Касательная к окружности ко 6 см найти kl

О чем эта статья:

Видео:Касательная к окружности | Геометрия 7-9 класс #69 | ИнфоурокСкачать

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

• окружность с центральной точкой А;
• прямая а — касательная к ней;
• радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

«окружность. Касательная к окружности»

Главная > Документ

ТЕМА: «ОКРУЖНОСТЬ. КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ»

Окружность – замкнутая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от одной точки, называемой центром окружности.

Окружность с центром в точке О и радиусом R :

Радиус окружности ( R , r) – отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности.

Хорда окружности – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр окружности ( D ) – хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам:

Взаимное расположение прямой и окружности:

1) Прямая может пересекать окружность в двух точках , если расстояние d от центра окружности О до прямой меньше радиуса окружности r : d r .

2) Прямая может касаться окружности в одной точке , если расстояние d от центра окружности О до прямой равно радиусу окружности r : d = r .

3) Прямая может не иметь окружностью общих точек , если расстояние d от центра окружности О до прямой больше радиуса окружности r : d > r .

1)2) 3)

Касательная к окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку называется касательной к окружности.

— Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

— Обратно (признак касательной): если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Свойство касательных к окружности

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Пример 1. По данным рисунка найдите KL .

1) KL – касательная к окружности  ОК  KL (по свойству касательной к окружности)  OKL – прямоугольный;

2) OKL – прямоугольный  ; ; ; KL = .

Ответ: KL = .

Пример 2. По данным рисунка найдите угол АНМ, если НМ – касательная к окружности.

1) НМ – касательная  НМ  ОН (по свойству касательной)  ОНМ = 90;

2) АН = ОН (по условию), ОА = ОН (радиусы окружности)  ОНА – равносторонний 

АНО = 60 (углы равностороннего треугольника равны 180 : 3 = 60);

3) АНМ = ОНМ — АНО = 90 — 60 = 30.

Пример 3. По данным рисунка докажите, что АН = НВ.

Доказать: АН = НВ

1) ОА  СА, ОВ  СВ  СА и СВ – касательные к Окр.(О; r) (по признаку касательной к окружности);

2) СА и СВ – касательные к Окр.(О; r)  СА = СВ, АСО = ВСО (по свойству касательных);

3) СА = СВ  АВС – равнобедренный с основанием АВ (по определению равнобедренного треугольника);

4) АВС – р/бедр. с основ-ем АВ, АСО = ВСО  СН – биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию  СН – медиана (по свойству биссектрисы, проведённой к основанию равнобедренного треугольника)  АН = НВ (по определению медианы).

Видео:Построение касательной к окружности.Скачать

В окружности с центром в точке O и радиусом 6 см проведены секущая KO и касательная KL?

Геометрия | 5 — 9 классы

В окружности с центром в точке O и радиусом 6 см проведены секущая KO и касательная KL.

Найдите отрезок касательный KL, если KO = 10см.

Ответ дайте в сантиметрах.

LK — касательная, то она перпендикулярна радиусу.

Значит, треугольник OLK — прямоугольный.

По теореме Пифагора : LK2 + LO2 = OK2 LK2 = OK2 — LO2 LK2 = 100 — 36 LK2 = 64 LK = 8см.

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Точка Р от центра окружности радиуса 6 см на 12 см, из этой точки проведены к окр касательная и секущая, проходящая через центр окружности?

Точка Р от центра окружности радиуса 6 см на 12 см, из этой точки проведены к окр касательная и секущая, проходящая через центр окружности.

Чему равен угол между касательной и секущей?

Видео:#59. Олимпиадная задача о касательной к окружности!Скачать

К окружности с центром в точке О проведены касательные АВ и секущая АО?

К окружности с центром в точке О проведены касательные АВ и секущая АО.

Найдите радиус окружности, если АВ = 4, АР = 2.

Видео:Построение касательной к окружностиСкачать

К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО?

К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО.

Найдите радиус окружности, если АВ = 12см, АО = 13 см.

Видео:Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать

К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО?

К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО.

Найдите радиус окружности если АВ = 12 АО = 13.

Мне нужно решение!

Видео:ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА. Сделай выбор: на чьей ты стороне?Скачать

Дана окружность с центром О, ОВ — радиус?

Дана окружность с центром О, ОВ — радиус.

Через точку В к окружности проведена касательная.

Точка С — точка, лежащая на касательной.

Докажите, что отрезок ОС больше радиуса окружности.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

К окружности с центром в точке 0 проведены касательная АВ и секущая АО?

К окружности с центром в точке 0 проведены касательная АВ и секущая АО.

Найдите радиус окружности если АВ = 20, АО = 29.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

ПОМОГИТЕ?

К окружности с центром в точке О и радиусом 6 см проведены секущая KO и касательная KL.

Найдите отрезок касательной KL, если KO = 10 см.

Ответ в сантиметрах и с решением.

Видео:Касательные к окружностиСкачать

К окружности с центром в точке О проведена касательная АВ и секущая АО?

К окружности с центром в точке О проведена касательная АВ и секущая АО.

Найдите радиус окружности, если АВ = 6, АQ = 9 ответ полный.

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

К окружности с центром в точке О проведены секущая FO и касательная FE?

К окружности с центром в точке О проведены секущая FO и касательная FE.

Найдите отрезок касательной FE, если FO = 25см, ОЕ = 7 см.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Окружность с центром в точке о проведены касательная ab и секущая ao найдите радиус окружности если AB = 63, AO = 87?

Окружность с центром в точке о проведены касательная ab и секущая ao найдите радиус окружности если AB = 63, AO = 87.

Если вам необходимо получить ответ на вопрос В окружности с центром в точке O и радиусом 6 см проведены секущая KO и касательная KL?, относящийся к уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Геометрия вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.

🔍 Видео

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Касательная к окружностиСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ. КАСАТЕЛЬНАЯ к окружности. §20 геометрия 7 классСкачать

Строим касательную к окружности (Задача 3).Скачать