Как провести прямую в треугольнике

Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.

теория по математике 📈 планиметрия

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.

Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.

Виды треугольников по углам

Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.

ОстроугольныеТупоугольныеПрямоугольные
Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого все три угла острые. На рисунке показан такой остроугольный треугольник АВС.Тупоугольным называется треугольник, у которого есть тупой угол. В треугольнике может быть только один тупой угол. На рисунке показан треугольник такого вида, где угол М – тупой.Прямоугольным называется треугольник, у которого есть угол, равный 90 0 (прямой угол). На рисунке угол С равен 90 0 . Такой угол в любом прямоугольном треугольнике – единственный.
Как провести прямую в треугольникеКак провести прямую в треугольникеКак провести прямую в треугольнике

Виды треугольников по сторонам

Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.

РазностороннийРавнобедренныйРавносторонний
Треугольник называется разносторонним, если у него длины всех сторон разные. На рисунке показан такого вида треугольник АВС.Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. На рисунке показан равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС.Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны. На рисунке показан такой треугольник, у него АВ=ВС=АС.
Как провести прямую в треугольникеКак провести прямую в треугольникеКак провести прямую в треугольнике

Видео:№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать

№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежного

Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника

Медиана

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.

Как провести прямую в треугольнике

По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.

Биссектриса

Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.

В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD1, EE1 и CC1.

Как провести прямую в треугольнике

По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.

Высота

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН1, ВН2 и СН3.

Как провести прямую в треугольнике

По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.

Как провести прямую в треугольнике

Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

Как провести прямую в треугольнике

При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 90 0 .

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

A E A B . . = A B A F . . откуда по свойству пропорции АВ 2 =АЕ ∙ АF

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

A E A D . . = A C A F . . ; откуда выразим AD= A E ∙ A F А C . . = A E ∙ A F A C . .

Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ 2 =АЕ ∙ АF и AD= A E ∙ A F A C . .

Видим, что 36 2 =АЕ ∙ АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD= A E ∙ A F A C . . = 36 2 54 . . = 24

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Как провести прямую в треугольнике

Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 84 0 , АD – биссектриса. Найдите угол ВАD. Ответ дайте в градусах.

Как провести прямую в треугольнике

Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84 0 :2=42 0

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Как провести прямую в треугольнике

Ключевые слова: основные линии треугольника, медиана, биссектриса, высота, средния линия, серединные перпендикуляры

Рассмотрим произвольный треугольник ABC:

a, b, c — стороны треугольника

$$m_a$$ — медиана к стороне a угла A

$$h_a$$ — высота к стороне a угла A

$$l_a$$ — биссектриса к стороне a угла A

Как провести прямую в треугольнике

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

  • Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  • Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

  • Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам.
  • Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

  • В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  • В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
  • Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон
  • Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

  • Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
  • Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

  • Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Видео:6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

Треугольник. Основные линии треугольника.

Треугольник — геометрическая фигура, сформированная тремя отрезками, которые объединяют три точки, не принадлежащие одной прямой. Три точки именуют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами треугольника. Стороны треугольника формируют в вершинах треугольника соответственно три угла.

Когда называют треугольник, то указывают три заглавные буквы, стоящие при его вершинах. Для упрощения вместо термина «треугольник» применяют символом /. Треугольник, представленный ниже, указываем как / АВС:

Как провести прямую в треугольнике

Сторону треугольника общепринято называть одинаковой буквой с вершиной угла, противолежащего этой стороне, но используют при этом малую букву.

Так сторона ВС отмечена буквой а, поскольку она расположена напротив угла А; сторона СА отмечена буквой b, поскольку она расположена напротив угла В; сторона АВ отмечена буквой с, поскольку она лежит напротив угла С.

У треугольник выделяют три угла.

Угол Как провести прямую в треугольнике— угол, сформированный сторонами АВ и АС, противолежащий стороне ВС;

Угол Как провести прямую в треугольнике— угол, сформированный сторонами АВ и ВС, противолежащий стороне АС;

Угол Как провести прямую в треугольнике— угол, сформированный сторонами ВС и АС, противолежащий стороне АВ.

Если продолжим какую-нибудь сторону треугольника, то получим угол, смежный с одним из внутренних углов треугольника. Такой угол называется внешним углом треугольника.

При каждой вершине треугольника может быть построено по два внешних угла:

📽️ Видео

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольника

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Построение следов плоскостиСкачать

Построение следов плоскости

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Построение биссектрисы в треугольнике

№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провестиСкачать

№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Строим треугольник по трем сторонам (Задача 5).Скачать

Строим треугольник по трем сторонам (Задача 5).

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: