Касательная к двум окружностям циркулем

Построение общей внутренней касательной к двум окружностям

Даны две окружности (а это значит, что даны и их центры O1 и O2). Требуется провести общую внутреннюю касательную к ним, то есть такую касательную, от которой данные окружности лежат по разные стороны.

Радиус большей окружности называем R, радиус меньшей окружности — r. Сначала вокруг меньшей окружности построим вспомогательную окружность с тем же центром и с радиусом, равным сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Затем построим из центра большей окружности вспомогательную касательную к вспомогательной окружности. Требуемая внутренняя касательная будет параллельна вспомогательной касательной. Отложим первый вспомогательный луч с началом в точке A. Замерим циркулем радиус большей окружности, и тем же раствором циркуля от начала первого луча отложим отрезок AB, равный R. Теперь циркулем замерим радиус меньшей окружности, и тем же раствором циркуля от точки B отложим отрезок BC, равный r. Получился отрезок AC, равный сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Замерим AC циркулем, и тем же раствором циркуля построим первую вспомогательную окружность с центром в O1. Теперь соединим отрезком центры O1 и O2. Произвольным раствором циркуля строим вторую вспомогательную дугу окружности с центром O1. И тем же раствором циркуля строим третью вспомогательную дугу окружности с центром O2 — так, чтобы третья дуга пересекала вторую в двух точках (называем их D и E). Соединяем D и E отрезком, который пересекает O1O2 в середине — эту точку называем F. Теперь замерим циркулем FO1 и этим раствором циркуля строим четвёртую вспомогательную окружность с центром в F на отрезке O1O2, как на диаметре. Эта четвёртая окружность пересекает первую вспомогательную окружность в двух точках (называем их G и H). Выбираем из этих двух точек ту, которая нам больше нравится (в данном построении это точка H), и соединяем прямой с точкой O2. Прямая HO2 — это касательная к первой вспомогательной окружности, проходящая через центр большой данной окружности. Прямая HO2 пересекла большую окружность в двух точках (называем их K и L). Эти точки равно отстоят от O2 и помогут нам построить перпендикуляр к HO2. Произвольным раствором циркуля проводим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в K. Тем же раствором циркуля проводим шестую вспомогательную дугу окружности с центром в L — так, чтоб шестая дуга пересекала пятую в некоторой точке (называем точку M). Соединяем O2 и M прямой — эта прямая (перпендикуляр к HO2) пересекает большую данную окружность в некоторой точке (называем её N). Теперь через N проведём прямую, параллельную вспомогательной касательной HO2. Произвольным раствором циркуля строим седьмую вспомогательную окружность с центром в точке N — так, чтоб седьмая окружность пересекала HO2 в двух точках (точки называем P и Q). Тем же раствором циркуля строим восьмую вспомогательную окружность с центром в Q, и восьмая окружность пересекает вспомогательную касательную HO2 в двух точках (точки называем Z и S). Тем же раствором циркуля проводим девятую вспомогательную дугу окружности с центром в S — так, чтобы девятая дуга пересекала седьмую окружность в некоторой точке (точку называем T). Соединяем N и Т прямой — эта прямая NT и будет требуемой общей внутренней касательной к двум данным окружностям. И вот почему. NT проходит через конец радиуса O2N, лежащий на окружности. Также по построению NT параллельна HO2 и перпендикулярна радиусу O2N — следовательно, NT — касательная к большой данной окружности. Теперь проведём радиус O1H и точку его пересечения с прямой TN называем U. Радиус O1H перпендикулярен касательной O2H — значит, угол O2HU — прямой. Получилось, что в четырёхугольнике UHO2N есть три прямых угла — значит, и четвёртый угол HUN прямой, и UHO2N — прямоугольник, в котором сторона HU равна противоположной стороне O2N, то есть радиусу R. Теперь можем найти длину отрезка O1U (составляющего вместе с UH отрезок O1H). Длина равна разности длин O1H и HU, то есть (r + R) — R = r. Выходит, что U отстоит от O1 на r, то есть U лежит на меньшей данной окружности, а это значит, что TN, проходящая через U — проходит через конец радиуса O1U, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то есть TN — касательная к меньшей данной окружности. Построение закончено.

Видео:Внешняя касательная к двум окружностямСкачать

Внешняя касательная к двум окружностям

Что такое касательная к окружности? Свойства касательной к окружности. Общая касательная к двум окружностям

Секущие, касательные — все это сотни раз можно было слышать на уроках геометрии. Но выпуск из школы позади, проходят года, и все эти знания забываются. Что следует вспомнить?

Видео:Касательные к двум окружностям.Скачать

Касательные к двум окружностям.

Сущность

Термин «касательная к окружности» знаком, наверное, всем. Но вряд ли у всех получится быстро сформулировать его определение. Между тем касательной называют такую прямую, лежащую в одной плоскости с окружностью, которая пересекает ее только в одной точке. Их может существовать огромное множество, но все они обладают одинаковыми свойствами, о которых речь пойдет ниже. Как нетрудно догадаться, точкой касания называют то место, где окружность и прямая пересекаются. В каждом конкретном случае она одна, если же их больше, то это будет уже секущая.

