Касательная к окружности образуют угол 90

Углы, связанные с окружностью
Касательная к окружности образуют угол 90Вписанные и центральные углы
Касательная к окружности образуют угол 90Углы, образованные хордами, касательными и секущими
Касательная к окружности образуют угол 90Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Касательная к окружности образуют угол 90

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Касательная к окружности образуют угол 90

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:ЕГЭ 2017 | Задание 3 | Касательные CA и CB к окружности ... ✘ Школа ПифагораСкачать

ЕГЭ 2017 | Задание 3 | Касательные CA и CB к окружности ... ✘ Школа Пифагора

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголКасательная к окружности образуют угол 90
Вписанный уголКасательная к окружности образуют угол 90Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголКасательная к окружности образуют угол 90Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголКасательная к окружности образуют угол 90Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголКасательная к окружности образуют угол 90Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаКасательная к окружности образуют угол 90

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Касательная к окружности образуют угол 90

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Касательная к окружности образуют угол 90

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Касательная к окружности образуют угол 90

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Касательная к окружности образуют угол 90

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Касательная к окружности образуют угол 90

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Касательная к окружности образуют угол 90

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиКасательная к окружности образуют угол 90Касательная к окружности образуют угол 90
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаКасательная к окружности образуют угол 90Касательная к окружности образуют угол 90
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияКасательная к окружности образуют угол 90Касательная к окружности образуют угол 90
Угол, образованный касательной и секущейКасательная к окружности образуют угол 90Касательная к окружности образуют угол 90
Угол, образованный двумя касательными к окружностиКасательная к окружности образуют угол 90Касательная к окружности образуют угол 90

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Касательная к окружности образуют угол 90
Формула: Касательная к окружности образуют угол 90
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Касательная к окружности образуют угол 90

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Касательная к окружности образуют угол 90
Формула: Касательная к окружности образуют угол 90
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Касательная к окружности образуют угол 90

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Касательная к окружности образуют угол 90

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Угол между касательной и хордойСкачать

Угол между касательной и хордой

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Касательная к окружности образуют угол 90

В этом случае справедливы равенства

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Касательная к окружности образуют угол 90

В этом случае справедливы равенства

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Касательная к окружности образуют угол 90

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности образуют угол 90

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Касательная к окружности

Касательная к окружности образуют угол 90

О чем эта статья:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Касательная к окружности образуют угол 90

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Касательная к окружности образуют угол 90

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Касательная к окружности образуют угол 90

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Касательная к окружности образуют угол 90

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Касательная к окружности образуют угол 90

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Касательная к окружности образуют угол 90

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Касательная к окружности образуют угол 90

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Касательная к окружности образуют угол 90

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Касательная к окружности образуют угол 90

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Касательная к окружности образуют угол 90

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Касательная к окружности образуют угол 90

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Построение касательной к окружности.Скачать

Построение касательной к окружности.

Касательная к окружности угол 90

Видео:КАСАТЕЛЬНАЯ к ОКРУЖНОСТИ 8 класс геометрия АтанасянСкачать

КАСАТЕЛЬНАЯ к ОКРУЖНОСТИ 8 класс геометрия Атанасян

Касательная к окружности угол 90

Задание 19. Какие из следующих утверждений верны?

1) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

2) Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.

3) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

1) Нет, касательная с радиусом образуют угол в 90 градусов.

2) Да, если один из углов ромба 90 градусов, то это квадрат.

3) Да, сумма углов любого треугольника 180 градусов.

Касательная к окружности образуют угол 90

  • Вариант 1
  • Вариант 1. Задания по ОГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Решения заданий по номерам
    • 1-5
    • 6
    • 7
    • 8
    • 9
    • 10
    • 11
    • 12
    • 13
    • 14
    • 15
    • 16
    • 17
    • 18
    • 19
    • 20
    • 21
    • 22
    • 23
    • 24
    • 25
  • Вариант 2
  • Вариант 2. Задания по ОГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Решения заданий по номерам
    • 1-5
    • 6
    • 7
    • 8
    • 9
    • 10
    • 11
    • 12
    • 13
    • 14
    • 15
    • 16
    • 17
    • 18
    • 19
    • 20
    • 21
    • 22
    • 23
    • 24
    • 25
  • Вариант 3
  • Вариант 3. Задания по ОГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Решения заданий по номерам
    • 1-5
    • 6
    • 7
    • 8
    • 9
    • 10
    • 11
    • 12
    • 13
    • 14
    • 15
    • 16
    • 17
    • 18
    • 19
    • 20
    • 21
    • 22
    • 23
    • 24
    • 25
  • Вариант 4
  • Вариант 4. Задания по ОГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Решения заданий по номерам
    • 1-5
    • 6
    • 7
    • 8
    • 9
    • 10
    • 11
    • 12
    • 13
    • 14
    • 15
    • 16
    • 17
    • 18
    • 19
    • 20
    • 21
    • 22
    • 23
    • 24
    • 25
  • Вариант 5
  • Вариант 5. Задания по ОГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Решения заданий по номерам

