Двойной интеграл по окружности

Двойные интегралы в полярных координатах: теория и примеры
Содержание
  1. Что значит вычислить двойной интеграл в полярных координатах?
  2. Пределы интегрирования в повторных интегралах
  3. Случай первый
  4. Случай второй
  5. Случай третий
  6. Случай четвёртый
  7. Решения двойных интегралов в полярных координатах: примеры
  8. Двойной интеграл с примерами решения и образцами выполнения
  9. Геометрический и физический смысл двойного интеграла
  10. Масса плоской пластинки
  11. Основные свойства двойного интеграла
  12. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
  13. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
  14. Приложения двойного интеграла
  15. Объем тела
  16. Площадь плоской фигуры
  17. Масса плоской фигуры
  18. Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры
  19. Моменты инерции плоской фигуры
  20. Двойной интеграл
  21. Примеры решений двойных интегралов
  22. Порядок интегрирования: примеры решений
  23. Двойной интеграл по области: примеры решений
  24. Площади: примеры решений
  25. Объемы: примеры решений
  26. Масса, центр тяжести, момент: примеры решений
  27. 🔥 Видео

Видео:Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатамСкачать

Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам

Что значит вычислить двойной интеграл в полярных координатах?

Если область интегрирования представляет собой окружность или часть окружности, двойной интеграл проще вычислить не в декартовых прямоугольных координатах, а в полярных координатах. В этом случае подынтегральная функция выражается как функция полярных переменных r и φ с использованием соотношений между полярными и декартовыми координатами x = rcosφ и y = rsinφ :

Двойной интеграл по окружности.

Двойной интеграл по окружности

Что представляет собой элемент площади dxdy , выраженный в полярных координатах? Для ответ на этот вопрос разделим область интегрирования D на участки линиями окружности r = const и лучами φ = const . Рассмотрим один частичный участок (заштрихованный на рисунке), который ограничивают лучи, образующие с полярной осью углы φ и φ + и линии окружности с радиусом r и r + dr . Этот криволинейный четырёхугольник можем приближенно считать прямоугольником с длиной боковой стороны dr и длиной основания rdφ . Поэтому элемент площади в полярных координатах выражается следующим образом:

а двойной интеграл в полярных координатах записывается так:

Двойной интеграл по окружности.

Чтобы вычислить двойной интеграл в полярных координатах, его нужно выразить через повторные интегралы, так же, как и «обычный» двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах. В полярных координатах внешний интеграл всегда интегрируется по углу φ , а внутренний — по радиусу r .

Вычислить двойной интеграл в полярных координатах — значит, как и в декартовых прямоугольных координатах, найти число, равное площади упомянутой фигуры D .

Видео:Двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Двойной интеграл в полярных координатах

Пределы интегрирования в повторных интегралах

При переходе от двойного интеграла в полярных координатах к повторным интегралам расстановку пределов интегрирования могут облегчить следующие закономерности.

Случай первый

Полюс O является внутренней точкой области интегрирования D , область ограничена линией r = r(φ) .

Двойной интеграл по окружности

Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны 0 и 2π , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

Двойной интеграл по окружности.

Случай второй

Полюс O находится на границе области интегрирования D , ограниченного линией r = r(φ) , но не является угловой точкой.

Двойной интеграл по окружности

Через полюс O проведём касательную. Пусть касательная образует с полярной осью угол α . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и π + α , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

Двойной интеграл по окружности.

Случай третий

Полюс O находится на границе области интегрирования D , ограниченного линией r = r(φ) , и является угловой точкой.

Двойной интеграл по окружности

Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D . Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

Двойной интеграл по окружности.

Случай четвёртый

Полюс O находится вне области интегрирования D .

Двойной интеграл по окружности

Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D . Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β , а область D ограничивают линии r = r 1 (φ) и r = r 2 (φ) . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β , а внутреннего интеграла — r 1 (φ) и r 2 (φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

Двойной интеграл по окружности.

Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

Решения двойных интегралов в полярных координатах: примеры

Пример 1. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

Двойной интеграл по окружности,

где область D ограничена линиями Двойной интеграл по окружности, Двойной интеграл по окружности, Двойной интеграл по окружности.

Решение. Строим на чертеже область интегрирования. Видим, что этот пример относится к третьему случаю из вышеописанных четырёх случаев расположения области интегрирования.

Двойной интеграл по окружности

Выразим подынтегральную функцию как функцию полярных переменных:

Двойной интеграл по окружности.

Данные в условии линии, ограничивающие D , приводим к полярным координатам:

Двойной интеграл по окружности

Переходим от двойного интеграла к повторному, учитывая пределы интегрирования, верные в третьем случае:

Двойной интеграл по окружности.

Вычисляем интеграл (так как повторные интегралы независимы друг от друга, каждый из них вычисляем отдельно и результаты перемножаем):

Двойной интеграл по окружности

Пример 2. В повторном интеграле

Двойной интеграл по окружности

перейти к полярной системе координат.

Решение. В повторном интеграле переменная x изменяется от -1 до 1, а переменная y — от параболы x² до 1. Таким образом, область интегрирования снизу ограничена параболой y = x² , а сверху — прямой y = 1 . Область интегирования изображена на следующем чертеже.

Двойной интеграл по окружности

При переходе к полярным координатам область интегрирования нужно разделить на три части. Значит, данный повторный интеграл должен быть вычислен как сумма трёх интегралов. В первой области полярный радиус меняется от 0 до параболы, во второй области — от 0 до прямой y = 1 , в третьей области — от 0 до параболы. Точки пересечения прямой y = 1 и параболы: (1; 1) и (−1; 1) . В первой точке полярный угол составляет Двойной интеграл по окружности, во второй точке он составляет Двойной интеграл по окружности. Поэтому в первой области φ меняется от от 0 до Двойной интеграл по окружности, во второй области — от 0 до Двойной интеграл по окружности, в третьей области — от Двойной интеграл по окружностидо π .

Запишем линии, ограничивающие область интегрирования в полярной системе координат. Найдём уравнение прямой y = 1 : Двойной интеграл по окружностиили Двойной интеграл по окружности. Найдём уравнение параболы y = x² в полярной системе координат:

Двойной интеграл по окружности

Теперь у нас есть всё, чтобы от данного повторного интеграла перейти к полярным координатам:

Двойной интеграл по окружности

Пример 3. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

Двойной интеграл по окружности,

где область D ограничена линией окружности Двойной интеграл по окружности.

Решение. Строим на чертеже область интегрирования.

Двойной интеграл по окружности

Область интегрирования ограничивает линия окружности с центром в точке (a; 0) и радиусом a . В этом легко убедиться, преобразовав её уравнение следующим образом:

Двойной интеграл по окружности.

Линия окружности Двойной интеграл по окружностикасается оси Oy , поэтому полярный угол в области интегрирования меняется от Двойной интеграл по окружностидо Двойной интеграл по окружности. Подставим Двойной интеграл по окружностии Двойной интеграл по окружностив уравнение окружности и получим

Двойной интеграл по окружности

Напишем подынтегральную функцию в полярных координатах:

Двойной интеграл по окружности.

Теперь можем перейти в данном двойном интеграле к полярным координатам:

Двойной интеграл по окружности

Наконец, находим двойной интеграл в полярных координатах:

Двойной интеграл по окружности

В полученном выражении второе слагаемое равно нулю, так как и sinπ , и sin(−π) равны нулю. Продолжая, получаем:

Двойной интеграл по окружности

Пример 4. Вычислить плоской фигуры, которую ограничивают линии Двойной интеграл по окружности, Двойной интеграл по окружности, Двойной интеграл по окружности, Двойной интеграл по окружности.

Решение. Построим заданную фигуру на следующем рисунке.

Двойной интеграл по окружности

Так как фигура является частью круга, её площадь проще вычислить в полярных координатах. Данные уравнения линий перепишем в полярных координатах:

Двойной интеграл по окружности

Таким образом, у нас есть всё, чтобы записать площадь фигуры в виде двойного интеграл в полярных координатах, перейти к повторному интегралу и вычислить его:

Двойной интеграл по окружности

Пример 5. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

Двойной интеграл по окружности,

где область D ограничена линиями Двойной интеграл по окружностии Двойной интеграл по окружности.

Решение. Преобразуем данные уравнения линий, чтобы было проще построить чертёж:

Двойной интеграл по окружности.

Строим на чертеже область интегрирования.

Двойной интеграл по окружности

В данных уравнениях линий перейдём к полярным координатам:

Двойной интеграл по окружности.

В данном двойном интеграле перейдём к полярным координатам, затем к повторным интегралам и вычислим интеграл:

Видео:Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл через повторный (двукратный) / Два способаСкачать

Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл через повторный (двукратный) / Два способа

Двойной интеграл с примерами решения и образцами выполнения

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой обласДвойной интеграл по окружностити D плоскости Оху задана непрерывная функция z = f(x;y). Разобьем область D на п «элементарных областей» Двойной интеграл по окружностиплощади которых обозначим через Двойной интеграл по окружностиа диаметры (наибольшее расстояние между точками области) — через Двойной интеграл по окружности(см. рис. 214).

Двойной интеграл по окружности

В каждой области Двойной интеграл по окружностивыберем произвольную точку Двойной интеграл по окружностиумножим значение Двойной интеграл по окружностифункции в этой точке на Двойной интеграл по окружностии составим сумму всех таких произведений:

Двойной интеграл по окружности

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x; у) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремится к бесконечности таким образом, что Двойной интеграл по окружностиЕсли этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается

Двойной интеграл по окружности

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

Двойной интеграл по окружности

В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; Dобласть интегрирования; х и у — переменные интегрирования; dx dy (или dS) — элемент площади.

Для всякой ли функции f(x; у) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства.

Теорема:

Достаточное условие интегрируемости функции. Если функция z = f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

Замечания:

  1. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.
  2. Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом Двойной интеграл по окружностиравенство (53.2) можно записать в виде

Двойной интеграл по окружностиДвойной интеграл по окружности

Двойной интеграл по окружности

Видео:Математический анализ, 41 урок, Вычисление двойных интеграловСкачать

Математический анализ, 41 урок, Вычисление двойных интегралов

Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу. Объем цилиндрического тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностьюДвойной интеграл по окружности, снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f(x; у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей Двойной интеграл по окружности, площади которых равны A Двойной интеграл по окружностиРассмотрим цилиндрические столбики с основаниями ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y) (на рис. 216 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием Двойной интеграл по окружностичерез Двойной интеграл по окружности, получим

Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности

Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку Двойной интеграл по окружностии заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Двойной интеграл по окружностии высотой Двойной интеграл по окружностиОбъем этого цилиндра приближенно равен объему Двойной интеграл по окружностицилиндрического столбика, т. е. Двойной интеграл по окружностиТогда получаем:

Двойной интеграл по окружности

Это равенство тем точнее, чем больше число п и чем меньше размеры «элементарных областей» Двойной интеграл по окружности,. Естественно принять предел суммы (53.3) при условии, что число площадок Двойной интеграл по окружностинеограниченно увеличивается Двойной интеграл по окружностиа каждая площадка стягивается в точку Двойной интеграл по окружностиза объем V цилиндрического тела, т. е.

Двойной интеграл по окружности

или, согласно равенству (53.2),

Двойной интеграл по окружности

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластинки

Требуется найти массу m плоской пластинки D. зная, что ее поверхностная плотность Двойной интеграл по окружностиесть непрерывная функция координат точки (х; у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей Двойной интеграл по окружностиплощади которых обозначим через Двойной интеграл по окружности. В каждой области Двойной интеграл по окружностивозьмем произвольную точку Двойной интеграл по окружностии вычислим плотность в ней: Двойной интеграл по окружности

Если области D, достаточно малы, то плотность в каждой точке Двойной интеграл по окружностимало отличается от значения Двойной интеграл по окружностиСчитая приближенно плотность в каждой точке области Двойной интеграл по окружностипостоянной, равной Двойной интеграл по окружности, можно найти ее массу Двойной интеграл по окружностиТак как масса m всей пластинки D равна Двойной интеграл по окружностиДля ее вычисления имеем приближенное равенство

Двойной интеграл по окружности

Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии Двойной интеграл по окружности

Двойной интеграл по окружности

или, согласно равенству (53.2),

Двойной интеграл по окружности

Итак, двойной интеграл от функции Двойной интеграл по окружностичисленно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию Двойной интеграл по окружностисчитать плотностью этой пластинки в точке (х; у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

Видео:Вычисление двойных интегралов в ПСК (полярной системе координат). Примеры.Скачать

Вычисление двойных интегралов в ПСК (полярной системе координат). Примеры.

Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. § 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства (см. § 38). Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

Двойной интеграл по окружности

3.Если область D разбить линией на две области Двойной интеграл по окружноститакие, что Двойной интеграл по окружностиа пересечение Двойной интеграл по окружностисостоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то

Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности

4.Если в области D имеет место неравенство Двойной интеграл по окружностито и Двойной интеграл по окружностиЕсли в области D функции f(x;y) и Двойной интеграл по окружностиудовлетворяют неравенству Двойной интеграл по окружностито и

Двойной интеграл по окружности

6.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой Двойной интеграл по окружности— соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

7.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точкаДвойной интеграл по окружности, что Двойной интеграл по окружностиВеличину

Двойной интеграл по окружности

называют средним значением функции f(x; у) в области D.

Видео:Изменение порядка интегрирования в повторном интегралеСкачать

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл Двойной интеграл по окружностигде функция Двойной интеграл по окружностинепрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было показано, что

Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности

где S(x) — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а х = а, х = b — уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a и x = b и кривымиДвойной интеграл по окружности, причем функции Двойной интеграл по окружностинепрерывны и таковы, что Двойной интеграл по окружностидля всех Двойной интеграл по окружности(см. рис. 218). Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси Двойной интеграл по окружности

Двойной интеграл по окружности

В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями

Двойной интеграл по окружности

Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла

Двойной интеграл по окружности

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

Двойной интеграл по окружности

С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции Двойной интеграл по окружностипо области D. Следовательно,

Двойной интеграл по окружности

Это равенство обычно записывается в виде

Двойной интеграл по окружности

Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x;y) по области D. При этом Двойной интеграл по окружностиназывается внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

Если же область D ограничена прямыми Двойной интеграл по окружностикривыми

Двойной интеграл по окружности

для всех Двойной интеграл по окружностит. е. область Dправильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью у = const, аналогично получим:

Двойной интеграл по окружности

Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.

Замечания:

  1. Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когдаДвойной интеграл по окружности
  2. Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по формуле (53.8).
  3. Если область D не является правильной ни «по x», ни «по у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении осиОх или оси Оу.
  4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Пример:

Вычислить Двойной интеграл по окружностигде область D ограничена линиями уДвойной интеграл по окружности

Двойной интеграл по окружности

Решение:

На рисунке 220 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Ох. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (53.8):

Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности

Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует разбить на две области: Двойной интеграл по окружности. Получаем:

Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности

Ответ, разумеется, один и тот же.

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как

Двойной интеграл по окружности

Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

Двойной интеграл по окружности

а функция f(х; у) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

Двойной интеграл по окружности

Функциональный определитель (53.10) называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик). Доказательство формулы (53.11) не приводим.

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами Двойной интеграл по окружности

В качестве инь возьмем полярные координаты Двойной интеграл по окружностиОни связаны с декартовыми координатами формулами Двойной интеграл по окружности(см. п. 9.1).

Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как

Двойной интеграл по окружности

Формула замены переменных (53.11) принимает вид:

Двойной интеграл по окружности

где D* — область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если

область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лучами Двойной интеграл по окружностии кривыми Двойной интеграл по окружностигде Двойной интеграл по окружностит. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы (53.12) можно записать в виде

Двойной интеграл по окружности

Внутренний интеграл берется при постоянном Двойной интеграл по окружности

Двойной интеграл по окружности

Замечания:

  1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид Двойной интеграл по окружностиобласть Dесть круг, кольцо или часть таковых.
  2. На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены Двойной интеграл по окружностиуравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по Двойной интеграл по окружности(исследуя закон изменения Двойной интеграл по окружноститочки Двойной интеграл по окружностипри ее отождествлении с точкой (х; у) области D).

Пример:

Вычислить Двойной интеграл по окружностигде область D — круг Двойной интеграл по окружности

Решение: Применив формулу (53.12), перейдем к полярным координатам:

Двойной интеграл по окружности

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис. 222) Двойной интеграл по окружностиЗаметим: область D —круг — преобразуется в область D* — прямоугольник. Поэтому, согласно формуле (53.13), имеем:

Двойной интеграл по окружности

Видео:Двойной интеграл (ч.25). Вычисление в полярных координатах. Высшая математика.Скачать

Двойной интеграл (ч.25).  Вычисление в полярных координатах. Высшая математика.

Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

Объем тела

Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится по формуле

Двойной интеграл по окружности

где z = f(x;y) — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле (53.4) f(x;y) = 1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:

Двойной интеграл по окружности

или, в полярных координатах,

Двойной интеграл по окружности

Масса плоской фигуры

Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с переменной плотностью Двойной интеграл по окружностинаходится по формуле

Двойной интеграл по окружности

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

Двойной интеграл по окружности

а координаты центра масс фигуры по формулам

Двойной интеграл по окружности

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т. е. Двойной интеграл по окружностиМоменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:

Двойной интеграл по окружности

Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле Двойной интеграл по окружности

Замечание:

Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Двойной интеграл по окружности

Решение: Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему

Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности

находим уравнение линии их пересечения:

Двойной интеграл по окружности

Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг Двойной интеграл по окружности) и ограниченных сверху соответственно поверхностями Двойной интеграл по окружностиИспользуя формулу (53.4), имеем

Двойной интеграл по окружности

Переходя к полярным координатам, находим:

Двойной интеграл по окружности

Пример:

Найти массу, статические моменты Двойной интеграл по окружностии координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом Двойной интеграл по окружностии координатными осями (см. рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

Двойной интеграл по окружности

Решение: По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию, Двойной интеграл по окружности— коэффициент пропорциональности.

Двойной интеграл по окружности

Находим статические моменты пластинки:

Двойной интеграл по окружности

Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы

Двойной интеграл по окружности

Видео:Двойной интеграл. Вычисление в полярных координатахСкачать

Двойной интеграл. Вычисление в полярных координатах

Двойной интеграл

Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Двойной интеграл по окружности

Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности Двойной интеграл по окружности

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Математика без ху!ни. Двойной интеграл, вычисление двумя способами.Скачать

Математика без ху!ни. Двойной интеграл, вычисление двумя способами.

Примеры решений двойных интегралов

В этом разделе вы найдете подробные решения заданий с использованием двойных интегралов разной сложности. Для удобства использования примеры разбиты по подразделам:

Видео:Семинар 4. Двойной интеграл.Скачать

Семинар 4. Двойной интеграл.

Порядок интегрирования: примеры решений

Задача 1. Изменить порядок интегрирования.

$$ int_0^1 dy int_<-sqrt>^0 fdx +int_1^e dy int_^<ln> fdx $$

Задача 2. Свести к однократному интегралу

Задача 3. Изменить порядок интегрирования. Нарисовать область интегрирования и вычислить двойной интеграл двумя способами.

Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.

Видео:Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго родаСкачать

Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго рода

Двойной интеграл по области: примеры решений

Задача 4. Вычислить двойной интеграл по области $D$

Задача 5. Вычислить двойной интеграл от функции $z=x^3+y^3-3xy$ по области D, заданной системой неравенств $0 le x le 2$, $y le sqrt$. Область D изобразить на рисунке.

Задача 6. Вычислить с помощью перехода к полярным координатам двойной интеграл по указанной области $D$.

Видео:Площадь круга через интегралСкачать

Площадь круга через интеграл

Площади: примеры решений

Задача 7. Вычислить площадь области D: $y=-2x^2+2, y ge -6$.

Задача 8. Найти площадь области $x^2-2x+y^2=0$, $x^2-4x+y^2=0$, $y=0$, $y=sqrtx$.

Задача 9. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (неравенствами) $y=x^2,x=2y^2$

Задача 10. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

Задача 11. Вычислить площадь области, заданной неравенствами $(x-r)^2+y^2 le r^2, y ge 0, -2x+2r ge y$, перейдя предварительно к полярным координатам.

Если вам нужна помощь в нахождении интегралов, выполнении домашней работы или типовика по интегральному исчислению, будем рады принять ваш заказ на решение. Стоимость от 60 рублей, срок от нескольких часов.

Видео:Двойные интегралы в полярных координатахСкачать

Двойные интегралы в полярных координатах

Объемы: примеры решений

Задача 12. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

$$ x^2+y^2=2y, quad x^2+y^2=5y, quad z=sqrt, quad z=0. $$

Задача 13. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

$$ a^2 le x^2+y^2 le b^2, quad x^2-y^2-z^2 ge 0, xge 0$$

Задача 14. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, с помощью двойного и тройного интеграла $x^2+y^2=4x,x^2+y^2+z^2=16$

Видео:Математика без ху!ни. Двойные интегралы. Часть2.Скачать

Математика без ху!ни. Двойные интегралы. Часть2.

Масса, центр тяжести, момент: примеры решений

Задача 15. Пластина $D$ задана уравнениями $x=1$, $y ge 0$, $y^2=4x$ с плотностью $mu = 6x+3y^2$. Найти массу пластины.

Задача 16. Найти координаты центра тяжести однородной пластины, ограниченной кривой

$$ x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), quad 0 le t le 2pi; y=0. $$

Задача 17. Найти центр тяжести плоской пластины, ограниченной кривой $(x+y)^4=xy$, имеющей плотность

Задача 18. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси $Ox$ тонкой однородной пластинки, имеющей форму области $D$, ограниченной заданными линиями. Построить чертеж области интегрирования

Задача 19. Найти массу круглой пластины $D: x^2+y^2 le 1$ с поверхностной плотностью $rho(x,y)=3-x-y$.

Задача 20. Найти момент инерции относительно оси $Ox$ однородной фигуры, ограниченной двумя кривыми $y^2=8x+4$, $y^2=-8x+4$.

🔥 Видео

Математика без ху!ни. Двойные интегралы. Часть1. Как вычислять.Скачать

Математика без ху!ни. Двойные интегралы. Часть1. Как вычислять.
Поделиться или сохранить к себе: