Каким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Каким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Каким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Каким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

Каким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Каким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

Каким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Каким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

Каким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбКаким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружностиВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратКаким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружностиВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникКаким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружностиВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммКаким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружностиВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидКаким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружностиВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияКаким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружностиВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
Каким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности
КвадратКаким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникКаким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммКаким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидКаким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

ТрапецияКаким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Многоугольник. Свойства четырехугольников описанных около окружности.

Если все стороны какого-нибудь многоугольника (MNPQ) касаются окружности, то говорят, что этот многоугольник описан около окружности, или что окружность вписана в него.

Каким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

Теорема.

В описанном выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Пусть ABCD будет описанный выпуклый четырехугольник, т.е. стороны его касаются окружности. Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.

Обратная теорема.

Если в выпуклом четырехугольнике равны суммы противоположных сторон, то в него можно вписать окружность.

Требуется доказать, что в него можно вписать окружность.

Пусть ABCD такой выпуклый четырехугольник, в котором: AB + CD = AD + BC.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Свойства и признаки описанного четырехугольника.

Каким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности

Описанный четырехугольник — четырехугольник, все стороны которого касаются окружности.

Центр вписанной окружности в четырехугольник — точка пересечения биссектрис всех углов четырехугольника. Не все четырёхугольники можно описать около окружности, так как биссектрисы четырёх углов могут не пересекаться в одной точке.

Основной признак описанного четырехугольника:

Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то четырехугольник является описанным.

Основное свойство описанного четырехугольника:

Если четырехугольник является описанным, то суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны.

📺 Видео

Ответы на вопросы к § 10 - Геометрия 8 класс МерзлякСкачать

Ответы на вопросы к § 10 - Геометрия 8 класс Мерзляк

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольник

#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать

#58. Олимпиадная задача о четырехугольнике

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

МЕРЗЛЯК-8 ГЕОМЕТРИЯ. ОПИСАННАЯ И ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА. ПАРАГРАФ-10. ТЕОРИЯСкачать

МЕРЗЛЯК-8 ГЕОМЕТРИЯ. ОПИСАННАЯ И ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА. ПАРАГРАФ-10. ТЕОРИЯ

Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак вписанного четырехугольника

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность
Поделиться или сохранить к себе: