Как решать задачи на окружность 7 класс с решением (5 видео)

Геометрия. 7 класс

Содержание

Окружность. Типовые задачи
Длина окружности
Длина окружности
Задачи на длину окружности
Задачи на площадь круга
📽️ Видео

Конспект урока

Окружность. Задачи на построение

Перечень рассматриваемых вопросов:

Геометрическое место точек, примеры ГМТ.
Изображение на рисунке окружности и ее элементов.
Решение задач на построение.
Выполнение построений прямого угла, отрезка, угла равного данному, биссектрисы угла, перпендикулярных прямых, середины отрезка с помощью циркуля и линейки.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М.А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали некоторые геометрические фигуры, например, угол, отрезок, треугольник, научились их строить и измерять. Сегодня мы введём определение ещё одной фигуры – окружности, рассмотрим её элементы и выполним построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.

Для начала дадим определение геометрической фигуры, называемой окружностью.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Но можно использовать и другое определение окружности.

Окружность ‑ это геометрическое место точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки, называемой центром окружности. Это расстояние называют радиусом окружности. В нашем случае точки О.

При этом стоит пояснить, что геометрическое место точек – это фигура речи, употребляемая в математике для определения геометрической фигуры, как множества всех точек, обладающих некоторым свойством.

Вспомним элементы окружности.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

По определению окружности все её радиусы имеют одну и ту же длину. OM = OA

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

O – середина диаметра.

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности.

AMB, ALB – дуги окружности.

Построим окружность радиусом 3 см. Для этого поставим точку О. Возьмём циркуль и выставим с помощью линейки расстояние между ножками циркуля, равное 3 см. Поставим иголочку циркуля в точку О и построим окружность, вращая ножку циркуля с грифелем вокруг этой точки. Грифель описывает замкнутую кривую линию, которую называют окружностью.

Часть плоскости, которая лежит внутри окружности, вместе с самой окружностью, называют кругом, т. е. окружность ‑ граница круга.

Итак, мы можем с помощью циркуля строить окружность, но с его помощью можно построить и угол равный данному. Для построения воспользуемся ещё и линейкой.

Построить: EOМ = A.

1. Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

2. Окр. (A; r) ∩ AB = B.

3. Окр. (A; r) ∩ AС = С.

4. Окр. (O; r) ∩ OM = D.

5. Окр. (D; BС) ∩ Окр. (O; r) = E

6. OЕ, ЕОD = BAC (из равенства ∆ОЕD и ∆ABC). EOM – искомый.

Теперь выполним построение биссектрисы угла.

Построить: AE – биссектриса CAB.

Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

Окр. (A; r) ∩ AB = B.
Окр. (A; r) ∩ AC = C.
Окр. (C; CB) ∩ Окр. (B; CB) = E.
AE – искомая биссектриса BAC, т. к. ABE =CBE (из равенства ∆ACE и ∆ABE).

Рассмотрим ещё одно построение с помощью циркуля и линейки. Построим середину отрезка АВ.

Для этого построим две окружности с центрами на концах отрезка , т. е. в точках А и В. Окружности пересекутся в точках Р и Q. Проведём прямую через точки Р и Q. Прямая РQ пересечёт прямую АВ в точке О, которая и будет являться искомой серединой отрезка АВ. Докажем это. Для этого рассмотрим ∆APQ и ∆BPQ. Они равны по трём сторонам, следовательно, ∠1 = ∠2, поэтому РО– биссектриса равнобедренного ∆АВР, а соответственно РО ещё и медиана. Следовательно, точка О – середина отрезка АВ.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. АВ и СК – диаметры окружности, с центром в точке О. По какому признаку равенства треугольников равны треугольники АОС и ОКВ?

Так как О – центр окружности, то точка О делит диаметры пополам, следовательно отрезки АО, ОВ, ОС, ОК равны. ∠СОА = ∠КОВ (как вертикальные). Поэтому треугольники АОС и ОКВ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: 1 признак равенства треугольников.

№ 2. На рисунке O – центр окружности, АВ – диаметр окружности. Отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ. АВ = 8 см, ОС = 5 см, СВ = 3 см. Чему равен периметр ∆AOD?

Периметр треугольника AOD равен сумме сторон АО, AD, DO. Найдём эти стороны.

По условию O – центр окружности, то она делит диаметр пополам, следовательно отрезок АО равен отрезку ОВ, т. е. АО = АВ:2 = 8 см :2 = 4 см.

По условию отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ, следовательно ∠СВО = ∠ОАD = 90°, ∠АОD = ∠СОВ (как вертикальные). Поэтому ∆АОD = ∆СОВ (по 2 признаку равенства треугольников). Следовательно, AD = СВ = 3 см, DO = ОС = 5 см.

Р_∆AOD = АО + AD + DO = 4 см + 3 см + 5 см = 12 см.

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. Типовые задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Данный видеоурок создан специально для самостоятельного изучения темы «Окружность». Учащиеся смогут узнать строгое геометрическое определение окружности. Учитель подробно разберет решение нескольких типовых задач на построение окружности.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Длина окружности

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Длина окружности

Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π (пи):

C	= π.
D

Таким образом, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:

где C — длина окружности, π — константа, D — диаметр окружности, R — радиус окружности.

Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

Задачи на длину окружности

Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.

Решение: Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:

C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см).

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.

Решение: Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:

теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:

C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м).

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.

Решение: Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π:

R	=	C	,
		2π

следовательно, радиус будет равен:

R	≈	7,85	=	7,85	= 1,25 (м).
		2 · 3,14		6,28

Видео:Урок 3 Окружность и круг (7 класс)Скачать

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.

Решение: Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:

S ≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2 ).

Ответ: 12,56 см 2 .

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.

Решение: Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:

теперь вычислим площадь круга по формуле:

S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2 ).

Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр: