Какая сторона в треугольнике наименьшая

Свойства сторон и углов треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Какая сторона в треугольнике наименьшая,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Какая сторона в треугольнике наименьшая,

где β – меньший угол треугольника.

Какая сторона в треугольнике наименьшая,

ФигураРисунокФормулировка
ТреугольникКакая сторона в треугольнике наименьшая
Большая сторона треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшаяПротив большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольникаПротив большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшаяПротив меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольникаПротив меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшая
Углы треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшая
Внешний угол треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшая
Больший угол треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшая
Меньший угол треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшая
Теорема косинусовКакая сторона в треугольнике наименьшая
Теорема синусовКакая сторона в треугольнике наименьшая

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Какая сторона в треугольнике наименьшая,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Какая сторона в треугольнике наименьшая,

где β – меньший угол треугольника.

Какая сторона в треугольнике наименьшая,

Треугольник
Какая сторона в треугольнике наименьшая
Большая сторона треугольника
Какая сторона в треугольнике наименьшаяПротив большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольника
Какая сторона в треугольнике наименьшаяПротив большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольника
Какая сторона в треугольнике наименьшаяПротив меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольника
Какая сторона в треугольнике наименьшаяПротив меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольника
Какая сторона в треугольнике наименьшая
Углы треугольника
Какая сторона в треугольнике наименьшая
Внешний угол треугольника
Какая сторона в треугольнике наименьшая
Больший угол треугольника
Какая сторона в треугольнике наименьшая
Меньший угол треугольника
Какая сторона в треугольнике наименьшая
Теорема косинусов
Какая сторона в треугольнике наименьшая
Теорема синусов
Какая сторона в треугольнике наименьшая
Треугольник
Какая сторона в треугольнике наименьшая

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Большая сторона треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшая

Свойство большей стороны треугольника:

Против большей стороны треугольника лежит больший угол

Больший угол треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшая

Свойство большего угла треугольника:

Против большего угла треугольника лежит большая сторона

Меньшая сторона треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшая

Свойство меньшей стороны треугольника:

Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол

Меньший угол треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшая

Свойство меньшего угла треугольника:

Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона

Длины сторон треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшая

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Углы треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшая

Свойство углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Свойство внешнего угла треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Больший угол треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшая

Свойство большего угла треугольника:

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Какая сторона в треугольнике наименьшая,

где α – больший угол треугольника.

Меньший угол треугольникаКакая сторона в треугольнике наименьшая

Свойство меньшего угла треугольника:

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Какая сторона в треугольнике наименьшая,

где β – меньший угол треугольника.

Теорема косинусовКакая сторона в треугольнике наименьшая

Теорема синусовКакая сторона в треугольнике наименьшая

Свойство меньшего угла треугольника:

Какая сторона в треугольнике наименьшая,

Содержание
  1. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  2. Типы треугольников
  3. По величине углов
  4. По числу равных сторон
  5. Вершины углы и стороны треугольника
  6. Свойства углов и сторон треугольника
  7. Теорема синусов
  8. Теорема косинусов
  9. Теорема о проекциях
  10. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  11. Медианы треугольника
  12. Свойства медиан треугольника:
  13. Формулы медиан треугольника
  14. Биссектрисы треугольника
  15. Свойства биссектрис треугольника:
  16. Формулы биссектрис треугольника
  17. Высоты треугольника
  18. Свойства высот треугольника
  19. Формулы высот треугольника
  20. Окружность вписанная в треугольник
  21. Свойства окружности вписанной в треугольник
  22. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  23. Окружность описанная вокруг треугольника
  24. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  25. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  26. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  27. Средняя линия треугольника
  28. Свойства средней линии треугольника
  29. Периметр треугольника
  30. Формулы площади треугольника
  31. Формула Герона
  32. Равенство треугольников
  33. Признаки равенства треугольников
  34. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  35. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  36. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  37. Подобие треугольников
  38. Признаки подобия треугольников
  39. Первый признак подобия треугольников
  40. Второй признак подобия треугольников
  41. Третий признак подобия треугольников
  42. Существующие треугольники
  43. Определение
  44. Теорема
  45. Доказательство теоремы
  46. 📺 Видео

Видео:Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать

Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:наибольшая и наименьшая стороны треугольника. Углы треугольника #углы #треугольникСкачать

наибольшая и наименьшая стороны треугольника. Углы треугольника #углы #треугольник

Типы треугольников

По величине углов

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Какая сторона в треугольнике наименьшая

По числу равных сторон

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.

Медианы треугольника

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольникаСкачать

7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Биссектрисы треугольника

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№24 - Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треуг.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№24 - Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треуг.)

Высоты треугольника

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Окружность вписанная в треугольник

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Окружность описанная вокруг треугольника

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Вебинар 20.01.2024 «Организм человека тонкие плотные и срединные тела»Скачать

Вебинар 20.01.2024 «Организм человека тонкие плотные и срединные тела»

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Какая сторона в треугольнике наименьшая

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Почему в треугольнике против большей стороны - больший угол ➜ ДоказательствоСкачать

Почему в треугольнике против большей стороны - больший угол ➜ Доказательство

Периметр треугольника

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Формулы площади треугольника

Какая сторона в треугольнике наименьшая

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:Геометрия Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 13 см 20 см и 21 смСкачать

Геометрия Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 13 см 20 см и 21 см

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:Найдите третью сторону треугольникаСкачать

Найдите третью сторону треугольника

Подобие треугольников

Какая сторона в треугольнике наименьшая

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Существующие треугольники

Определение

Существующие треугольники — это такие треугольники,
существование которых можно доказать с помощью неравенств.

Какая сторона в треугольнике наименьшая
Например существование треугольника, изображенного на рисунке 1,
можно доказать с помощью неравенств: AB + BC > AC, AC + BC > AB, AB + AC > BC
Если эти три неравенства истинны значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Также существование того или иного треугольника можно проверить с
помощью одного условия: Если большая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон, значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Теорема

Для доказательства того, о чем мы говорили существует теорема под названием неравенство треугольника. Формулировка теоремы:
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Докажем, что каждая сторона треугольника, изображенного на рисунке 2, меньше суммы двух других сторон:

Доказательство теоремы

Какая сторона в треугольнике наименьшая

  1. Проведем отрезок CD равный отрезку CB.
  2. △BCD — равнобедренный, значит ∠ CBD=∠CDB.
  3. Рассмотрим △ABD: ∠ ABD >∠ CBD, следовательно ∠ ABD >∠ CDB, то AB

📺 Видео

Контур заземления. Все тонкости монтажа + нормы и правилаСкачать

Контур заземления. Все тонкости монтажа + нормы и правила

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Практическая часть. 7 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

Найдите сторону треугольника на рисунке
Поделиться или сохранить к себе: