Как проверить пересекает ли прямая окружность (6 видео)

Проверьте, касается ли линия круга или пересекает его

Задана координата центра и радиус> 1 окружности и уравнение прямой. Задача состоит в том, чтобы проверить, сталкивается ли данная линия с окружностью или нет. Есть три варианта:

Линия пересекает круг.
Линия касается круга.
Линия находится вне круга.

Примечание. Общее уравнение линии: a * x + b * y + c = 0, поэтому на входе указываются только константы a, b, c.

Примеры :

Идея состоит в том, чтобы сравнить перпендикулярное расстояние между центром круга и линией с радиусом круга.

Алгоритм:
1. Найдите перпендикуляр (скажем, р) между центром круга и данной линией.
2. Сравните это расстояние p с радиусом r.
…… а) Если p> r, то линия лежит вне круга.
…… б) Если р = г, то линия касается круга.
…… в) Если p

// Программа CPP, чтобы проверить, касается ли линия или
// пересекается или выходит за пределы круга.
#include

Содержание

Пересечение окружности и прямой
Решение
Реализация
Пересечение окружности и прямой
Решение
Реализация
🎬 Видео

Видео:Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

Пересечение окружности и прямой

Дана окружность (координатами своего центра и радиусом) и прямая (своим уравнением). Требуется найти точки их пересечения (одна, две, либо ни одной).

Видео:#5str. Как проверять перпендикулярность?Скачать

Решение

Вместо формального решения системы двух уравнений подойдём к задаче с геометрической стороны (причём, за счёт этого мы получим более точное решение с точки зрения численной устойчивости).

Предположим, не теряя общности, что центр окружности находится в начале координат (если это не так, то перенесём его туда, исправив соответствующе константу C в уравнении прямой). Т.е. имеем окружность с центром в (0,0) радиуса r и прямую с уравнением Ax + By + C = 0.

Сначала найдём ближайшую к центру точку прямой — точку с некоторыми координатами (x₀,y₀). Во-первых, эта точка должна находиться на таком расстоянии от начала координат:

Во-вторых, поскольку вектор (A,B) перпендикулярен прямой, то координаты этой точки должны быть пропорциональны координатам этого вектора. Учитывая, что расстояние от начала координат до искомой точки нам известно, нам нужно просто нормировать вектор (A,B) к этой длине, и мы получаем:

(здесь неочевидны только знаки ‘минус’, но эти формулы легко проверить подстановкой в уравнение прямой — должен получиться ноль)

Зная ближайшую к центру окружности точку, мы уже можем определить, сколько точек будет содержать ответ, и даже дать ответ, если этих точек 0 или 1.

Действительно, если расстояние от (x₀, y₀) до начала координат (а его мы уже выразили формулой — см. выше) больше радиуса, то ответ — ноль точек. Если это расстояние равно радиусу, то ответом будет одна точка — (x₀,y₀). А вот в оставшемся случае точек будет две, и их координаты нам предстоит найти.

Итак, мы знаем, что точка (x₀, y₀) лежит внутри круга. Искомые точки (ax,ay) и (bx,by), помимо того что должны принадлежать прямой, должны лежать на одном и том же расстоянии d от точки (x₀, y₀), причём это расстояние легко найти:

Заметим, что вектор (-B,A) коллинеарен прямой, а потому искомые точки (ax,ay) и (bx,by) можно получить, прибавив к точке (x₀,y₀) вектор (-B,A), нормированный к длине d (мы получим одну искомую точку), и вычтя этот же вектор (получим вторую искомую точку).

Окончательное решение такое:

Если бы мы решали эту задачу чисто алгебраически, то скорее всего получили бы решение в другом виде, которое даёт бОльшую погрешность. Поэтому «геометрический» метод, описанный здесь, помимо наглядности, ещё и более точен.

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать