Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).
Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
- Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
- Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
- Значения тригонометрических функций некоторых углов:
- Катеты прямоугольного треугольника
- Определение катета прямоугольного треугольника
- Свойства катетов в прямоугольном треугольнике
- Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
- теория по математике 📈 планиметрия
- Свойства прямоугольного треугольника
- Признаки равенства прямоугольных треугольников
- Теорема Пифагора
- Египетский треугольник
- Пифагоровы тройки
- 💥 Видео
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.
5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$
6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$
7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
$α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
$sinα$ | $/$ | $/$ | $/$ |
$cosα$ | $/$ | $/$ | $/$ |
$tgα$ | $/$ | $1$ | $√3$ |
$ctgα$ | $√3$ | $1$ | $/$ |
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.
Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то
Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:
Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:
Подставим найденное значение в формулу косинуса
В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sinA=/, AC=9$. Найдите $АВ$.
Распишем синус угла $А$ по определению:
Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.
Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$
Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$
В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.
Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать
Катеты прямоугольного треугольника
Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать
Определение катета прямоугольного треугольника
- Прямоугольный треугольник — треугольник в котором есть прямой угол.
- Катеты прямоугольного треугольного — две стороны треугольника, которые образуют прямой угол — 90°.
- Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Видео:Виды треугольниковСкачать
Свойства катетов в прямоугольном треугольнике
Каждый катет меньше гипотенузы.
Катет, лежащий напротив угла 30 о , равен половине гипотенузы.
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы(теорема Пифагора).
Сумма катетов больше гипотенузы.
Половина произведения катетов равна площади прямоугольного треугольника.
Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
теория по математике 📈 планиметрия
Если в треугольнике есть угол, равный 90 градусов, то такой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника называются – катеты и гипотенуза. Катеты – это стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза – сторона, которая располагается напротив прямого угла.
На рисунке треугольник АВС – прямоугольный, угол С равен 90º, стороны АС и ВС – катеты, а сторона АВ – гипотенуза.
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Свойства прямоугольного треугольника
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной.
- В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы. И обратно, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 0 .
Например, пусть угол А=30 0 , а гипотенуза АВ=28 см, то катет ВС будет равен 14 см, так как лежит напротив угла А=30 0 . Или, например, если катет ВС=6 см, а гипотенуза АВ равна 12 см, то угол А (лежащий напротив катета ВС), равен 30 0 .
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна всегда 90 градусов.
- Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.
На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.
Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников:
- Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Чтобы быстрее запомнить данные признаки, можно использовать их краткую трактовку:
- по катетам;
- по катету и прилежащему острому углу;
- по гипотенузе и острому углу;
- по гипотенузе и катету.
Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать
Теорема Пифагора
Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ 2 =АС 2 +ВС 2
Например, если в данном треугольнике катеты равны 9 и 12 см, то можно найти длину гипотенузы, используя теорему: АВ 2 =9 2 +12 2 =81+144=225=15 2 , значит АВ=15 см.
Египетский треугольник
Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см называют Египетским треугольником.
Пифагоровы тройки
Тройки чисел, которые удовлетворяют теореме Пифагора, называют Пифагоровы тройки, а сами числа – Пифагоровы числа. Например, такими являются числа 16, 12 и 20 – это числа, которые при подстановке в формулу теоремы, дают нам верное равенство: 16 2 +12 2 =20 2 , 256+144=400, 400=400.
💥 Видео
7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать
КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать
Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать
7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать
По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать
Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать
ПРИЛЕЖАЩИЙ КАТЕТ, КАК ТЕБЯ НАЙТИ?Скачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольникеСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать
7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать
Стороны прямоугольного треугольникаСкачать