Перемножение эпюр параболы и треугольника

Привет! В этой статье будем учиться определять перемещения поперечных сечений при изгибе: прогибы и углы поворотов, по методу (способу, правилу) Верещагина. Причем, это правило широко используется не только при определении перемещений, но и при раскрытии статической неопределимости систем по методу сил. Я расскажу, о сути этого метода, как перемножаются эпюры различной сложности и когда выгодно пользоваться этим методом.

Видео:Перемножение эпюр, правило верещагинаСкачать

Верещагин и его метод, правило или способ

А.К. Верещагин в 1925г. предложил более простой способ решения (формулы) интеграла Мора. Он предложил вместо интегрирования двух функций перемножать эпюры: умножать площадь одной эпюры на ординату второй эпюры под центром тяжести первой. Этим способом можно пользоваться, когда одна из эпюр прямолинейна, вторая может быть любой. Кроме того, ордината берется прямолинейной эпюры. Когда эпюры обе прямолинейны, то тут совсем не важно, чью брать площадь, а чью ординату. Таким образом, эпюры по Верещагину перемножаются по следующей формуле:​

Проиллюстрировано перемножение эпюр по Верещагину: C — центр тяжести первой эпюры, ωс — площадь первой эпюры, Mc — ордината второй эпюры под центром тяжести первой.

Площадь и центр тяжести эпюр

При использовании метода Верещагина, берется не сразу вся площадь эпюры, а частями, в пределах участков. Эпюра изгибающих моментов расслаивается на простейшие фигуры.

Любую эпюру можно расслоить всего на три фигуры: прямоугольник, прямоугольный треугольник и параболический сегмент.

Поэтому именно с этими фигурами будем дальше работать. Напомню, как вычислить их площадь и где у них находится центр тяжести. Все формулы и размеры оформил в виде таблицы:

Видео:Перемножение эпюр по Верещагину. СопроматСкачать

Перемножение эпюр по Верещагину

В этом блоке статьи покажу частные случаи перемножения эпюр по Верещагину.

Прямоугольник на прямоугольник

Прямоугольник на треугольник

Треугольник на прямоугольник

Сегмент на прямоугольник

Сегмент на треугольник

Видео:Умножение эпюр. Парабола и треугольникСкачать

Частные случаи расслоения эпюр на простые фигуры

В этом блоке статьи покажу частные случаи расслоения эпюр на простые фигуры, для возможности их перемножения по Верещагину.

Прямоугольник и треугольник

Два треугольника

Два треугольника и сегмент

Треугольник, прямоугольник и сегмент

Видео:Перемножение эпюр по Симпсону. СопроматСкачать

Пример определения перемещений: прогибов и углов поворотов по Верещагину

Теперь предлагаю рассмотреть конкретный пример с расчетом перемещений поперечных сечений: их прогибов и углов поворотов. Возьмем стальную балку, которая загружена всевозможными типами нагрузок и определим прогиб сечения C, а также угол поворота сечения A.

Построение эпюры изгибающих моментов

В первую очередь, рассчитываем и строим эпюру изгибающих моментов:

Построение единичных эпюр моментов

Теперь для каждого искомого перемещений необходимо приложить единичную нагрузку (безразмерную величину равную единице) и построить единичные эпюры:

• Для прогибов, прикладываются единичные силы.
• Для углов поворотов, прикладываются единичные моменты.

Например, после расчета величина прогиба получилась положительной, это значит, что направление перемещения сечения совпадает с направлением ранее прикладываемой силы. Тоже самое касается и углов поворотов.

Перемножение участков эпюры по Верещагину

После проведения всех подготовительных работ: построения эпюры изгибающих моментов, расслоения ее на элементарные фигуры и построения единичных эпюр от нагрузок, приложенных в местах и направлении искомых перемещений, можно переходить непосредственно к перемножению соответствующих эпюр.

Определение прогиба сечения С

Перемножаем соответствующие эпюры слева направо и вычисляем прогиб сечения C по методу Мора — Верещагина:

[ _=frac < E_ > (frac cdot 6cdot 3cdot frac cdot 2+frac cdot 6cdot 2cdot frac cdot 2)=frac < 20кН^ >< E_ > ]

Представим, что рассчитываемая балки имеет поперечное сечение в виде двутавра №24 по ГОСТ 8239-89, тогда прогиб балки будет равен:

Определение угла поворота сечения С

Перемножаем соответствующие эпюры слева направо и вычисляем угол поворота сечения C по правилу Мора — Верещагина:

Видео:15. Правило Верещагина ( практический курс по сопромату )Скачать

Правило (способ, метод) Верещагина

Недостатком метода Мора является необходимость получать значения внутренних силовых факторов, входящих в подинтегральные выражения формул (2.18) и (2.19), в общем виде, как функций от z, что становится достаточно трудоемким уже при двух – трех участках разбиения в балках и особенно – в рамах.

Оказывается, что от этого недостатка можно уйти, если непосредственное интегрирование в формулах Мора заменить так называемым перемножением эпюр. Такая замена возможна в тех случаях, когда хотя бы одна из перемножаемых эпюр является прямолинейной. Этому условию соответствуют все системы, состоящие из прямолинейных стержней. Действительно, в таких системах эпюра, построенная от обобщенной единичной силы, всегда будет прямолинейной.

Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина и заключается в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры (если есть криволинейная эпюра, то обязательно ее площадь) умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой.

Докажем справедливость этого правила. Рассмотрим две эпюры (рис.28). Пусть одна из них (Mn) является грузовой и имеет криволинейное очертание, а вторая соответствует единичной нагрузке и является линейной.

Из рис.28 следует, что Подставим значения в выражение

где — дифференциал площади эпюры Mn.

Рис. 28

Интеграл представляет собой статический момент площади относительно оси О – О1, при этом:

где zc – абсцисса центра тяжести площади , тогда:

Учитывая, что получим:
(2.20)
Выражение (2.20) определяет результат перемножения двух эпюр, а не перемещения. Чтобы получить перемещение, этот результат нужно разделить на жесткость, соответствующую внутренним силовым факторам, стоящим под знаком интеграла.

Видео:Правило Верещагина. Умножение эпюрСкачать

Основные варианты перемножения эпюр

Очевидно, что разнообразие приложенных нагрузок и геометрических схем конструкций приводит к различным, с точки зрения геометрии, перемножаемым эпюрам. Для реализации правила Верещагина нужно знать площади геометрических фигур и координаты их центров тяжести. На рис.29 представлены некоторые основные варианты, возникающие в практических расчетах.

Для перемножения эпюр сложной формы их необходимо разбивать на простейшие. Например, для перемножения двух эпюр, имеющих вид трапеции, нужно одну из них разбить на треугольник и прямоугольник, умножить площадь каждого из них на ординату второй эпюры, расположенную под соответствующим центром тяжести, и результаты сложить. Аналогично поступают и для умножения криволинейной трапеции на любую линейную эпюру.

Если указанные выше действия проделать в общем виде, то получим для таких сложных случаев формулы, удобные для использования в практических расчетах (рис.30). Так, результат перемножения двух трапеций (рис.30,а):

(2.21)

Рис. 29

По формуле (2.21) можно перемножить и эпюры, имеющих вид «перекрученных» трапеций (рис.30,б), но при этом произведение ординат, расположенных по разные стороны от осей эпюр, учитывается со знаком минус.

Если одна из перемножаемых эпюр очерчена по квадратной параболе (что соответствует нагружению равномерно распределенной нагрузкой), то для перемножения со второй (обязательно линейной) эпюрой ее рассматривают как сумму (рис.30,в) или разность (рис.30,г) трапециидальной и параболической эпюр. Результат перемножения в обоих случаях определяется формулой:
(2.22)

но значение f при этом определяется по-разному (рис. 30, в, г).

Рис. 30

Возможны случаи, когда ни одна из перемножаемых эпюр не является прямолинейной, но хотя бы одна из них ограничена ломаными прямыми линиями. Для перемножения таких эпюр их предварительно разбивают на участки, в пределах каждого из которых по крайней мере одна эпюра являетя прямолинейной.
Рассмотрим использование правила Верещагина на конкретных примерах.

Пример 15. Определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис.31,а), способом Верещагина.

Последовательность расчета способом Верещагина – такая же, как и в методе Мора, поэтому рассмотрим три состояния балки: грузовое – при действии распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра Mq (рис.31,б), и два единичных состояния — при действии силы приложенной в точке С (эпюра , рис.31,в), и момента , приложенного в точке В (эпюра , рис.31,г).

Прогиб балки в середине пролета:

.

Аналогичный результат был получен ранее методом Мора (см. пример 13). Следует обратить внимание на тот факт, что перемножение эпюр выполнялось для половины балки, а затем, в силу симметрии, результат удваивался. Если же площадь всей эпюры Mq умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры (на рис.31,в), то величина перемещения будет совершенно иной и неправильной так как эпюра ограничена ломаной линией. На недопустимость такого подхода уже указывалось выше.

А при вычислении угла поворота сечения в точке В можно площадь эпюры Mq умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры (, рис.31,г), так как эпюра ограничена прямой линией:

Этот результат также совпадает с результатом, полученным ранее методом Мора (см. пример 13).

Рис. 31

Пример 16. Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки А в раме (рис.32,а).

Как и в предыдущем примере, для решения задачи необходимо рассмотреть три состояния рамы: грузовое и два единичных. Эпюра моментов MF, соответствующая первому состоянию, представлена на рис.32,б. Для вычисления горизонтального перемещения прикладываем в точке А по направлению искомого перемещения (т.е. горизонтально) силу , а для вычисления вертикального перемещения силу прикладываем вертикально (рис.32,в,д). Соответствующие эпюры и показаны на рис.32,г,е.

Горизонтальное перемещение точки А:

При вычислении на участке АВ трапеция (эпюра MF) разбита на треугольник и прямоугольник, после чего треугольник с эпюры «умножен» на каждую из этих фигур. На участке ВС криволинейная трапеция разделена на криволинейный треугольник и прямоугольник, а для перемножения эпюр на участке СД использована формула (2.21).

Знак » — «, полученный при вычислении , означает, что точка А перемещается по горизонтали не влево (в этом направлении приложена сила ), а вправо.
Вертикальное перемещение точки А:

Здесь знак » — » означает, что точка А перемещается вниз, а не вверх.

Отметим, что единичные эпюры моментов, построенные от силы , имеют размерность длины, а единичные эпюры моментов построенные от момента , являются безразмерными.

Пример 17. Определить вертикальное перемещение точки А плоско-пространственной системы (рис.33,а).

Рис.23

Как известно (см. гл.1), в поперечных сечениях стержней плоско-пространственной системы возникают три внутренних силовых фактора: поперечная сила Qy, изгибающий момент Mx и крутящий момент Mкр. Так как влияние поперечной силы на величину перемещения незначительно (см. пример 14, рис.27), то при вычислении перемещения методом Мора и Верещагина из шести слагаемых остаются только два.

Для решения задачи построим эпюры изгибающих моментов Mx,q и крутящих моментов Мкр,q от внешней нагрузки (рис.33,б), а затем в точке А приложим силу по направлению искомого перемещения, т.е. вертикального (рис.33,в), и построим единичные эпюры изгибающих моментов и крутящих моментов (рис.33,г). Стрелками на эпюрах крутящих моментов показаны направления закручивания соответствующих участков плоско-пространственной системы.

Вертикальное перемещение точки А:

При перемножении эпюр крутящих моментов произведение берется со знаком «+», если стрелки, указывающие направление кручения, сонаправленны, и со знаком » — » – в противном случае.

Видео:Формула Мора. Перемножение эпюр по способу ВерещагинаСкачать

ПроСопромат.ру

Видео:Методы Симпсона и Верещагина. Перемножение эпюр. СтроймехСкачать

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Видео:Эпюры изгибающего момента и поперечной силы от треугольной распределенной нагрузкиСкачать

Правило Верещагина (способ перемножения эпюр)

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ«перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, но также можно определить перемещения по способу (правилу) Верещагина. Этот способ А.К. Верещагин предложил в 1924 году, будучи студентом.

Рассмотрим последовательность действий по правилу Верещагина. Начальный этап такой же, как по формуле Мора и способу Симпсона, т.е. вначале строится грузовая эпюра от действующих нагрузок (действительное состояние), затем рассматриваем балку во вспомогательном состоянии. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение, и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила, равная единице , а если требуется найти угол поворота, то приложить следует сосредоточенную пару сил, момент, равный единице. Строится эпюра единичных моментов или эпюра от единичной нагрузки. Далее перемещение вычисляется по формуле:

, где в числителе — произведение площади грузовой эпюры на ординату единичной (обязательно прямолинейной), взятой под центром тяжести грузовой эпюры, а в знаменателе — жесткость сечения.

Этот способ становится понятным,если доказать, что результат перемножения двух эпюр ,одна и которых произвольна ,а другая линейна, равен произведению площади грузовой эпюры на ординату единичной, взятой под центром тяжести грузовой эпюры.

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр применимы только при наличии двух условий:

1. Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной(EI=Const),
2. Одна из двух эпюр моментов на этом участке (грузовая или единичная) должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.

Пусть грузовая эпюра произвольна, а единичная линейна (так как единичной нагрузкой бывает обычно либо сосредоточенная сила, либо пара сил, то единичная эпюра М 0 оказывается ограниченной прямыми линиями). Пусть грузовая эпюра М(z) имеет криволинейное очертание, а эпюра М 0 – прямолинейное (см. рисунок). Произведение можно рассматривать как элемент площади эпюры М, заштрихованной на рисунке.

Так как ордината М 0 равна то произведение , а весь интеграл , где

— статический момент площади эпюры М(z) относительно оси ординат

Но! Статический момент площади ,как известно, это произведение самой площади на координату центра тяжести. Тогда

, где — это

ордината в единичной эпюре, расположенной под центром тяжести грузовой эпюры. Окончательно, перемещение равно:

Таким образом, результат перемножения двух эпюр равен произведению площади грузовой эпюры на ординату другой (обязательно прямолинейной), взятой под центром тяжести грузовой эпюры.

Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс», а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».

🌟 Видео

Метод Верещагина. Перемножение эпюр по правилу Верещагина. Определение прогиба балки, сопроматСкачать

Математика это не ИсламСкачать

"Перемножение" эпюр для вычисления интеграла Мора "комбинированным" способомСкачать

"Перемножение" эпюр для вычисления интеграла Мора с использованием формулы Симпсона (продолжение)Скачать

Расслоение эпюр (временное видео)Скачать

Простая балка. Нахождение вертикального перемещения точки В. Теорема Мора. Метод ВерещагинаСкачать

Определение перемещений в балке. Метод сил. Правило Верещагина. СопроматСкачать

Сопротивление материалов. G-03 (способ Верещагина, расслоение эпюр, основные фигуры для расслоения).Скачать

Перемножение эпюр для определения перемещенияСкачать

Определение перемещений в раме | Интеграл мора | Правило ВерещагинаСкачать

"Перемножение" эпюр для вычисления интеграла Мора с использованием формулы Симпсона (начало)Скачать