Как заполнить окружность окружностями

Алгоритм заполнения окружностей

С помощью данного алгоритма можно заполнить (зарисовать) любую окружность.

Теоретическое обоснование метода заключаются в использовании свойства квадрата и теоремы Пито: » в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны «.

Действительно, любой квадрат является выпуклым четырёхугольником:

  1. Cостоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков;
  2. Никакие три из данных точек не лежат на одной прямой;
  3. Соединяющие эти три данных точки отрезки не пересекаются.

Из данного обоснования можно вывести идею,что если любую окружность можно вписать в квадрат, то перебирая все точки, принадлежащие этому квадрату, можно найти все точки,принадлежащие данной окружности или лежащие в ней, если известны координаты центра вписанной окружности и её радиус. Закрасив все такие точки, мы нарисуем и саму окружность, и круг,который этой окружностью ограничен.

Представление алгоритма на языке псевдокода :

  • 1.Получить X и Y координаты окружности, радиус окружности R, цвет заполнения color;
  • 2.Присвоить переменной cX значение левого края (X-R) описанного квадрата ABCD и начать цикл до правого края (X+R)(BD) с шагом в 1 единицу измерения (пиксель)
    • 2.1Присвоить переменной cY значение верхнего края (Y+R) и начать цикл от до нижнего края (Y-R)(CD) с таким же шагом
      • 2.1.1.Если значения cX и cY удовлетворяют неравенству (X-cX) 2 +(Y-cY) 2 ≤Radius 2 и в точке с координатами (cX,cY) не стоит точка цвета color, то поставить точку цвета color с координатами (cX, cY)
    • 2.2.Закончить цикл по переменной cY
  • 3.Закончить цикл по переменной cX

Данный алгоритм имеет сложность O(N 2 ) и выгодно отличается от обобщенного рекурсивного алгоритма заполнения многоугольников потребляемой памятью, имея примерно такое же время работы применимо к окружности. Также, данный алгоритм гарантированно не переполняет стек вызовов, что позволяет закрашивать ему окружность любого радиуса. Недостатками являются сравнительно малая скорость заполнения и сложность O(N 2 ).

Рис 1. Пример работы алгоритма. Синий квадрат показывает границы квадрата ABCD, внутри которого происходит просчёт принадлежности точек окружности

Видео:Дистанционное обучение. Мастер-класс по теме "Изонить. Заполнение угла и круга".Скачать

Дистанционное обучение. Мастер-класс по теме "Изонить. Заполнение угла и круга".

Алгоритм окружности средней точки для заполненных окружностей

на алгоритм окружности средней точки можно использовать растеризацию границы круга. Однако я хочу, чтобы круг был заполнен, без рисования пикселей несколько раз (это очень важно).

этот ответ обеспечивает модификацию алгоритма, который дает заполненный круг, но некоторые пиксели посещаются несколько раз: быстрый алгоритм для рисования закрашенного круга?

Q: как я могу растеризировать круг без рисования пиксели несколько раз? Обратите внимание, что RAM очень ограничен!

обновление:

нижние пиксели отображаются слишком много раз. Я что-то упускаю?

обновление #2: это решение работает:

Видео:Изонить 03 - Основной алгоритм заполнения окружности / Basic Pattern for Filling a CircleСкачать

Изонить 03 - Основной алгоритм заполнения окружности / Basic Pattern for Filling a Circle

5 ответов

ответ на другой вопрос-это прекрасно. Однако, поскольку это создает путаницу, я собираюсь объяснить это немного.

алгоритм, который вы видите в Википедии в основном находит x и y 1/8 окружности (углы от 0 до pi/4 ), а затем рисует 8 точек, которые являются его зеркалами. Например:

то, что предлагает другое решение, которое имеет смысл, если вы внимательно посмотрите на эту картину, — это вместо рисования 8 точек нарисовать 4 горизонтальные линии:

теперь, если вы вычисляете (x,y) для углов в [0, pi/4] и нарисуйте эти 4 линии для каждой вычисленной точки, вы нарисуете много горизонтальных линий, заполняющих круг без какой-либо линии, перекрывающей другую.

обновление

причина, по которой вы получите перекрывающиеся линии в нижней части круга заключается в том, что (x,y) координаты округлены, поэтому в этих местах (x,y) движение горизонтально сами себя.

если вы посмотрите на это Википедия изображение:

Как заполнить окружность окружностями

вы заметите, что в верхней части круга некоторые пиксели выровнены по горизонтали. Горизонтальные линии, исходящие из этих точек, перекрываются.

если вы не хотите этого, решение довольно легкое. Вы должны сохранить предыдущий x вы нарисовали (так как верхняя и нижняя части являются зеркалами оригинала (x,y) , вы должны сохраняйте предыдущий x, который представляет y этих линий) и рисуйте только горизонтальные линии, если это значение изменяется. Если нет, значит, вы на той же линии.

учитывая тот факт, что вы сначала столкнетесь с самыми внутренними точками, вы должны нарисовать линии для предыдущей точки только новой точки имеет разные x (конечно, последняя строка всегда рисуется). Кроме того, вы можете начать рисовать с угла PI / 4 до 0 вместо 0 до PI / 4 и что вы будете сначала сталкиваются внешние точки, поэтому вы рисуете линии каждый раз, когда вы видите новый x .

Мне нужно было это сделать, вот код, который я придумал для этого. Визуальное изображение здесь показывает пиксели, нарисованные там, где число-это порядок, в котором пиксели пересекаются, а зеленые числа представляют пиксели, нарисованные с использованием отражения завершения столбца с использованием симметрии, как показано в коде.

Как заполнить окружность окружностями

Я придумал алгоритм, который рисует круг уже заполнен.
Он повторяет пиксели, на которых будет нарисован круг, и ничего больше.
Отсюда все о скорости функции draw-pixel.

что касается алгоритма, вот код:

надеюсь, что это помогает . некоторые новые пользователи . жалко некро-постинг.

Я хотел прокомментировать ваше обновление #2: это решение работает: (но я думаю, что мне нужно больше репутации в первую очередь. ) что в решении есть небольшая ошибка, совпадающая при рисовании небольших кругов. Если вы установите радиус в 1, вы получите

чтобы исправить это все, что вам нужно сделать, это изменить условную проверку в plot4points с

Я проверил это на маленьких и больших кругах, чтобы убедиться, что каждый пиксель по-прежнему назначается только один раз. Кажется, работает отлично. Меня думает х != 0 не требуется. Сохраните немного производительности.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Круги в круге

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Задача

Чему равен наименьший радиус круга, в котором можно разместить без наложений 7 единичных кругов? Обоснуйте ваш ответ.

Примечание. Единичный круг — круг радиуса 1. «Без наложений» означает, что круги могут касаться, но не должны иметь общих внутренних точек.

Видео:Изонить 51 - Новый алгоритм заполнения окружностиСкачать

Изонить 51 - Новый алгоритм заполнения окружности

Подсказка 1

Радиус равен 3, а «оптимальная картинка» выглядит именно так, как вы ее себе, скорее всего, и представили (рис. 1).

Как заполнить окружность окружностями

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Подсказка 2

Удобно избавиться от понятия «наложение», перейдя от этой задачи к такой:
Рассмотрим вместо кругов только их центры. В круг какого наименьшего радиуса можно их все уместить?

Как заполнить окружность окружностями

В «оптимальной картинке» все центры являются вершинами и центром правильного шестиугольника со стороной 2 (рис. 2). При этом расстояние между любыми двумя вершинами и центром такого шестиугольника тоже равно 2, поэтому все точки лежат в круге радиуса 2. Нужно обосновать, что все эти точки нельзя уместить в круг меньшего радиуса. Для этого попробуйте рассмотреть случаи, сколько именно (из шести отличных от центра) точек образуют выпуклый многоугольник.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Решение

Будем действовать методом «от противного». Предположим, что шесть точек с попарным расстоянием 2 (или большим двух), удалось поместить в круг радиуса R BA и CH > CA. То есть при сдвиге A в H расстояния до точек B и C увеличились.

Наконец, если все точки лежат на единичной окружности, то они делят ее на 6 дуг, поэтому длина наименьшей из дуг не больше, чем 1/6 длины окружности, то есть не больше 2π/6. Это значит, что величина центрального угла этой дуги также не превышает 2π/6, а значит, расстояние между двумя точками, являющимися концами этой дуги, не больше 2sin(π/6) = 1.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Послесловие

Эта задача является примером огромного класса так называемых «минимаксных» задач вычислительной геометрии. В минимаксных задачах ищется наибольшее возможное значение какой-то величины, которая сама определена как наименьшее значение другой величины. В нашем случае минимаксная задача (к которой мы свели исходную) была такой: сначала среди всех 15 попарных расстояний между шестью точками в единичном круге выбирается наименьшее, а затем ищется такая конфигурация шести точек, для которой это расстояние будет максимальным из возможных.

Приведенное нами утверждение и его доказательство принадлежат замечательному американскому математику Рональду Грэхему (Ronald Graham), они опубликованы в 1968 году. Грэхем доказал даже более общую оценку для наименьшего расстояния d между какими-то из k точек, лежащих в единичном круге. Эта оценка имеет вид

(то есть d не превышает наибольшего из двух чисел — единицы и удвоенного синуса). Оценка Грэхема является оптимальной для 2 ≤ k ≤ 7, то есть существуют картинки, для которых достигаются значения из правой части этого неравенства. Для больших значений k указанная оценка неточна, поскольку она дает d ≤ 1, а на самом деле наибольшее из возможных значений минимального расстояния между точками строго меньше 1.

Естественное обобщение нашей задачи — поиск кругов наименьшего радиуса, в которые можно поместить N единичных кругов (или, что то же самое, поиск решения минимаксной задачи об N точках в единичном круге). В этом поиске усилия математиков сконцентрировались на двух направлениях — компьютерном моделировании и доказательствах оптимальности. Ниже на рис. 5 показаны несколько очевидных оптимальных картинок.

Как заполнить окружность окружностями

Оптимальность первых трех из них следует из приведенного выше результата Р. Грэхема. Оптимальность последней (для 8 кругов) была доказана в 1963 году голландцем Boele L. J. Braaksma в его диссертации под труднопроизносимым названием «Асимптотические расширения и аналитические продолжения для одного класса интегралов Барнса». Следующее продвижение, а также оптимальность вот такой вот картинки (рис. 6) с двумя внутренними кругами (для 10 кругов)

Как заполнить окружность окружностями

было получено немцем U. Pirl в 1969 году. Оптимальность аналогичной картинки для 11 кругов доказана еще на 25 лет позже, а для 12, 13 и 19 кругов — еще позже (последний из результатов — в 2003 году).

И. всё. Остальные результаты об упаковке кругов в круг на сегодняшний день находятся в состоянии «оптимальность предполагается, но не доказана». Так что просто полюбуйтесь на картинки (рис. 7) с доказанной оптимальностью (N = 12 и N = 19) и оцените: всего каких-то 15 лет назад это была терра инкогнита, обе задачи еще ждали своего решателя.

Как заполнить окружность окружностями

А следующие две картинки (для N = 14 и N = 15 соответственно) являются этой самой «инкогнитой» и сейчас (рис. 8). Дерзайте.

Как заполнить окружность окружностями

См. также:
1) Circle packing in a circle («Упаковка кругов в круг»). Достаточно детальная статья английской Википедии.
2) Circles in Circles. Страничка Эрика Фридмана, откуда мы позаимствовали большую часть иллюстраций. Там же на соседних страницах packing center рассказано о других задачах упаковки.
3) K. A. Dowsland, M. Gilbert, G. Kendall. A local search approach to a circle cutting problem arising in the motor cycle industry (PDF, 346 Кб). Статья в научном журнале Operational Research Society — международного сообщества, занимающегося исследованием операций, то есть научной дисциплиной, чья основная задача — обоснование оптимальности применения каких-либо научных достижений на практике.
В статье объясняется, как можно оптимизировать изготовление «звездочек» и других профилированных колёс (для зубчатых передач и др.) при производстве велосипедов и мотоциклов. С точки зрения математики — абсолютно ничего нового, но связь с практикой очень забавна. Интересно, появится ли когда-нибудь подобная статья для домохозяек — об оптимизации раскладывания котлет на сковородке?

🎦 Видео

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частей

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)Скачать

Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)

Изонить 52 - Новый алгоритм заполнения окружности. Способ 2Скачать

Изонить 52 - Новый алгоритм заполнения окружности. Способ 2

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Построение эвольвенты окружностиСкачать

Построение эвольвенты окружности

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Blender 2.8. Заполнить гранями выделенные вершины (заполнение меша полигонами, короче)Скачать

Blender 2.8. Заполнить гранями выделенные вершины (заполнение меша полигонами, короче)

7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать

7 класс, 21 урок, Окружность

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс
Поделиться или сохранить к себе: