Задачи на хорды в окружности 9 класс (3 видео)

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Содержание

Хорда в геометрии
Свойства отрезка окружности
Ключевая теорема
Касательная и секущая
Решение задач
Математика. Задачи. Хорды, касательные и секущие.
Проверочная работа по математике ( по материалам ОГЭ ) на тему: «ОКРУЖНОСТЬ. ВПИСАННЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ УГЛЫ, СВОЙСТВА ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД» (8-9 КЛАСС)
«Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
💥 Видео

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
Самый маленький отрезок в окружности это точка.
Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Видео:9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.Скачать

Математика. Задачи. Хорды, касательные и секущие.

Хорды, касательные и секущие.

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой (на рисунке это отрезок ). Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности.

Хорда окружности обладает следующими свойствами:

Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, равны.
Если хорды стягивают равные центральные углы, то они равны.
Если диаметр перпендикулярен хорде, то он проходит через ее середину.
Если вписанные углы опираются на одну хорду, то они равны.
Две дуги равны, если они заключены между двумя равными хордами.
Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду, а их вершины лежат по разные стороны хорды, то их сумма составляет 180°.
Для любых двух хорд и , пересекающихся в точке О, выполняется равенство: .

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной (на рисунке отрезок ).

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей (отрезок ).

Свойства касательной и секущей

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть:

Видео:ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

Проверочная работа по математике ( по материалам ОГЭ ) на тему: «ОКРУЖНОСТЬ. ВПИСАННЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ УГЛЫ, СВОЙСТВА ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД» (8-9 КЛАСС)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Подготовка к контрольной работе

Задания, оцениваемые 1 баллом

1. Точка О – центр окружности, ∠ AOB = 84 ° (см. рисунок).

Найдите величину угла ACB (в градусах).

2. Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60 ° . Найдите длину хорды АВ , если радиус окружности равен 8.

3. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки P , Q и R таким образом, что OPQR – ромб. Найдите угол ORQ . Ответ дайте в градусах.

4. Найдите угол ABC . Ответ дайте в градусах.

5. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠ C , если ∠ A = 81 ° . Ответ дайте в градусах.

6. В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC , угол OAB равен 70 ° . Найдите величину угла OCD .

7. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 10 и BC = 16 . Построена окружность с центром A , проходящая через C . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

8. Отрезки и — диаметры окружности с центром . Угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Задания, оцениваемые 2 баллами

9 . На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N . Известно, что ∠ NBA = 38 ° . Найдите угол NMB . Ответ дайте в градусах.

10. В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 130 ° . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.

11. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC , в котором AB = BC и ∠ ABC = 25 ° . Найдите величину угла BOC . Ответ дайте в градусах.

12. Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A , B и C . Известно, что ∠ ABC = 15 ° и ∠ OAB = 8 ° . Найдите угол BCO . Ответ дайте в градусах.

13. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC , в котором AB = BC и ∠ ABC = 157 ° . Найдите величину угла BOC . Ответ дайте в градусах.

14. Прямая касается окружности в точке K . Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 7 ° . Найдите величину угла OMK . Ответ дайте в градусах.

15 . Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен , угол CAD равен . Найдите угол ABC . Ответ дайте в градусах.

16. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ AOB = 18 ° . Длина меньшей дуги AB равна 98. Найдите длину большей дуги.

1 Вариант Фамилия ______________________

Задания, оцениваемые 1 баллом

1 . Найдите величину вписанного угла, если центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, равен 78 0 .

2. Величина дуги между двумя хордами окружности равна 46 0 . Найдите градусную меру вписанного угла, опирающегося на эту дугу. 3. К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO . Найдите радиус окружности, если AB = 51 , AO = 85 .

4. Отрезки и — диаметры окружности с центром . Угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

5. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC , угол OAB равен 25 ° . Найдите величину угла OCD .

Задания, оцениваемые 2 баллами

6. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC , в котором AB = BC и ∠ ABC = 66 ° . Найдите величину угла BOC . Ответ дайте в градусах.

7. Прямая касается окружности в точке K . Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 39 ° . Найдите величину угла OMK . Ответ дайте в градусах.

8. . На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N . Известно, что ∠ NBA = 38 ° . Найдите угол NMB . Ответ дайте в градусах.

Задания, оцениваемые 3 баллами

Решение заданий выполните на отдельном листе.

9. Треугольник АВС вписан в окружность. Прямая, содержащая медиану ВМ , пересекает окружность в точке Р , РМ = 4, ВМ = 9, ВС = 7,2. Найдите АР .

10. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 10 дм, а высота, опущенная на основание, — 8 дм. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.

«3» — от 4 до 7 баллов;

«4» — от 8 до 11 баллов

«5» — более 12 баллов (при условии выполнения любой задачи,

оцениваемой 3 баллами)

2 Вариант Фамилия ______________________

Задания, оцениваемые 1 баллом

1. Найдите величину центрального угла, если вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол, равен 86 0 .

2. Величина дуги ВС равна 106 0 . Найдите градусную меру вписанного угла, опирающегося на эту дугу. 3. Отрезок AB = 20 касается окружности радиуса 21 с центром O в точке B . Окружность пересекает отрезок AO в точке D . Найдите AD .

4. В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 132 ° . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.

5. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 55 ° . Найдите величину угла ODC .

Задания, оцениваемые 2 баллами

6. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC , в котором AB = BC и ∠ ABC = 177 ° . Найдите величину угла BOC . Ответ дайте в градусах.

7. Прямая касается окружности в точке K . Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 84 ° . Найдите величину угла OMK . Ответ дайте в градусах.

8. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N . Известно, что ∠ NBA = 32 ° . Найдите угол NMB . Ответ дайте в градусах.

Задания, оцениваемые 3 баллами

Решение заданий выполните на отдельном листе.

9. Треугольник АВС вписан в окружность. Прямая, содержащая медиану ВЕ , пересекает окружность в точке Р , РЕ = 2, ВЕ = 8, ВС = 7,2. Найдите АР .

10. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 5 см, а высота, опущенная на основание, — 3 см. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.

«3» — от 4 до 7 баллов;

«4» — от 8 до 11 баллов

«5» — более 12 баллов (при условии выполнения любой задачи,