Видео:Построение внутренней касательной к двум дугам окружностей.Урок12.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Построение внутренней касательной к двум дугам окружностей.Урок12.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

История открытия и изучения

Понятие касательной появилось еще в древности. Построение этих прямых сначала к окружности, а потом к эллипсам, параболам и гиперболам с помощью линейки и циркуля проводилось еще на начальных этапах развития геометрии. Разумеется, история не сохранила имя первооткрывателя, но очевидно, что еще в то время людям были вполне известны свойства касательной к окружности.

В Новое время интерес к этому явлению разгорелся вновь — начался новый виток изучения этого понятия в сочетании с открытием новых кривых. Так, Галилей ввел понятие циклоиды, а Ферма и Декарт построили к ней касательную. Что же касается окружностей, кажется, еще для древних не осталось секретов в этой области.

Видео:Внутренняя касательная к двум окружностямСкачать

Внутренняя касательная к двум окружностям

Свойства

Радиус, проведенный в точку пересечения, будет перпендикулярен прямой. Это

Касательная к двум окружностям циркулем

Из вышесказанного есть важное следствие. Для каждой точки окружности можно построить касательную, но при этом только одну. Доказательство этого достаточно просто: теоретически опустив на нее перпендикуляр из радиуса, выясняем, что образованный треугольник существовать не может. И это значит, что касательная — единственная.

Видео:Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Построение

Среди прочих задач по геометрии есть особая категория, как правило, не

Касательная к двум окружностям циркулем

Итак, даны окружность и точка, лежащая вне ее границ. И необходимо провести через них касательную. Как же это сделать? Прежде всего, нужно провести отрезок между центром окружности О и заданной точкой. Затем с помощью циркуля следует разделить его пополам. Чтобы это сделать, необходимо задать радиус — чуть более половины расстояния между центром изначальной окружности и данной точкой. После этого нужно построить две пересекающиеся дуги. Причем радиус у циркуля менять не надо, а центром каждой части окружности будут изначальная точка и О соответственно. Места пересечений дуг нужно соединить, что разделит отрезок пополам. Задать на циркуле радиус, равный этому расстоянию. Далее с центром в точке пересечения построить еще одну окружность. На ней будет лежать как изначальная точка, так и О. При этом будет еще два пересечения с данной в задаче окружностью. Именно они и будут точками касания для изначально заданной точки.

Видео:Построение касательной двум окружностям внешнего касанияСкачать

Построение касательной двум окружностям внешнего касания

Интересное

Именно построение касательных к окружности привело к рождению

Касательная к двум окружностям циркулем

Кроме того, касательная к окружности связана с геометрическим смыслом тангенса. Именно от этого и происходит его название. В переводе с латыни tangens — «касательная». Таким образом, это понятие связано не только с геометрией и дифференциальным исчислением, но и с тригонометрией.

Видео:Построение касательной к окружности.Скачать

Построение касательной к окружности.

Две окружности

Не всегда касательная затрагивет лишь одну фигуру. Если к одной окружности можно провести огромное множество прямых, то почему же нельзя наоборот? Можно. Вот только задача в этом случае серьезно усложняется, ведь касательная к двум окружностям может проходить не через любые точки, а взаимное расположение всех этих фигур может быть очень

Касательная к двум окружностям циркулем

Видео:Касательные к окружностиСкачать

Касательные к окружности

Типы и разновидности

Когда речь идет о двух окружностях и одной или нескольких прямых, то даже если известно, что это касательные, не сразу становится ясно, как все эти фигуры расположены по отношению друг к другу. Исходя из этого, различают несколько разновидностей. Так, окружности могут иметь одну или две общие точки или не иметь их вовсе. В первом случае они будут пересекаться, а во втором — касаться. И вот тут различают две разновидности. Если одна окружность как бы вложена во вторую, то касание называют внутренним, если нет — то внешним. Понять взаимное расположение фигур можно не только, исходя из чертежа, но и располагая информацией о сумме их радиусов и расстоянии между их центрами. Если две эти величины равны, то окружности касаются. Если первая больше — пересекаются, а если меньше — то не имеют общих точек.

Так же и с прямыми. Для любых двух окружностей, не имеющих общих точек, можно

Касательная к двум окружностям циркулем

Если речь идет об окружностях, которые имеют одну общую точку, то задача серьезно упрощается. Дело в том, что при любом взаимном расположении в этом случае касательная у них будет только одна. И проходить она будет через точку их пересечения. Так что построение трудности не вызовет.

Если же фигуры имеют две точки пересечения, то для них может быть построена прямая, касательная к окружности как одной, так и второй, но только внешняя. Решение этой проблемы аналогично тому, что будет рассмотрено далее.

Видео:Построение пятиугольника циркулемСкачать

Построение пятиугольника циркулем

Решение задач

Как внутренняя, так и внешняя касательная к двум окружностям, в построении не так уж просты, хоть эта проблема и решаема. Дело в том, что для этого используется вспомогательная фигура, так что додуматься до такого способа самостоятельно

Касательная к двум окружностям циркулем

Прежде всего, около центра большей окружности нужно построить вспомогательную. При этом на циркуле должна быть установлена разница между радиусами двух изначальных фигур. Из центра меньшей окружности строятся касательные к вспомогательной. После этого из О1 и О2 проводятся перепендикуляры к этим прямым до пересечения с изначальными фигурами. Как следует из основного свойства касательной, искомые точки на обеих окружностях найдены. Задача решена, по крайнем мере, ее первая часть.

Для того чтобы построить внутренние касательные, придется решить практически

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к окружности или даже двум и больше — не такая уж сложная задача. Конечно, математики давно перестали решать подобные проблемы вручную и доверяют вычисления специальным программам. Но не стоит думать, что теперь необязательно уметь делать это самостоятельно, ведь для правильного формулирования задания для компьютера нужно многое сделать и понять. К сожалению, есть опасения, что после окончательного перехода на тестовую форму контроля знаний задачи на построение будут вызывать у учеников все больше трудностей.

Что же касается нахождения общих касательных для большего количества окружностей, это не всегда возможно, даже если они лежат в одной плоскости. Но в некоторых случаях можно найти такую прямую.

Видео:Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Примеры из жизни

Общая касательная к двум окружностям нередко встречается и на практике, хоть это и не всегда заметно. Конвейеры, блочные системы, передаточные ремни шкивов, натяжение нити в швейной машинке, да даже просто велосипедная цепь — все это примеры из жизни. Так что не стоит думать, что геометрические задачи остаются лишь в теории: в инженерном деле, физике, строительстве и многих других областях они находят практическое применение.

Видео:Построение общей внешней касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей внешней касательной к двум окружностям

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Касательная к двум окружностям циркулемВзаимное расположение двух окружностей
Касательная к двум окружностям циркулемОбщие касательные к двум окружностям
Касательная к двум окружностям циркулемФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Касательная к двум окружностям циркулемДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Касательная к двум окружностям циркулем

Видео:Построение угла, равного данному. 7 класс.Скачать

Построение угла, равного данному. 7 класс.

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Касательная к двум окружностям циркулем

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиКасательная к двум окружностям циркулем
Каждая из окружностей лежит вне другойКасательная к двум окружностям циркулем
Внешнее касание двух окружностейКасательная к двум окружностям циркулем
Внутреннее касание двух окружностейКасательная к двум окружностям циркулем
Окружности пересекаются в двух точкахКасательная к двум окружностям циркулемКасательная к двум окружностям циркулем
Каждая из окружностей лежит вне другой
Касательная к двум окружностям циркулем
Внешнее касание двух окружностей
Касательная к двум окружностям циркулем
Внутреннее касание двух окружностей
Касательная к двум окружностям циркулем
Окружности пересекаются в двух точках
Касательная к двум окружностям циркулем
Касательная к двум окружностям циркулем
Каждая из окружностей лежит вне другой
Касательная к двум окружностям циркулем

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей
Касательная к двум окружностям циркулем

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Касательная к двум окружностям циркулем

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Внутренняя касательная к двум окружностямКасательная к двум окружностям циркулем
Внутреннее касание двух окружностейКасательная к двум окружностям циркулем
Окружности пересекаются в двух точкахКасательная к двум окружностям циркулем
Внешнее касание двух окружностейКасательная к двум окружностям циркулем
Касательная к двум окружностям циркулем
Касательная к двум окружностям циркулем

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Касательная к двум окружностям циркулем

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям
Касательная к двум окружностям циркулем
Внутренняя касательная к двум окружностям
Касательная к двум окружностям циркулем
Внутреннее касание двух окружностей
Касательная к двум окружностям циркулем
Окружности пересекаются в двух точках
Касательная к двум окружностям циркулем
Внешнее касание двух окружностей
Касательная к двум окружностям циркулем
Касательная к двум окружностям циркулем
Каждая из окружностей лежит вне другой
Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Видео:1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям циркулем

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям циркулем

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям циркулем

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямКасательная к двум окружностям циркулем
Внутренняя касательная к двум окружностямКасательная к двум окружностям циркулем
Общая хорда двух пересекающихся окружностейКасательная к двум окружностям циркулем

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям циркулем

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям циркулем

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям циркулем

Внешняя касательная к двум окружностям
Касательная к двум окружностям циркулем
Внутренняя касательная к двум окружностям
Касательная к двум окружностям циркулем
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям циркулем

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Касательная к двум окружностям циркулем

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Касательная к двум окружностям циркулем

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

💡 Видео

СОПРЯЖЕНИЕ ДУГ ОКРУЖНОСТЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ЛИНИЕЙ [pairing 2 circles with a tangent line]Скачать

СОПРЯЖЕНИЕ ДУГ ОКРУЖНОСТЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ЛИНИЕЙ [pairing 2 circles with a tangent line]

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)

Строим касательную к окружности (Задача 3).Скачать

Строим касательную к окружности (Задача 3).

Построение общей касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей касательной к двум окружностям

Построение 8 угольника циркулемСкачать

Построение 8 угольника циркулем

Касательная к двум окружностям разного диаметра.Скачать

Касательная к двум окружностям разного диаметра.
Поделиться или сохранить к себе: