Какие прямые переходят сами в себя при параллельном переносе на вектор а (3 видео)

Какие прямые переходят сами в себя при параллельном переносе на вектор а

Пусть — вектор пространства. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором образом любой точки M пространства является такая точка M ′ , что вектор ′ равен вектору : ′ = (рис. 23).

Можно доказать, что точка M имеет при данном отображении единственный образ — точку М ′ , а для точки М ′ существует единственный прообраз — точка М .

Таким образом, получаем биективное отображение пространства на себя, т. е. преобразование пространства, которое называют параллельным переносом на вектор .

Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку M ′ , что выполняется векторное равенство: ′ = .

Иногда параллельный перенос называют коротко переносом. При этом вектор называют вектором переноса. Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M ′ , то пишут: М ′ = ( М ) или ( M ) = M ′ .

Из определения следует, что параллельный перенос задаётся либо вектором, либо парой соответствующих точек ( М, М ′ ) .

Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M ′ , то ′ = (рис. 24). Тогда = – . Значит, точка М ′ отображается на точку M переносом на вектор – , т. е. преобразование, обратное переносу на вектор , есть перенос на вектор – .

Перенос на нулевой вектор является тождественным преобразованием: ( М ) = М для любой точки М пространства.

5.2. Параллельный перенос в координатах

Пусть в прямоугольной системе координат Охyz задан вектор ( a ; b ; с ) . Найдём зависимость между координатами точки М ( x ; y ; z ) и её образа M ′ ( х ′ ; y ′ ; z ′ ) при переносе на вектор .

Так как M ′ = ( М ) , то ′ = (рис. 25). Вектор ′ имеет координаты: ′ ( x ′ – x ; y ′ – y ; z ′ – z ). Тогда векторное равенство ′ = равносильно системе трёх равенств x ′ – х = a, y ′ – у = b, z ′ – z = с, откуда

(1)

Соотношения (1) называются формулами параллельного переноса пространства на вектор ( a ; b ; c ) .

Докажем, что параллельный перенос пространства есть движение . Пусть: A ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) и C ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) — данные точки; A ′ ( ; ; ), C ′ ( ; ; ) — их образы при переносе на вектор ( a ; b ; с ). На основании (1) имеем

= x 1 + a, = y 1 + b, = z 1 + c,
= x 2 + a, = y 2 + b, = z 2 + c . (2)

Расстояние между точками А и C равно

Найдём расстояние между точками А ′ и C ′ .

Учитывая (2), получаем

| A ′ C ′ | = =
= = | AC| .

Таким образом, при параллельном переносе расстояние между точками сохраняется. Значит, параллельный перенос есть движение.

5.3. Свойства параллельного переноса

Можно доказать, что параллельный перенос отображает :

— прямую на параллельную ей прямую либо на себя;

— луч на сонаправленный с ним луч;

— вектор на равный ему вектор (на себя);

— плоскость на параллельную ей плоскость либо на себя.

Докажем, например, что параллельный перенос отображает плоскость на параллельную ей плоскость или на себя.

Действительно, параллельный перенос — движение, поэтому он отображает плоскость α на некоторую плоскость α′ . Докажем, что α′ || α или α′ совпадает с α .

На плоскости α выберем две пересекающиеся прямые a и b ; a ∩ b = O.

Пусть ( a ) = a ′ , ( b ) = b ′ (рис. 26). Тогда a || a ′ , b || b ′ .

Так как любое преобразование отображает пересечение фигур на пересечение их образов и прямые a и b пересекаются в точке O, то пересекаются и прямые a ′ и b ′ в такой точке O ′ , что O ′ = ( О ). Тогда либо плоскости α и α′ совпадают, либо по признаку параллельности плоскостей эти плоскости параллельны, что и требовалось доказать. ▼

Рассмотрим вопрос о неподвижных точках, неподвижных прямых и неподвижных плоскостях при параллельном переносе.

Неподвижных точек параллельный перенос на ненулевой вектор не имеет.

Неподвижной прямой при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая прямая, параллельная вектору ; на каждой из этих прямых индуцируется параллельный перенос на вектор .

Неподвижной плоскостью при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая плоскость, параллельная вектору ; на каждой из этих плоскостей индуцируется параллельный перенос на вектор .

Параллельный перенос, отображая любой вектор на себя, не меняет ориентацию пространства, следовательно, является движением первого рода.

Рассмотрим композицию двух переносов, заданных векторами и . Её обычно обозначают не ∘ , а + .

Пусть М — любая точка пространства. Перенос на вектор точку М отображает на такую точку М ′ , что ′ = (рис. 27). Последующий перенос на вектор точку М ′ отображает на такую точку M ″ , что ″ = . По правилу сложения векторов имеем ″ = ′ + ″ = + . Это означает, что ( + )( M ) = M ″ , т. e. перенoc на вектор ( + ) точку М отображает на точку М ″ .

Таким образом, композиция переносов на векторы и есть перенос на вектор + .

Так как + = + , то композиция переносов обладает свойством коммутативности: ( + )( M ) = ( + )( М ).

5 .4. Скользящая симметрия

Среди преобразований пространства важное место занимает «скользящая симметрия», представляющая собой композицию симметрии S α относительно плоскости α и параллельного переноса на вектор , который параллелен этой плоскости (рис. 28).

Отметим ряд характерных свойств скользящей симметрии:

— скользящая симметрия является движением (как композиция двух движений);

— скользящая симметрия не имеет неподвижных точек;

— любая прямая плоскости α , параллельная вектору переноса, является неподвижной прямой скользящей симметрии; на каждой из них индуцируется параллельный перенос;

— неподвижной плоскостью скользящей симметрии является не только плоскость симметрии α (на ней индуцируется параллельный перенос на вектор ) , а также любая плоскость, перпендикулярная плоскости α и параллельная вектору переноса (на каждой из таких плоскостей индуцируется скользящая симметрия, осью которой является прямая пересечения этой плоскости с плоскостью α , а вектором переноса — вектор );

— скользящая симметрия меняет ориентацию тетраэдра (значит, и ориентацию пространства), т. е. является движением второго рода;

— преобразованием, обратным скользящей симметрии, заданной плоскостью α и вектором , является скользящая симметрия, заданная той же плоскостью α и вектором – .

Попробуйте доказать самостоятельно, что композиция двух центральных симметрий есть параллельный перенос, причём Z B ∘ Z A = 2 . Наоборот, любой параллельный перенос может быть разложен (неоднозначно) в композицию двух центральных симметрий.

Содержание

Параллельный перенос и поворот
Параллельный перенос
Поворот
Параллельный перенос
🔍 Видео

Видео:9 класс, 32 урок, Параллельный переносСкачать

Параллельный перенос и поворот

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать

Параллельный перенос

Пусть а – данный вектор. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М, что вектор ММ равен вектору а.

Параллельный перенос является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

Поворот

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α (угол поворота). Поворотом плоскости на себя , при котором каждая точка М отображается такую точку М, что ОМ=ОМ и угол МОМ равен α. При этом точка О остается на месте , т. е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении – по часовой стрелке или против часовой стрелки. Поворот является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

Древнегреческий математик Фалес для доказательства геометрических теорем использовал движения. Например, две половинки равнобедренного треугольника совмещаются с помощью осевой симметрии — перегибания чертежа (по биссектрисе угла при вершине), а потому они равны. Как следствие получаем, что углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой.

В этом рассуждении мы представляем себе, что одна половинка треугольника передвигается, как твёрдое целое, т. е. без изменения расстояний между точками, и совмещается со второй половинкой. Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называется движением. Мы говорим, что две фигуры равны, если их можно совместить движением, В частности, симметричные относительно оси фигуры, равны: ведь осевая симметрия — один из видов движений

Например, две половинки круга, разделённые диаметром, симметричны относительно диаметра и потому равны. Фалес применял и другой вид движения — поворот. Например, чтобы доказать равенство вертикальных углов, он поворачивал плоскость чертежа на 180° вокруг некоторой точки О. При этом повороте (его ещё называют цент реальной симметрией с центром О) каждая точка А перемещается в такую точку А, что О является серединой отрезка АА’. Всякий луч, исходящий из точки О, переходит в противоположный луч, т. е. луч с тем же началом О, составляющий вместе с исходным лучом целую прямую.

Фалес рассуждал так. Пусть О — общая вершина вертикальных углов АОВ и А’ОВ’. Повернём плоскость чертежа на 180° вокруг точки О. Тогда луч ОА перейдёт в противоположный ему луч ОА’, а луч ОВ — в противоположный ему луч ОВ’. Значит, угол АОВ переходит в вертикальный угол А’ОВ’. Итак, один из двух вертикальных углов совмещается в результате поворота с другим. Так как поворот представляет собой движение, каждая фигура переходит при повороте в равную ей фигуру, а потому вертикальные углы равны.

Применял Фалес и ещё одно движение — параллельный перенос. При параллельном переносе все точки фигуры смещаются в определённом направлении на одно и то же расстояние. Именно с помощью такого движения Фалес доказал предложение, которое сейчас в учебниках называют теоремой Фалеса, Оно состоит в следующем :

. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и провести через концы этих отрезков параллельные прямые до пересечения со второй стороной угла, то на другой стороне угла также получатся равные отрезки.

Фалес заметил, что соседние параллельные прямые высекают из угла трапецию, которую можно разбить на параллелограмм и треугольник, для доказательства теоремы надо было установить, что все такие треугольники равны. И они действительно равны, поскольку один треугольник получается из другого некоторым движением, а именно параллельным переносом в направлении второй стороны угла.

В ХIХ в. французский геометр Мишель Шаль доказал:«Всякое движение плоскости являяется либо осевой симметрией, либо поворотом, либо параллельным переносом, либо скользящей симметрией».

Например, выполняя последовательно поворот и перенос, мы снова получим поворот на тот же угол, только с другим центром, а поворот и скользящая симметрия дадут в результате скользящую симметрию с другой осью. Более того, если нарисовать на плоскости произвольную фигуру, вырезать из бумаги её копию, а затем положить эту копию на плоскость совершенно случайным образом (и любой стороной кверху), то всегда можно совместить оригинал с копией одним из движений, перечисленных в теореме Шаля.

Подход Евклида к доказательству теорем и решению задач был основан на равенстве треугольников. В самом начале, при доказательстве признаков равенства треугольников, Евклид пользовался идеей движения. Например, по второму признаку равенства треугольников, если два треугольника имеют по одной равной стороне и соответственно равные углы, прилежащие к этой стороне, то такие треугольники равны. Доказательство Евклид проводил следующим образом. Пусть в треугольниках АВС и АВС равны стороны АВ и АВ и углы при вершинах А и А, В и В. Наложим треугольника AВС на треугольник АВС так, чтобы совпали равные стороны АВ и АВ, причём точка А совместилась с А, точка В — с В, а треугольники оказались по одну сторону от АВ =АВ. Тогда вследствие равенства углов соответственно совместятся и лучи, содержащие две другие стороны каждого из треугольников, а потому и обе вершины С и С попадут в точку их пересечения, т. е. треугольники совместятся всеми своими вершинами. Следовательно, эти треугольники равны.

Но ведь «наложить» один треугольник на другой означает переместить его подобно твёрдому целому, т. е, применить движение (параллельный перенос)! Здесь, как и при доказательстве других признаков равенства треугольников, Евклид придерживался идей Фалеса. Однако, поскольку понятие «наложение» Евклид не определял, в рамках его аксиоматики это были, строго говоря, не доказательства, а пояснения, использующие обращение к нашему повседневному опыту.

Но как только признаки равенства треугольников сформулированы и пояснены, Евклид в своих «Началах» кладёт именно их в основу последующих доказательств и стремится проводить все рассуждения как можно более строго, уже не вспоминая о движениях («наложениях»).

Рассмотрим задачу, которую решим по Фалесу:

На боковых сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены вне его квадраты ABMNи ВСРQ. Доказать, что отрезки СМ и QА равны и перпендикулярны.

Достаточно доказать, что существует поворот на 90°, который переводит отрезок СМ в отрезок А. Есть только два поворота на 90°, в результате которых точка С переходит в точку Q: вокруг центра В (против часовой стрелки) и вокруг Р (по часовой стрелке). Очевидно, что при повороте вокруг В точка М попадает в А. Вот, собственно, и всё: указанный поворот переводит отрезок СМ в отрезок QА, а значит, данные отрезки равны (поворот — движение) и перпендикулярны (угол поворота равен 90°).

Непосредственно из этого решения можно извлечь и другие заслуживающие внимания свойства рассматриваемой фигуры. Например, если К и L. середины отрезков СМ и QА соответственно ,то треугольник ВКL — прямоугольный и равнобедренный (так как точка К переходит в L при том же повороте на 90° вокруг В).

Применение движений – один из самых эффективных методов решения задач на построение, в чем можно убедиться в следующем примере.

Построить равносторонний треугольник, одна вершина которого лежит в заданной точке А, а две другие — соответственно на двух данных окружностях.

Пусть АВС — искомый треугольник. Поскольку он равносторонний, при повороте вокруг точки А на 60° точка В перейдёт в точку С. Но точка В должна лежать на одной из данных окружностей (назовем ее первой). Поэтому образ В при повороте, т. е. точка С, должен оказаться на фигуре, в которую перейдёт первая окружность; это окружность того же радиуса (назовем ее третьей). А по условию, С находится на второй данной окружности. Следовательно, С есть точка пересечения третьей и второй окружностей. Теперь мы знаем, как построить С (а значит, и В). достаточно провести третью окружность (её центр 0 — образ центра О первой окружности при рассмотренном повороте и строится как вершина равностороннего треугольника АOO). Тогда С —точка пересечения третьей и второй окружностей. Две окружности могут иметь две общие точки, одну или ни одной; столько же решений даёт указанное построение. Но при подсчёте числа решений задачи надо учесть и то, что мы рассмотрели только одно возможное направление поворота (против часовой стрелки). А треугольник АВС будет равносторонним и тогда, когда точка С переходит в В при повороте вокруг А на 60 градусов по часовой стрелке. Значит, исходная задача может иметь до четырёх решений. Рассмотренные задачи иллюстрируют тот факт, что все предложения геометрии могут быть доказаны как с помощью признаков равенства треугольников ,так и с помощью движений.

В геометрии рассматриваются функции, называемые геометрическим преобразованиями, которые каждой точке ставят в соответствие точку.

Рассмотрим, например, проектирование пространственной фигуры на плоскость. Каждой точке А это преобразование ставит в соответствие точку А, лежащую в плоскости проекций. Мы говорим, что А — образ точки А при проектировании р, и пишем А А. Образы всех точек произвольной фигуры М составляют фигуру М — образ фигуры М. На нашем рисунке образом пирамиды М является четырёхугольник М в плоскости проекций, т. е. ММ. Аналогично обозначаются образы точек и фигур при любых преобразованиях. Если ясно, о каком преобразовании идёт речь, его обозначение над стрелкой опускают: А —>А, М —> М.

Геометрическое преобразование называется движением, если в результате его не изменяется расстояние между точками, т. е. если из А —>А и B—>В следует АВ =АВ. Так, поворот — движение, поскольку расстояния между точками после поворота не изменяются. Заметим, что при геометрическом понимании движения обращают внимание лишь на начальное и конечное (образ) положение движущейся точки, отвлекаясь от её промежуточных положений, скорости и т. д. Этим геометрический подход к движениям отличается от физического.

Движение плоскости можно представить себе следующим образом. Вообразим, что на плоскости даны какие-то точки и фигуры. Наложим на неё лист кальки и обведём на нём те же точки и фигуры. Затем снимем кальку и вернём её обратно на плоскость, но в новом положении. Поскольку калька полупрозрачна, видны как исходные точки и фигуры на плоскости, так и их изображения на смещённом листе кальки (образы). Каждая точка плоскости переходит в новое положение (образ). Это и есть геометрическое преобразование, называемое движением.

Движением является и параллельный перенос, когда все точки плоскости смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Вектор, соединяющий точку и её образ при параллельном переносе, один и тот же для всех точек, в связи с чем говорят о параллельном переносе на какой-то вектор.

Любое движение представляет собой взаимно однозначное преобразование плоскости на ту же плоскость, т. е. двум различным точкам А и В всегда соответствуют различные точки А и В. Это и понятно: поскольку точки А и В различны, расстояние между ними не равно нулю, а так как расстояния при движении сохраняются, расстояние между их образами А и В тоже не равно нулю, т. е. А и B различны. Значит, для каждого движения f можно определить обратное ему движение, которое обозначается через f : если движение f переводит точку А в А, то обратное движение fпереводит А в А, возвращая каждый образ на прежнее место. Для параллельного переноса на вектор обратным движениием будет параллельный перенос на вектор — , а для поворота вокруг точки О на угол α — поворот вокруг той же точки О на угол — α. Результат последовательного выполнения двух движений называется их композицией.

Если сначала выполняется движение f а следом за ним движение g , то композиция обозначается через f ◦ g.

Например, если f — параллельный перенос на вектор = , а g — параллельный перенос на вектор =, то их композиция f ◦ g представляет собой параллельный перенос на вектор + = +. действительно, по правилу сложения векторов,

Иначе говоря, если А (f)—> A (g)—>А, то f ◦ g, (преобразование, сразу переводящее А в А) есть параллельный перенос на вектор +. Поскольку += + , то композиция параллельных переносов не зависит от того, в каком порядке они выполняются f ◦ g = g ◦ f.

Однако для других видов движений переместительный закон не всегда справедлив. Рассмотрим, например, квадрат АВСD с несколькими примыкающими к нему квадратами. Обозначим через f поворот на 90° вокруг точки С, а через g — поворот на 90° вокруг точки D) (повороты выполняются против часовой стрелки). Тогда

AMC,APQ, т. е. композиция f ◦ g переводит точку А в точку С, в то время как g ◦ f переводит А в Q. Значит, f ◦ g и g ◦ f — разные преобразования. Таким образом, композиция параллельных переносов коммутативна (подчиняется переместительному закону) f ◦ g = g ◦ f в то время как композиция поворотов (вокруг разных точек) некоммутативна f ◦ g ≠ g ◦ f.

Приведём ещё два примера: композиция двух центральных симметрий относительно точек P и Q есть параллельный перенос на вектор 2, а композиция осевых симметрий относительно осей lи l, составляющих угол α — поворот вокруг точки пересечения осей на угол 2α.

Однако в любом случае композиция движений f и g также есть некоторое движение: поскольку расстояния сохраняются и при f и при g , они не изменяются и когда преобразования f и g , выполняются подряд, т. е. при f ◦ g.

В этой работе я рассмотрел виды движения параллельный перенос и поворот, их свойства и некоторые сведения из истории развития математики.

Видео:11 класс, 12 урок, Параллельный переносСкачать

Параллельный перенос

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Строгое определение параллельного переноса даётся либо через декартовы координаты, либо через вектор.

1) Введём на плоскости декартовы координаты x, y.

Параллельный перенос — это такое преобразование фигуры F, при котором её произвольная точка (x;y) переходит в точку (x+a; y+b), где a и b — некоторые числа, одинаковые для всех точек (x;y) фигуры F.

Формулы параллельного переноса

Если при параллельном переносе точка A(x;y) переходит в точку A1(x1;y1)

то параллельный перенос задаётся формулами:

Говорят также, что A1 является образом точки A при параллельном переносе на вектор (a; b). Точка A называется прообразом.

2) Параллельный перенос на данный вектор ā называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка A отображается в такую точку A1, то вектор AA1 равен вектору ā: