Треугольник, у которого все три стороны равны, называется равносторонним. Периметр такого треугольника равен стороне (а) умноженной на 3 (количество сторон): : P = 3a.
Кроме сторон, у такого треугольника одинаковы и все углы, по 60 градусов каждый, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180 градусам. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его противоположную сторону, является его высотой. Она делит треугольник на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, у которых гипотенузой будет сторона равностороннего треугольника (а), одним из катетов — высота (h), а другим катетом — половина его основания или (а/2), т.к в треугольнике все стороны равны.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (в нашем случае она является и стороной равностороннего треугольника) равен сумме квадрата высоты h и квадрата половины основания (половины стороны а):
a 2 = h 2 + a 2 /2 2 ,
где а — сторона, h — высота равностороннего треугольника.
После проведенных преобразований, выводим формулу для расчета стороны равностороннего треугольника по его высоте:
Т.е. сторона равностороннего треугольника (а) равна удвоенной высоте (2h) на корень квадратный из трех.
Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать
Сторона правильного треугольника
Сторона правильного треугольника — это одна из сторон
треугольника, у которого все стороны и углы равны.
У правильного треугольника имеется три стороны, и три угла.
Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать
Признаки стороны правильного треугольника
Сторона является правильной в треугольнике, если:
- Каждый из углов треугольника равен 60 градусам.
- Все стороны треугольника равны.
- Все углы треугольника равны.
Кроме этих трех признаков, определить является ли сторона
правильной можно с помощью формул, характерных только
для сторон правильного треугольника.
Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать
Формулы стороны правильного треугольника
Длину правильной стороны в равностороннем, равноугольном,
правильном треугольнике можно выразить через формулы.
- Сторона правильного треугольника через высоту:
Сторона правильного треугольника через периметр:
Сторона правильного треугольника через радиус вписанной окружности:
Сторона правильного треугольника через радиус описанной окружности:
Сторона правильного треугольника через площадь:
С помощью вышеперечисленных формул можно найти сторону в
равностороннем, равноугольном, правильном треугольниках.
Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать
Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник — это самый простой правильный многоугольник из возможных. При нахождении его площади возникают частные варианты его расчета. Важно знать и понимать признаки и свойства этого вида фигур, для более легкого вычисления этого параметра. Все методы, представленные ниже, достаточно просты в применении, и не потребуют глубокого осмысления….
Видео:Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать
Признаки и свойства фигуры
Для того чтобы рассчитать его площадь необходимо понимать свойства и признаки, которыми он обладает. Можно выделить следующие основные признаки этой фигуры:
- Значение величины его углов одинаково во всех случаях и равняется 60 градусам, вне зависимости от размера сторон.
- Биссектриса, высота и медиана выпущенные из одного угла будут совпадать.
- Любая сторона равностороннего треугольника равна двум другим.
- Центр правильного треугольника будет являться центром для вписанной и описанной окружности.
- Является частным случаем равнобедренного треугольника.
Важно! Если хотя бы один из этих признаков соблюдается, значит, треугольник является равносторонним. 
Равносторонний треугольник
Дополнительно этот частный случай фигуры обладает следующими свойствами:
- Средняя линия, которая делит две боковые стороны пополам, равняется половине основания, параллельно которому она располагается.
- Сумма всех его углов не превышает 180 градусов.
- Радиус вписанной окружности рассчитывается по следующей формуле r =
, а описанной согласно выражению R = . - Радиус описанной окружности в правильном треугольнике в 2 раза больше радиуса вписанной.
, а описанной согласно выражению R = 
.Видео:№250. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 смСкачать
Расчет через сторону
Существует множество способов расчета площади этой фигуры. Все они имеют свои преимущества и недостатки. Применяются в зависимости от условий, представленных задаче. Самая популярный способ найти искомое значение для равностороннего треугольника вычисляется через произведение половины сторон и синуса угла между ними, выглядит это следующим образом: 
, где, a и b – стороны, α – угол между ними.
В случае с равносторонним, этот способ упрощается в значительной степени. Для этого нужно обратиться к рассмотренным выше признакам и свойствам. Исходя из того, что все углы этой фигуры равны, и равняются 60 градусам. Синус 60 градусов, согласно таблице Брадиса, равняется 
, преобразовав исходное выражение получаем следующее значение: 
.
Учитывая то, что все стороны этой фигуры равны, то преобразованное выражение даст такой результат: 
.
Данная формула отлично подойдет в случае, если известна величина стороны этой фигуры. В таком виде вычислять данный показатель гораздо легче и быстрее.
Те, кто помнит формула Герона, знают, как найти площадь этой фигуры. В процессе преобразования выражение изменится в представленное выше. Площадь этой фигуры по Герону рассчитывается так: 
, где, a, b, c —стороны, а p — полупериметр ( 
). Преобразовывается данное выражение достаточно просто. Необходимо подставить вместо значения p расчет полупериметра и постепенно начать сокращать выражение. Сумму сторон можно представить в виде суммы трех одинаковых сторон и довести сокращения до конца. Математически это выглядит так:
,
,
,
.
Полученная формула площади и представленные ниже функции могут быть использованы только, в случае, если фигура является правильной, в ином случае не будет давать правильный ответ.
Вычисление площади треугольника по его стороне
Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Расчет по высоте
Найти площадь равностороннего треугольника можно также, если известна его высота и сторона. Половина длины высоты умножается на сторону, выбрана может быть любая высота и сторона, ведь согласно свойствам, они все одинаковые: 
, где a – это длина стороны. Ее легко запомнить, однако, на практике она применяется достаточно редко.
Если в задаче указана информация о том, что треугольник является равносторонним и известна величина высоты. А чему равна длина стороны неизвестно, то можно воспользоваться формулой, позволяющей ее рассчитать. Найти сторону можно разделив двойную величину высоты на корень квадратный из трех, математически выглядит следующим образом: 
. После этого применяется формула площади, где расчеты производятся через сторону, она описана в предыдущем пункте.
Для того чтобы не делать лишних расчетов можно вывести формулу этого показателя сразу же через высоту. Квадрат высоты делится на корень квадратный из трех. Она будет выглядеть так: 
. В этом случае можно не применять формулу равнобедренного треугольника через сторону.
Вычисление площади треугольника по его стороне и высоте
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Расчет через окружности
В математике популярен также прием расчета, рассматриваемого в статье, значения через помещение фигуры в окружность или наоборот. Такая окружность называется описанной. Если она находится внутри, то она называется вписанной. Именно в этом разделе возникает большинство вопросов, как найти площадь равностороннего многоугольника с тремя углами.
Описанная окружность обязательно должна проходить через все вершины, вписанная должна проходить через стороны только в одной точке по касательной.
Чертеж равностороннего треугольника, описанного или вписанного в окружность
Если в условии задачи дан радиус вписанной и описанной окружности, то из них также можно составить выражение, так как вместе они дадут суммарную длину высоты. Как рассчитывается площадь при ее помощи, показано выше: h = R + r .
Преобразовав формулу , применив расчет высоты h = R + r, можно получить следующее значение: 
. Данную формула можно упростить еще больше, ведь радиус описанной окружности можно выразить через радиус вписанной. Согласно свойствам этих окружностей R = 2r, где r — это радиус вписанной окружности, R — это радиус описанной. Соответственно площадь правильного треугольника будет высчитываться так: 
.
Если же будет дан размер радиуса описанной окружности, то выражение будет выглядеть следующим образом: 
.
Использование этих свойств пригодится для расчета стороны фигуры. Для того чтобы ее найти можно воспользоваться выражением 
для описанной окружности, и 
для вписанной.
Учитывая радиус описанной окружности можно найти искомое значение при помощи возведения стороны в куб, после чего результат делится на радиус, увеличенный в 4 раза. Математически его можно записать следующим образом: 
.
Процесс расчета, чему равен показатель площади равностороннего треугольника через любую из предложенных формул не должен вызывать особых затруднений. Для того чтобы успешно справиться с этой задачей не нужно запоминать все указанные способы, достаточно запомнить основные общие формулы расчета, а также свойства и признаки этой фигуры.
Внимание! Для проверки правильности расчетов можно воспользоваться несколькими способами, результаты должны совпасть.
Площадь равностороннего треугольника
Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность
Применив логическое мышление, расчеты с легкостью преобразовываются в частные случаи, коих гораздо больше. Нецелесообразно забивать голову большим количеством нерелевантной информации, лучше развивать причинно-следственную связь для преобразования выражений.
📺 Видео
Нахождение стороны равнобедренного треугольникаСкачать
Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать
Супер ЖЕСТЬ ➜ Найдите сторону треугольника ➜ Решить без тригонометрииСкачать
№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать
№762. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найдите: а) |AB+BC|Скачать
№488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см;Скачать
Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать
Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать
Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать
Теорема Пифагора для чайников)))Скачать
Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать
Высота равностороннего треугольника равна 13√3 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
