Как проверить входит ли точка в окружность

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Видео:Попадание точки в заданную область. Два сектора. Уроки программирования на С++.Скачать

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение ( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 — 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Формула входит ли точка в окружность

Видео:33 Задача: Принадлежит ли точка кругу с центром в начале координат?Скачать

Определение принадлежности точки кругу с центром в начале координат

Вводятся координаты (x;y) точки и радиус круга ( r ). Определить принадлежит ли данная точка кругу, если его центр находится в начале координат.

Будем считать, что точка принадлежит кругу, если находится внутри его или на его окружности.

Из любой точки координатной плоскости можно провести отрезок к началу координат. Если длина этого отрезка больше радиуса круга, то точка лежит за пределами круга и, следовательно, не принадлежит ему. Если же отрезок, соединяющий точку и начало координат, меньше радиуса круга с центром в начале координат или равен ему, то точка будет принадлежать кругу.

Отрезок между любой точкой и нулевой точкой (началом координат) является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны значениям x и y координаты данной точки.

Таким образом задача сводится по-сути к двум действия:

1. Нахождение длины отрезка между точкой и началом координат по теореме Пифагора (квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов).
2. Сравнению полученного значения с радиусом круга.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Pascal

Определение принадлежности точки кругу с центром в начале координат паскаль

Видео:Определение принадлежности точки окружностиСкачать

Язык Си

Для gcc компилировать с ключом -lm.

Видео:Программирование на С++. Урок 10. Попадает ли точка в заштрихованную областьСкачать

Python

Определение принадлежности точки кругу с центром в начале координат Python

Видео:Как проверить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику данной функцииСкачать

Уравнение окружности.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Видео:Как проверить лежат ли 4 точки в одной плоскости Аналитическая геометрияСкачать

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение ( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 — 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Видео:Программирование на С++. Урок 11. Попадает ли точка в заштрихованную область 2.Скачать

Точка внутри и вне окружности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом занятии мы изучим тему «Точка внутри и вне окружности». На этом итоговом уроке мы повторим понятие окружности, вспомним ее основные свойства. Рассмотрим примеры расположения точки внутри и вне окружности. Вместе с преподавателем решим несколько задач на эту тему.

Видео:Точки на числовой окружностиСкачать

Уравнение для тестирования, если точка находится внутри круга

Если у вас есть круг с центром (center_x, center_y) и радиусом radius , как вы можете проверить, находится ли данная точка с координатами (x, y) внутри круга?

Видео:✓ Степень точки в ЕГЭ | Резерв досрока ЕГЭ-2022. Задание 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

ОТВЕТЫ

Ответ 1

В общем случае x и y должны удовлетворять (x — center_x)^2 + (y — center_y)^2 .

Обратите внимание, что точки, которые удовлетворяют приведенному выше уравнению с заменой на == , считаются точками на окружности, а точки, которые удовлетворяют уравнению с заменой на > , считаются внешними круг.

Ответ 2

Математически, Pythagoras, вероятно, простой метод, о котором многие уже упоминали.

Вычислительно, есть более быстрые пути. Определение:

Если точка с большей вероятностью окажется вне этого круга, тогда представьте квадрат, нарисованный вокруг него так, чтобы стороны были касательными к этому кругу:

Теперь представьте себе квадратный алмаз, нарисованный внутри этого круга таким образом, чтобы вершины касались этого круга:

Теперь мы покрыли большую часть нашего пространства, и только небольшая область этого круга остается между нашим квадратом и алмазом для тестирования. Здесь мы возвращаемся к Пифагору, как указано выше.

Если точка с большей вероятностью находится внутри этого круга, то обратный порядок первых трех шагов:

Альтернативные методы представляют собой квадрат внутри этого круга вместо алмаза, но для этого требуется немного больше тестов и вычислений без каких-либо вычислительных преимуществ (внутренний квадрат и алмазы имеют одинаковые области):

Для тех, кто заинтересован в производительности, я реализовал этот метод в c и скомпилирован с -O3.

Я получил время выполнения time ./a.out

Я реализовал этот метод, обычный метод и фиктивный метод для определения временных затрат времени.

Normal: 21.3s This: 19.1s Overhead: 16.5s

Итак, кажется, что этот метод более эффективен в этой реализации.

Ответ 3

Вы можете использовать Pythagoras для измерения расстояния между вашей точкой и центром и посмотреть, меньше ли это радиуса:

РЕДАКТИРОВАТЬ (подсказка для Пауля)

На практике квадратирование часто намного дешевле, чем использование квадратного корня, и поскольку нас интересует только упорядочение, мы можем, конечно, отказаться от квадратного корня:

Кроме того, Джейсон отметил, что следует заменить на , и в зависимости от использования это может иметь смысл , хотя я считаю, что это не верно в строгом математическом смысле . Я исправляюсь.

Ответ 4

Это более эффективный и читаемый. Это позволяет избежать дорогостоящей работы с квадратным корнем. Я также добавил проверку, чтобы определить, находится ли точка в пределах ограничивающего прямоугольника круга.

Проверка прямоугольника не нужна, за исключением множества точек или многих кругов. Если большинство точек находятся внутри кругов, проверка ограничивающего прямоугольника будет делать вещи медленнее!

Как всегда, обязательно рассмотрите свой вариант использования.

Ответ 5

что в С#. конвертировать для использования в python.

Ответ 6

Вы должны проверить, меньше ли расстояние от центра круга до точки, чем радиус, т.е.

Ответ 7

Как сказано выше — используйте евклидову дистанцию.

Ответ 8

Найдите расстояние между центром круга и указанными точками. Если расстояние между ними меньше радиуса, то точка находится внутри круга. если расстояние между ними равно радиусу круга, то точка находится на окружности круга. если расстояние больше радиуса, то точка находится вне круга.

Ответ 9

Это то же самое решение, что и упомянутое Джейсоном Пеньоном, но оно содержит пример псевдокода и некоторые подробности. Я видел его ответ, написав это, но я не хотел удалять мои.

Я думаю, что наиболее понятным способом является сначала рассчитать расстояние между центром окружности и точкой. Я бы использовал эту формулу:

Затем просто сравните результат этой формулы, расстояние ( d ), с radius . Если расстояние ( d ) меньше или равно радиусу ( r ), точка находится внутри круга (на краю круга, если d и r равны).

Вот пример псевдокода, который можно легко преобразовать в любой язык программирования:

Где circle_x и circle_y — центральные координаты круга, r — радиус круга, а x и y — координаты точки.

Ответ 10

Мой ответ на С# как полное решение для вырезания и вставки (не оптимизированное):

Ответ 11

Как указывалось ранее, чтобы показать, находится ли точка в круге, мы можем использовать следующие

Чтобы представить его графически, мы можем использовать:

Ответ 12

Уравнение ниже представляет собой выражение, которое проверяет, находится ли точка в данном круге, где xP & yP — координаты точки, xC & yC — координаты центра круга, а R — радиус этого заданного круга.

Если приведенное выше выражение истинно, то точка находится внутри круга.

Ниже приведен пример реализации в С#:

Ответ 13

Я использовал код ниже для новичков вроде меня:).

public class incirkel <

Ответ 14

Перейдя в мир 3D, если вы хотите проверить, находится ли 3D-точка в единице измерения, вы делаете что-то подобное. Все, что необходимо для работы в 2D, — использовать двумерные векторные операции.

Ответ 15

Я знаю, что через несколько лет я получил ответ, получивший наибольшее количество голосов, но мне удалось сократить время расчета на 4.

Вам нужно только рассчитать пиксели от 1/4 круга, а затем умножить на 4.

Это решение, которое я достиг:

Ответ 16

Вот простой Java-код для решения этой проблемы:

🌟 Видео

В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...Скачать

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вариант 47, № 3. Как определить, принадлежит ли точка с заданными координатами прямой ax+by=c. Пр. 2Скачать

Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Построение окружности по трём точкам.Скачать

Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точекСкачать

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать