С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).
 |
Можно дать и другое определение прямоугольника.
Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.
- Свойства прямоугольника
- Диагональ прямоугольника
- Окружность, описанная около прямоугольника
- Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника
- Периметр прямоугольника
- Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр
- Признаки прямоугольника
- Радиус описанной окружности прямоугольника
- Свойства вписанного в круг прямоугольника
- 📹 Видео
Видео:В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Свойства прямоугольника
Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.
- 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
- 2. Все углы прямоугольника прямые.
- 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
- 4. Диагонали прямоугольника равны.
- 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.
Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.
Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Диагональ прямоугольника
Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.
 |
На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.
Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:
 |
 . | (1) |
Из равенства (1) найдем d:
 . | (2) |
Пример 1. Стороны прямоугольника равны 
. Найти диагональ прямоугольника.
Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя в (2), получим:
 |
Ответ: 
Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать
Окружность, описанная около прямоугольника
Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):
 |
Видео:Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать
Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника
Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.
Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть
| ( small R=frac ) | (3) |
Подставляя (3) в (2), получим:
| ( small R=frac<large sqrt> ) | (4) |
Пример 2. Стороны прямоугольника равны 
. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя в (4), получим:
 |
 |
Ответ: 
Видео:Прямоугольник в окружностиСкачать
Периметр прямоугольника
Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.
Периметр прямоугольника вычисляется формулой:
 | (5) |
где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.
Пример 3. Стороны прямоугольника равны . Найти периметр прямоугольника.
Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя в (5), получим:
 |
Ответ: 
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр
Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).
Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:
 | (6) |
 | (7) |
Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):
 | (8) |
 | (9) |
Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):
 | (10) |
Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):
  | (11) |
Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:
 | (12) |
После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).
Примечание. Легко можно доказать, что
| ( frac >d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*). |
Пример 4. Диагональ прямоугольника равна 
, а периметр равен 
. Найти стороны прямоугольника.
Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим , в (11):
 |
Подставляя значения и 
в первую формулу (12), получим:
 |
Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения и 
в формулу, получим:
 |
Ответ: 
, 
Видео:Любой прямоугольник можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Признаки прямоугольника
Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Видео:№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любойСкачать
Радиус описанной окружности прямоугольника
Как известно, прямоугольником является четырехугольник с прямыми углами. Противоположные углы прямоугольника в сумме составляют 180°, соответственно, вокруг него можно описать одну окружность, при этом, вершины прямоугольника должны быть расположены на этой окружности. Центр прямоугольника и описанной вокруг него окружности размещен в месте пересечения диагоналей. Диагонали прямоугольника равны. Если известны стороны прямоугольника, можно рассчитать величину диагоналей по теореме Пифагора. Диагональ прямоугольника является в то же время и диаметром описанной окружности. R описанной окружности представляет половину диагонали прямоугольника и рассчитывается путем извлечения квадратного корня из суммы квадратов его сторон деленный на 2 или как половина его диагонали:
d — диагональ;
a, b — величины сторон прямоугольника.
Если известны стороны прямоугольника или диагонали, можно быстро найти R описанной окружности с помощью калькулятора.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Свойства вписанного в круг прямоугольника
Геометрия периметр вписанного в круг прямоугольника.
Мы продолжаем находить свойства геометрических фигур с помощью перпендикулярных друг другу прямых. Мы уже нашли новое прочтение теоремы Пифагора,формулу площади треугольника
и площади круга.
Сегодня будем говорить о свойствах четырехугольника вписанного в круг.
Простейший вариант (Рис. 1) перпендикулярные прямые проходят через центр круга и прямоугольник это вписанный квадрат.
По теореме Пифагора нетрудно вычислить, что
СУММА СТОРОН КВАДРАТА РАВНА УДВОЕННОМУ КВАДРАТУ ДИАМЕТРА.
Далее ( Рис 2 ) . сумма квадратов сторон стремится к квадрату диаметра.
📹 Видео
№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать
Как вписать квадрат в окружностьСкачать
Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать
Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Как построить квадрат, два способаСкачать
Геометрия Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольникСкачать
Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать
№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать
Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать
№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать
Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать
