, поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC и, следовательно, является центром окружности равной OK=OL=OM.
Видео:Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать
Длина биссектрисы треугольника
Рассмотрим треугольник на Рис.5.
Длина биссектрисы треугольника можно вычислить следующими формулами:
где p − полупериметр треугольника ABC, ( small gamma -) угол между биссектрисой ( small l_c) и вершиной ( small h_c:)
, |
Доказательство. 1) Из теоремы Стюарта следует:
(1) |
А из теоремы о биссектрисе треугольника следует, что если lc является биссектрисей треугольника ABC (Рис.5), то имеет место следующее соотношение:
(2) |
Поскольку то (2) можно переписать так:
(3) |
(4) |
(5) |
Подставим (4) и (5) в (1):
. | (6) |
. |
Доказательство. 2) Подставим (4) и (5) в (6):
, |
. | (7) |
. | (8) |
Доказательство. 3) Сделаем следующее обозначение:
. | (9) |
Сделаем преобразования формулы (7), учитывая (9):
. |
. | (10) |
Доказательство. 4) Для доказательства четвертой формулы, снова обратимся к рисунке Рис.5. Запишем формулы площадей треугольников ABC, ADC и BDC:
, |
, |
. |
Учитывая, что , получим:
. |
. | (11) |
Для ( small sin C ) применим формулу синуса двойного угла:
. | (12) |
Подставляя (12) в (11) получим:
. |
. | (13) |
Доказательство. 5) Докажем пятую формулу. Из вершины C проведена вершина CH. Имеем прямоугольный треугольник CHD, для которого имеет место следующее равенство:
. |
. |
Остается показать, что .
Поскольку биссектриса lc делит угол C пополам, то:
🎥 Видео
Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
длина биссектрисы #SHORTSСкачать
Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать
Найдите биссектрису угла треугольника на рисунке ★ Два способаСкачать
Как найти биссектрису в треугольнике? 2 формулы биссектрисыСкачать
Секретные формулы биссектрисы треугольника!😉❤️🔥#математика #егэСкачать
Первая формула нахождения длины биссектрисы угла треугольника.Скачать
Длина биссектрисы треугольникаСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Найдите биссектрису треугольникаСкачать
Вычисление длины биссектрисы треугольникаСкачать
Формула биссектрисы треугольникаСкачать
56 Длина биссектрисы треугольникаСкачать
Длина биссектрисы, проведённой к стороне с треугольника вычисляется по формуле. Найдите биссектрису.Скачать
Длина биссектрисы треугольника.Скачать
Формула длины биссектрисы треугольникаСкачать
Свойства биссектрисы. Длина биссектрисы.Скачать