Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Тест по геометрии 7 класс
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Видео:Прямая касается окружности в точке K ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Вариант 1
Треугольник называется вписанным, если окружность…
а) касается его сторон; б) проходит через его вершины;
в) пересекает его стороны; г) проходит через одну из вершин.
Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий …
а) две точки окружности; б) любые две точки;
в) центр и любую точку окружности; г) нет правильного ответа.
Касательная и радиус окружности в точке касания образуют угол равный…
а) 90; б) 180; в) 360; г) нет правильного ответа.
Касание окружностей называется внутренним, если центры этих окружностей лежат… общей касательной.
а) по одну сторону от; б) на самой;
в) по разные стороны от; г) нет правильного ответа.
Через точку А окружности с центром С проведена касательная АВ. Найдите АВС, если АСВ=63 .
Точка М – середина хорды ВС, О – центр окружности. Найдите углы ВОМ, если B ОС=146 .
в) 34, 56 и 90; г) нет правильного ответа.
Точка М – середина хорды ВС, О – центр окружности. Найдите углы ВОМ, если B СО=70 .
в) 20, 70 и 90; г) нет правильного ответа.
В окружности с центром О проведена хорда КМ. Найдите углы О K М, если ОМК=46 .
в) 44, 46 и 90; г) нет правильного ответа.
В окружности с центром О проведена хорда КМ. Найдите углы О K М, если МОК=84 .
в) 12, 84 и 84; г) нет правильного ответа.
Точка О – центр окружности, АВ и КМ – равные хорды. Тогда АВО= КМО по… признаку .
а) первому; б) второму; в) третьему; г) нет правильного ответа.
Видео:Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касанияСкачать
Вариант 2
Треугольник называется описанным, если окружность…
а) касается его сторон; б) проходит через его вершины;
в) пересекает его стороны; г) проходит через одну из вершин.
Хордой называется отрезок, соединяющий…
а) две точки окружности; б) любые две точки;
в) центр и любую точку окружности; г) нет правильного ответа.
Касательная и диаметр окружности в точке касания образуют угол равный…
а) 90; б) 180; в) 360; г) нет правильного ответа.
Касание окружностей называется внешним, если центры этих окружностей лежат… общей касательной.
а) по одну сторону от; б) на самой;
в) по разные стороны от; г) нет правильного ответа.
Через точку А окружности с центром С проведена касательная АВ. Найдите АСВ, если АВС=59 .
Точка М – середина хорды ВС, О – центр окружности. Найдите углы СОМ, если B ОС=136 .
в) 22, 68 и 90; г) нет правильного ответа.
Точка М – середина хорды ВС, О – центр окружности. Найдите углы СОМ, если С B О=80 .
в) 40, 50 и 90; г) нет правильного ответа.
В окружности с центром О проведена хорда КМ. Найдите углы О K М, если ОКМ=56 .
в) 56, 56 и 68; г) нет правильного ответа.
В окружности с центром О проведена хорда КМ. Найдите углы О K М, если КОМ=68 .
в) 44, 68 и 68; г) нет правильного ответа.
Точка О – центр окружности, АВ и ВС – хорды. Если АОВ= ВОС, АВО= ВСО по… признаку .
а) первому; б) второму; в) третьему; г) нет правильного ответа.
Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать
Вариант 3
Окружность называется вписанной в треугольник, если она…
а) пересекает его стороны; б) проходит через его вершины;
в) касается его сторон; г) проходит через одну из вершин.
Касательной называется прямая, проходящая через точку окружности…
а) параллельно радиусу; б) перпендикулярно радиусу;
в) параллельно хорде; г) перпендикулярно хорде.
Касательная и диаметр окружности в точке касания образуют угол равный…
а) 360; б) 180; в) 90; г) нет правильного ответа.
Касание окружностей называется внутренним, если центры этих окружностей лежат… общей касательной.
а) по разные сторону от; б) на самой;
в) по одну стороны от; г) нет правильного ответа.
Через точку В окружности с центром С проведена касательная АВ. Найдите ВАС, если ВСА=42 .
Точка М – середина хорды ВС, О – центр окружности. Найдите углы СОМ, если B ОС=126 .
в) 54, 63 и 63; г) нет правильного ответа.
Точка М – середина хорды ВС, О – центр окружности. Найдите углы СОМ, если С B О=60 .
в) 30, 30 и 120; г) нет правильного ответа.
В окружности с центром О проведена хорда КМ. Найдите углы О K М, если ОКМ=62 .
в) 59, 59 и 62; г) нет правильного ответа.
В окружности с центром О проведена хорда КМ. Найдите углы О K М, если КОМ=76 .
в) 52, 52 и 76; г) нет правильного ответа.
Точка О – центр окружности, АВ и ВС – равные хорды. Тогда АВО= ВСО по… признаку .
а) первому; б) второму; в) третьему; г) нет правильного ответа.
Окружность называется описанной около треугольника, если она…
а) пересекает его стороны; б) проходит через его вершины;
в) касается его сторон; г) проходит через одну из вершин.
Диаметром окружности называется…
а) половина радиуса; б) отрезок, соединяющий точки окружности;
в) хорда, проходящая через центр; г) нет правильного ответа.
Касательная и радиус окружности в точке касания образуют угол равный…
а) 360; б) 180; в) 90; г) нет правильного ответа.
Касание окружностей называется внешним, если центры этих окружностей лежат… общей касательной.
а) по разные сторону от; б) на самой;
в) по одну стороны от; г) нет правильного ответа.
Через точку В окружности с центром С проведена касательная АВ. Найдите ВСА, если ВАС=36 .
Точка М – середина хорды ВС, О – центр окружности. Найдите углы ВОМ, если B ОС=116 .
в) 32, 58 и 90; г) нет правильного ответа.
Точка М – середина хорды ВС, О – центр окружности. Найдите углы ВОМ, если B СО=50 .
в) 50, 65 и 65; г) нет правильного ответа.
В окружности с центром О проведена хорда КМ. Найдите углы О K М, если ОМК=74 .
в) 37, 37 и 106; г) нет правильного ответа.
В окружности с центром О проведена хорда КМ. Найдите углы О K М, если МОК=58 .
в) 29, 61 и 90; г) нет правильного ответа.
Точка О – центр окружности, АВ и КМ – хорды. Если АОВ= КОМ, АВО= КМО по… признаку .
а) первому; б) второму; в) третьему; г) нет правильного ответа.
Коды ответов
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Сейчас обучается 987 человек из 79 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Сейчас обучается 310 человек из 69 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Сейчас обучается 677 человек из 75 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать
Дистанционные курсы для педагогов
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 535 616 материалов в базе
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Другие материалы
22.11.2019
335
0
22.11.2019
219
9
22.11.2019
1697
19
22.11.2019
1514
14
22.11.2019
130
0
22.11.2019
128
0
21.11.2019
2960
398
21.11.2019
4321
17
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
22.11.2019 1733
DOCX 35.7 кбайт
5 скачиваний
Рейтинг: 2 из 5
Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Мингалиева Зарема Амировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
На сайте: 2 года и 2 месяца
Подписчики: 0
Всего просмотров: 4019
Всего материалов: 3
Московский институт профессиональной переподготовки и повышения квалификации педагогов
Видео:Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Дистанционные курсы для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Томске студентов вузов перевели на дистанционное обучение до конца февраля
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения определило порядок получения заключений на международные договоры
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки подготовит государственный рейтинг университетов
Время чтения: 1 минута
В Калужской области школьники уйдут на каникулы с 7 по 20 февраля
Время чтения: 1 минута
В Самаре и Тольятти часть школьников перевели на дистанционное обучение
Время чтения: 1 минута
Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать
Вариант 1
Видео:11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордойСкачать
Вариант 1
1. Треугольник называется вписанным, если окружность…
а) касается его сторон; б) проходит через его вершины;
в) пересекает его стороны; г) проходит через одну из вершин.
2. Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий …
а) две точки окружности; б) любые две точки;
в) центр и любую точку окружности; г) нет правильного ответа.
3. Касательная и радиус окружности в точке касания образуют угол равный…
4. Касание окружностей называется внутренним, если центры этих окружностей лежат… общей касательной.
а) по одну сторону от; б) на самой;
в) по разные стороны от; г) нет правильного ответа.
5. Через точку А окружности с центром С проведена касательная АВ. Найдите ÐАВС, если ÐАСВ=63°.