    Внимание! Нумерация заданий в сборнике 2021 отличается от сборника 2020

  • Касательная к окружности образуют угол 90
  • Вариант 7
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 5. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 1. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 14
  • Вариант 8
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 5. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 2. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 14
  • Вариант 9
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 19. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 3. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 14
  • Вариант 10
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 20. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 4. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 14
  • Вариант 11
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 13. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 5. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 8
    • 14
  • Вариант 12
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 14. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 6. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 8
    • 14
  • Вариант 13
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 11. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 7. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 8
    • 14
  • Вариант 14
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 12. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 8. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 8
    • 14
  • Вариант 15
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 35. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 9. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 14
  • Вариант 16
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 36. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 10. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 14
  • Вариант 17
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 11. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 1-5
    • 14
  • Вариант 18
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 12. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 1-5
    • 14
  • Вариант 19
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 15. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 13. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 8
    • 14
  • Вариант 20
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 16. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 14. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 8
    • 14
  • Вариант 21
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 29. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 15. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 8
    • 14
  • Вариант 22
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 30. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 16. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 8
    • 14
  • Вариант 23
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 31. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 17. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 14
  • Вариант 24
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 32. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 18. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 14
  • Вариант 25
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 27. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 19. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 14
  • Вариант 26
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 28. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 20. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 14
  • Вариант 27
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 1. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 21. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 8
    • 14
  • Вариант 28
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 2. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 22. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 8
    • 14
  • Вариант 29
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 23. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 1-5
    • 8
    • 14
  • Вариант 30
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 24. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 1-5
    • 8
    • 14
  • Вариант 31
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 23. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 25. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 14
  • Вариант 32
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 24. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 26. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 14
  • Вариант 33
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 4. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 31. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 14
  • Вариант 34
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 21. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 32. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 14
  • Вариант 35
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 17. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 33. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 8
    • 14
  • Вариант 36
  • Задания 1-5 полностью совпадают с Вариант 18. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Задания 6-25 полностью совпадают с Вариант 34. Задания по ОГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
  • Кроме заданий:
    • 8
    • 14

Видео:Геометрия. 8 класс. Урок 9 "Касательные к окружности"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 9 "Касательные к окружности"

Касательная к окружности

Касательная к окружности образуют угол 90

О чем эта статья:

Видео:Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Касательная к окружности образуют угол 90

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Геометрия 5. Касательная к окружности.Скачать

Геометрия 5. Касательная к окружности.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Касательная к окружности образуют угол 90

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Касательная к окружности образуют угол 90

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Касательная к окружности образуют угол 90

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Касательная к окружности образуют угол 90

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Касательная к окружности образуют угол 90

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Касательная к окружности образуют угол 90

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Касательная к окружности образуют угол 90

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Касательная к окружности образуют угол 90

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Касательная к окружности образуют угол 90

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Касательная к окружности образуют угол 90

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Касательная к окружности

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.

Касательная к окружности образуют угол 90

. Угол равен , где — центр окружности. Его сторона касается окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности образуют угол 90

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол — прямой. Из треугольника получим, что угол равен градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги — тоже градуса.

. Найдите угол , если его сторона касается окружности, — центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности образуют угол 90

Это чуть более сложная задача. Центральный угол опирается на дугу , следовательно, он равен градусов. Тогда угол равен . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол — прямой. Тогда угол равен .

. Хорда стягивает дугу окружности в . Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности образуют угол 90

Проведем радиус в точку касания, а также радиус . Угол равен . Треугольник — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол равен градуса, и тогда угол равен градусов, то есть половине угловой величины дуги .

Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

. К окружности, вписанной в треугольник , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны , , . Найдите периметр данного треугольника.

Касательная к окружности образуют угол 90

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника складывается из периметров отсеченных треугольников.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна . Его периметр равен . Найдите радиус этой окружности.

Касательная к окружности образуют угол 90

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку с вершинами . Получились треугольники и .
Очевидно, что площадь многоугольника .
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

🔍 Видео

Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательной

ОГЭ математика. Задание 16. Окружность. Касательная.Скачать

ОГЭ математика. Задание 16. Окружность. Касательная.

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордойСкачать

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордой

Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать

Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность |  Геометрия

Прямая касается окружности в точке K ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Прямая касается окружности в точке K ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательной

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ в точке ЗАДАЧИ 8 классСкачать

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ в точке ЗАДАЧИ 8 класс
Поделиться или сохранить к себе: