Как повернуть систему координат на вектор

Кватернионы, матрицы поворота и перепроецирование векторов между системами координат

Пришлось это мне в последнее время поработать с задачами, где нужно было оперировать кватернионами и заниматься перепроецированием векторов в разные системы координат (это еще называется заменой базиса). Сначала по чужим формулам — причем с опечатками и даже, как выяснилось, с фактическими ошибками — а потом делать свои, по аналогии. И всё даже работало! Но сохранялся какой-то туман в понимании происходящего. А всё, как оказалось, из-за этих ошибок: их комбинация давала систему, в целом сохраняющую корректность, неверным путем таки достигался верный результат. Зато такая удача сильно мешала осознанию проблемы и прояснению природы феномена «верный итог при подозрительных формулах». При этом разбираться досконально времени все не было — работает же, числа выдает правильные, чего тебе еще надо, собака? Вперед, нужно больше золота кода! А вот сейчас пришел момент, когда я, похоже, окончательно всё понял, и хочу поделиться получившейся картинкой с окружающими. Вдруг кому пригодится, и себе памятка.

Заранее оговорюсь, что материал не претендует на академичность изложения, а скорее просто описывает удобный для запоминания способ интерпретации того, что происходит при перепроецировании векторов.

Стало быть, речь у нас пойдет в особенности о проекциях и поворотах.

Как повернуть систему координат на вектор

Содержание
  1. Исходные посылки
  2. Поворот вектора
  3. Перепроецирование вектора
  4. Преобразования декартовой системы координат с примерами решения
  5. Преобразования декартовой системы координат
  6. Параллельный перенос и поворот системы координат
  7. Полярные координаты. Замечательные кривые
  8. Матрицы поворота, углы Эйлера и кватернионы (Rotation matrices, Euler angles and quaternions)
  9. Матрицы поворота и углы Эйлера
  10. Axis Angle представление вращения
  11. Кватернионы
  12. Основные операции над кватернионами
  13. Сложение, вычитание и умножение на скаляр.
  14. Норма и модуль
  15. Обратный кватернион или сопряжение ( conjugate )
  16. Инверсный (inverse) кватернион
  17. Тождественный кватернион
  18. Скалярное произведение
  19. Вращение 3d вектора
  20. Умножение кватернионов
  21. Конвертирование между кватернионом и Axis Angle представлением
  22. Конвертирование кватерниона в матрицу поворота
  23. Конвертирование матрицы поворота в кватернион

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Исходные посылки

Описание кватернионов и матриц поворота как таковых опущу, предполагаю, что читатели знакомы с ними. Вектор здесь будет пониматься в его интуитивном представлении, как отрезок прямой в трехмерном пространстве, имеющий длину и направление. Исходное положение вектора будет иметь индекс «–», конечное — индекс «+».

Кватернионы и матрицы поворота могут быть использованы как для выполнения пространственного поворота векторов, так и для описания взаимной ориентации систем координат. В частности, для описания положения целевой системы координат относительно исходной: как нужно повернуть исходную, чтобы ее оси совпали с одноименными осями целевой. Матрица поворота (она же матрица ориентации, для случая описания взаимной ориентации систем координат) может быть получена из нормированного кватерниона ориентации по известным из литературы формулам. Обратное тоже верно: можно получить кватернион ориентации из матрицы.

Вектор Как повернуть систему координат на вектор, подлежащий повороту, задается величинами его проекций (длинами проекций) на оси исходной системы координат: три числа – проекции на три ортогональных оси Как повернуть систему координат на вектор. Получается матрица-столбец размерности 3х1, которая также называется вектором. Чтобы не смешивать в тексте подобную запись проекций вектора с интуитивным представлением о нем, я буду и дальше называть эту запись «матрицей-столбцом».

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Поворот вектора

Поворачивать вектор можно, как уже сказано, и с помощью матрицы, и с помощью кватерниона.

Поворот с использованием матрицы: матрица поворота Как повернуть систему координат на векторумножается на исходную матрицу-столбец. На выходе имеем другую, результирующую матрицу-столбец:

Как повернуть систему координат на вектор

Поворот с использованием кватерниона ориентации выполняется в два шага:

  1. Из исходной матрицы-столбца Как повернуть систему координат на вектори кватерниона Как повернуть систему координат на векторвычисляется промежуточная матрица-столбец Как повернуть систему координат на вектор, где Как повернуть систему координат на вектор– операция векторного произведения векторов;
  2. Вычисляется значение результирующей матрицы-столбца по формуле

Как повернуть систему координат на вектор

Числа в результирующей матрице-столбце, полученной любым из этих способов — это проекции вектора в его новом, повернутом положении, на оси все той же исходной системы координат.

С поворотом вектора дело ясное, вопросов нет.

Видео:§35 Формулы поворота координатных осейСкачать

§35 Формулы поворота координатных осей

Перепроецирование вектора

А вот задача перепроецирования вектора из одной системы координат в другую несколько контринтуитивна. Формулировка задачи: необходимо узнать, как некоторый вектор, заданный в исходной системе координат, выглядит в целевой системе. Иначе говоря, по проекциям вектора на оси исходной системы узнать проекции вектора на оси целевой. При этом задан кватернион или матрица ориентации целевой системы относительно исходной.

Может показаться, что для решения этой задачи нужно просто повернуть вектор из исходной системы координат в целевую, пользуясь кватернионом или матрицей ориентации второй относительно первой. Однако это не так! Выполнив подобную операцию, мы узнаем только, как новый, повернутый вектор выглядит в осях все той же исходной системы, а это не то, что нас интересует .

Важно, однако, обратить внимание на то, что после проведения подобного поворота сам вектор окажется ориентирован относительно целевой системы координат так же, как он был до операции ориентирован относительно исходной. В этом кроется ключ к правильному ходу действий. Для получения проекций интересующего нас вектора на целевую систему координат нужно выполнить операцию «в обратную сторону»:

  1. Задать в целевой системе координат «временный» вектор с теми же величинами проекций на оси этой целевой системы, какие есть у интересующего нас («заданного») вектора на оси исходной системы. Таким образом, «временный» вектор будет ориентирован относительно целевой системы так же, как заданный вектор ориентирован относительно исходной;
  2. Определить ориентацию исходной системы относительно целевой. Здесь легко: нужная ориентация описывается либо кватернионом, сопряженным к имеющемуся (Как повернуть систему координат на вектор), либо матрицей Как повернуть систему координат на вектор, обратной по отношению к имеющейся; причем для матрицы ориентации, чей определитель всегда равен 1, обратная матрица совпадает с транспонированной Как повернуть систему координат на вектор, поэтому достаточно транспонировать имеющуюся матрицу ориентации;
  3. Повернуть «временный» вектор с использованием полученного кватерниона/матрицы. Вектор повернется относительно целевой системы координат так же, как относительно нее повернута исходная система. При этом, в силу всего сказанного ранее, а) «временный» вектор станет ориентирован уже относительно исходной системы так, как был ранее ориентирован относительно целевой, и, следовательно, точно совпадет с заданным вектором, и б) результатом операции будет матрица-столбец, описывающая, как теперь «временный» (а значит, и заданный) вектор выглядит в осях целевой системы координат.

Ура, это именно то, что нам нужно!

Кроме того, быстро становится очевидно, что с точки зрения реализации никакой «временный» вектор (в смысле «матрица-столбец») на самом деле не нужен: в ходе операции он никак не модифицируется, и при этом численно является копией исходного вектора. Так что, разумеется, можно спокойно брать сам исходный вектор и проводить операции с ним. Описание выше лишь подробнее иллюстрирует смысл происходящего.

Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

Преобразования декартовой системы координат с примерами решения

Содержание:

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Преобразования декартовой системы координат

Параллельный перенос и поворот системы координат

1. Параллельный перенос системы координат. Пусть на плоскости две декартовы системы координат, причем соответствующие оси параллельны и сонаправлены (Рис.46):

Как повернуть систему координат на вектор

Рис. 46. Параллельный перенос одной системы координат относительно другой системы.

Систему координат Как повернуть систему координат на вектор

Пример:

Дана точка М(3;2) и начало новой системы координат Как повернуть систему координат на векторВычислить положение точки М в новой системе отсчета.

Решение:

Используя формулы, определяющие параллельный перенос одной системы отсчета относительно другой, получим Как повернуть систему координат на векторСледовательно, точка М в новой системе отсчета имеет координаты М(4; -1).

2. Поворот системы координат. Пусть даны две системы координат (старая и новая), имеющие общее начало отсчета и повернутые относительно друг друга на угол Как повернуть систему координат на вектор(Рис. 47): Как повернуть систему координат на вектор

Рис. 47. Поворот одной системы координат относительно другой системы с общим началом координат двух систем.

Получим формулы, связывающие старые и новые координаты произвольной точки М(х; у). Из рисунка видно, что в новой системе координат координаты точки равны Как повернуть систему координат на вектора координаты этой точки в старой системе координат равны Как повернуть систему координат на векторТаким образом формулы перехода от новых координат произвольной точки М к старым имеет вид Как повернуть систему координат на векторВ матричном виде эти равенства можно записать в виде Как повернуть систему координат на векторгде матрица перехода Как повернуть систему координат на вектор

Найдем обратное преобразование системы координат, найдем матрицу Как повернуть систему координат на векторобратную к матрице А: Как повернуть систему координат на вектор

Найдем алгебраические дополнения всех элементов

Как повернуть систему координат на векторЗапишем обратную матрицу Как повернуть систему координат на вектор

Определение: Унитарными преобразованиями называются такие преобразования, для которых определитель матрицы преобразования равен 1.

Определение: Ортогональными преобразованиями называются такие преобразования, для которых обратная матрица к матрице преобразования совпадает с транспонированной матрицей преобразования.

Таким образом, имеем Как повернуть систему координат на векторСледовательно, формулы перехода от старой системы отсчета к новой системе отсчета имеют вид:

Как повернуть систему координат на вектор

Пример:

Найти координаты точки М(1; 2) в новой системе координат, повернутой относительно старой системы отсчета на угол Как повернуть систему координат на вектор

Решение:

Воспользуемся полученными формулами Как повернуть систему координат на векторт.е. в новой системе координат точка имеет координаты М(2; -1).

Рассмотрим применение преобразования координат:

а) Преобразовать уравнение параболы Как повернуть систему координат на векторк каноническому виду. Проведем параллельный перенос системы координат Как повернуть систему координат на векторполучим Как повернуть систему координат на векторВыберем начало отсчета новой системы координат так, чтобы выполнялись равенства Как повернуть систему координат на вектортогда уравнение принимает вид Как повернуть систему координат на векторВыполним поворот системы координат на угол Как повернуть систему координат на вектортогда Как повернуть систему координат на векторПодставим найденные соотношения в уравнение параболы Как повернуть систему координат на векторгде параметр параболы Как повернуть систему координат на вектор

Пример:

Преобразовать уравнение параболы Как повернуть систему координат на векторк каноническому виду.

Решение:

Найдем начало отсчета новой системы координат после параллельного переноса Как повернуть систему координат на векторт.е. точка Как повернуть систему координат на вектор— начало координат новой системы отсчета. В этой системе уравнение параболы имеет вид Как повернуть систему координат на векторПроведем поворот системы отсчета на угол Как повернуть систему координат на вектортогда

Как повернуть систему координат на векторследовательно, параметр параболы р = 1/4.

б) Выяснить, какую кривую описывает функция Как повернуть систему координат на вектор

Проведем следующее преобразование Как повернуть систему координат на векторПроизводя параллельный перенос системы координат, вводя обозначение

Как повернуть систему координат на вектори новые координаты Как повернуть систему координат на векторполучим уравнение Как повернуть систему координат на векторкоторое описывает равнобочную гиперболу.

Полярные координаты. Замечательные кривые

Пусть полярная ось совпадает с осью абсцисс Ох, а начало полярной оси (полюс полярной системы координат) совпадает с началом координат декартовой системы отсчета (Рис. 48). Любая точка М(х;у) в полярной системе координат характеризуется длиной радиус-вектора, соединяющего эту точку с началом отсчета и углом Как повернуть систему координат на вектормежду радиус-вектором и полярной осью (угол отсчитывается против часовой стрелки). Как повернуть систему координат на вектор

Рис. 48. Полярная система координат.

Главными значениями угла Как повернуть систему координат на векторявляются значения, лежащие в интервале Как повернуть систему координат на векторИз рисунка видно, что декартовы и полярные координаты связаны формулами Как повернуть систему координат на вектор

Рассмотрим замечательные кривые в полярной системе координат:

1. Спираль Архимеда Как повернуть систему координат на векторгде число Как повернуть систему координат на вектор(Рис. 49). Для построения кривой в полярной системе координат, разобьем декартову плоскость лучами с шагом по углу Как повернуть систему координат на вектори на каждом луче отложим ему соответствующее значение р. Как повернуть систему координат на вектор

Рис. 49. Спираль (улитка) Архимеда.

2. Уравнение окружности: уравнение Как повернуть систему координат на векторописывает окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R (Рис. 50). В полярной системе координат уравнение принимает вид Как повернуть систему координат на векторКак повернуть систему координат на вектор

Рис. 50. Окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R.

3. Уравнение Как повернуть систему координат на векторописывает окружность с центром в т. А(0; R) и радиусом R (Рис. 51). В полярной системе координат уравнение принимает видКак повернуть систему координат на вектор

Как повернуть систему координат на вектор

Рис. 51. Окружность с центром в точке А(0; R) и радиусом R.

4. Кардиоиды: Как повернуть систему координат на вектор

Рис. 52. Кардиоида Как повернуть систему координат на вектор

Как повернуть систему координат на вектор

Рис. 53. Кардиоида Как повернуть систему координат на вектор

Аналогично выглядят кардиоиды Как повернуть систему координат на векторно они вытянуты вдоль оси абсцисс Ох.

5. Петля: Как повернуть систему координат на векторВеличина Как повернуть систему координат на векторравна нулю при Как повернуть систему координат на вектор

Для первого корня у = 0, а для второго и третьего — у = 9 . Следовательно, петля имеет вид Как повернуть систему координат на вектор

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Замечательные пределы
  • Непрерывность функций и точки разрыва
  • Точки разрыва и их классификация
  • Экстремум функции
  • Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
  • Скалярное произведение и его свойства
  • Векторное и смешанное произведения векторов

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Матрица поворотаСкачать

Матрица поворота

Матрицы поворота, углы Эйлера и кватернионы (Rotation matrices, Euler angles and quaternions)

Объект обычно определяется в удобной для его описания локальной системе координат (ЛСК), а его положение в пространстве — в глобальной системе координат (ГСК).

В трёхмерном пространстве переход из одной СК в другую описывается в общем случае системой линейных уравнений:

Как повернуть систему координат на вектор

Уравнения могут быть записаны через матрицы аффинных преобразований в однородных координатах одним из 2-х способов:

Как повернуть систему координат на вектор

В ортогональных СК оси X, Y и Z взаимно перпендикулярны и расположены по правилу правой руки:

Как повернуть систему координат на вектор

На рисунке справа большой палец определяет направление оси, остальные пальцы — положительное направление вращения относительно этой оси.

Все три вектора направлений есть единичными.

Как повернуть систему координат на вектор

Ниже приводится единичная матрица для 2-х способов записи уравнений геометрических преобразований. Такая матрица не описывает ни перемещения, ни вращения. Оси ЛСК и ГСК совпадают.

Как повернуть систему координат на вектор

Далее рассматривается матрица для второго способа матричной записи уравнений (матрица справа). Этот способ встречается в статьях значительно чаще.

При использовании матрицы вы можете игнорировать нижнюю строку. В ней всегда хранятся одни и те же значения 0, 0, 0, 1. Она добавлена для того, чтобы мы могли перемножать матрицы (напомню правило перемножения матриц и отмечу, что всегда можно перемножать квадратные матрицы). Подробнее см. Композиция матриц. Однородные координаты.

Остальные 12 значений определяют координатную систему. Первый столбец описывает компоненты направления оси X(1,0,0). Второй столбец задает направление оси Y(0,1,0), третий – оси Z (0,0,1). Последний столбец определяет положение начала системы координат (0,0,0).

Как будет выглядеть матрица Евклидового преобразования (преобразование движения) для задания ЛСК , с началом в точке (10,5,0) и повёрнутой на 45° вокруг оси Z глобальной СК, показано на рисунке.

Как повернуть систему координат на вектор

Рассмотрим сначала ось X. Если новая система координат повернута на 45° вокруг оси z, значит и ось x повернута относительно базовой оси X на 45° в положительном направлении отсчета углов. Таким образом, ось X направлена вдоль вектора (1, 1, 0), но поскольку вектор системы координат должен быть единичным, то результат должен выглядеть так (0.707, 0.707, 0). Соответственно, ось Y имеет отрицательную компоненту по X и положительную по Y и будет выглядеть следующим образом (-0.707, 0.707, 0). Ось Z направления не меняет (0, 0, 1). Наконец, в четвертом столбце вписываются координаты точки начала системы координат (10, 5, 0).

Частным случаем матриц геометрических преобразований есть матрицы поворота ЛСК относительно базовых осей ГСК. Вектора осей ЛСК здесь выражены через синусы и косинусы углов вращения относительно оси, перпендикулярной к плоскости вращения.

Как повернуть систему координат на вектор

От матрицы преобразований размером 4*4 можно перейти непосредственно к матрице поворота 3*3, убрав нижний ряд и правый столбец. При этом, система линейных уравнений записывается без свободных элементов (лямда, мю, ню), которые определяют перемещение вдоль осей координат.

Путем перемножения базовых матриц можно получать комбинированные вращения. Ниже рассмотрены возможности комбинировать вращениями через матрицы поворота на примерах работы с углами Эйлера.

Видео:Перенос объектов в новую систему координат. AutoCADСкачать

Перенос объектов в новую систему координат. AutoCAD

Матрицы поворота и углы Эйлера

Как повернуть систему координат на векторКак повернуть систему координат на вектор

От выбора осей и последовательности вращения зависит конечный результат. На рисунках отображена следующая последовательность вращения относительно осей ЛСК:

  • оси Z (угол alpha);
  • оси X (угол beta);
  • оси Z (угол gamma).

Как повернуть систему координат на вектор

Получил от читателя этой статьи вопрос: «Как понять, из каких углов поворота вокруг осей X,Y,Z можно получить текущее положение объекта, когда в качестве задания мы уже имеем повернутый объект, а нужно вывести его в это положение, последовательно повернув его из какого-то начального положения до полного совмещения с заданным?»

Мой ответ: «Если я правильно понял вопрос, то Вас интересует, как от начального положения перейти к заданному положению объекта, используя для этого элементарные базовые аффинные преобразования.

Начну с аналогии. Это как в шахматах. Мы знаем как ходит конь. Необходимо переместить его в результате многоходовки в нужную клетку на доске — при условии, что это возможно.

Подробно эта проблематика рассмотрена в статье Преобразование координат при калибровке роботов.

Умение правильно выбирать последовательность элементарных геометрических преобразований помогает в решении множества других задач (см. Примеры геометрических преобразований).»

Можно получить результирующую матрицу, которая определяет положение ГСК относительно ЛСК. Для этого необходимо перемножить матрицы с отрицательными углами в последовательности выполнения поворотов:

Как повернуть систему координат на вектор

Как повернуть систему координат на вектор

Почему знак угла поворота меняется на противоположный? Объяснение этому простое. Движение относительно. Абстрагируемся и представим, что ГСК меняет положение относительно неподвижной ЛСК. При этом направление вращения меняется на противоположное.

Перемножение матриц даст следующий результат:

Как повернуть систему координат на вектор

Результирующую матрицу можно использовать для пересчета координат из ГСК в ЛСК:

Как повернуть систему координат на вектор

Для пересчета координат из ЛСК в ГСК используется результирующая обратная матрица.

Как повернуть систему координат на вектор

В обратной матрице последовательность поворота и знаки углов меняются на противоположные (в рассматриваемом примере снова на положительные) по сравнению с матрицей определения положения ГСК относительно ЛСК.

Как повернуть систему координат на вектор

Как повернуть систему координат на вектор

Перемножение матриц даст следующий результат:

Как повернуть систему координат на вектор

Выше был рассмотрен случай определения углов Эйлера через вращение относительно осей ЛСК. То же взаимное положение СК можно получить, выполняя вращение относительно осей ГСК:

  • оси z (угол (gamma+pi/2));
  • оси y (угол угол beta);
  • оси z (угол (-alpha)).

Как повернуть систему координат на вектор

Определение углов Эйлера через вращение относительно осей ГСК позволяет также просто получить зависимости для пересчета координат из ЛСК в ГСК через перемножение матриц поворота.

Как повернуть систему координат на вектор

В рамках рассматриваемой задачи вместо угла gamma в матрицe Az используем угол gamma+pi/2.

Также легко можно перейти к зависимостям для пересчета координат из ГСК в ЛСК.

Как повернуть систему координат на вектор

Обратная матрица получается перемножением обратных матриц в обратном порядке по сравнению с прямым преобразованием. При этом каждая из обратных матриц вращения может быть получена заменой знака угла на противоположный.

Детально с теоретическими основами аффинных преобразований (включая и вращение) можно ознакомиться в статье Геометрические преобразования в графических приложениях

Примеры преобразований рассмотрены в статьях:

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Axis Angle представление вращения

Выбрав подходящую ось (англ. rotation axis) и угол (англ. rotation angle) можно задать любую ориентацию объекта.

Как повернуть систему координат на вектор

Обычно хранят ось вращения в виде единичного вектора и угол поворота вокруг этой оси в радианах или градусах.

q = [ x, y, z, w ] = [ v, w ]

В некоторых случаях удобно хранить угол вращения и ось в одном векторе. Направление вектора при этом совпадает с направлением оси вращения, а его длина равна углу поворота:

q = [ x, y, z]; w=sqrt (x*x +y*y +z*z)

В физике, таким образом хранят угловую скорость. Направление вектора совпадает с направлением оси вращения, а длина вектора равна скорости (в радианах в секунду).

Можно описать рассмотренные выше углы Эйлера через Axis Angle представление в 3 этапа:

q1 = [ 0, 0, 1, alpha]; q2 = [ 1, 0, 0, beta]; q3 = [ 0, 0, 1, gamma ]

Здесь каждое вращение выполняется относительно осей текущего положения ЛСК. Такое преобразование равнозначно рассмотренному выше преобразованию через матрицы поворота:Как повернуть систему координат на вектор

Возникает вопрос, а можно ли 3 этапа Axis Angle представления объединить в одно, подобно матрицам поворота? Попробуем решить геометрическую задачу по определению координат последнего вектора вращения в последовательности преобразований через Axis Angle представления:

q = [ x, y, z, gamma ]

Как повернуть систему координат на вектор

Есть ли представление q= [x, y, z, gamma] композицией последовательности из 3-х этапов преобразований? Нет! Координаты x, y, z определяют всего лишь положение оси Z ЛСК после первого и второго этапов преобразований:

Как повернуть систему координат на вектор

При этом ось Z, отнюдь, не есть вектор вращения для Axis Angle представления, которое могло бы заменить рассмотренные 3-х этапа преобразований.

Еще раз сформулирую задачу, которая математически пока не решена: «Необходимо найти значение угла (rotation angle) и положение оси (rotation axis), вращением относительно которой на этот угол можно заменить комбинацию из 3-х поворотов Эйлера вокруг осей координат».

К сожалению, никакие операции (типа объединения нескольких преобразований в одно) с Axis Angle представлениями нельзя выполнить. Не будем расстраиваться. Это можно сделать через кватернионы, которые также определяют вращение через параметры оси и угол.

Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Кватернионы

Кватернион (как это и видно по названию) представляет собой набор из четырёх параметров, которые определяют вектор и угол вращения вокруг этого вектора. По сути такое определение ничем не отличается от Axis Angle представления вращения. Отличия лишь в способе представления. Как же хранят вращение в кватернионе?

q = [ V*sin(alpha/2), cos(alpha/2) ]

В кватернионе параметры единичного вектора умножается на синус половины угла поворота. Четвертый компонент — косинус половины угла поворота.

Таблица с примерами значений кватернионов:

Как повернуть систему координат на вектор

Представление вращения кватернионом кажется необычным по сравнению с Axis Angle представлением. Почему параметры вектора умножаются на синус половины угла вращения, четвертый параметр — косинус половины угла вращения, а не просто угол?

Откуда получено такое необычное представление кватерниона детально можно ознакомиться в статье Доступно о кватернионах и их преимуществах. Хотя программисту не обязательно знать эти детали, точно также как и знать, каким образом получены матрицы преобразования пространства. Достаточно лишь знать основные операции с кватернионами, их смысл и правила применения.

Видео:№917. Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы i и j. ПостройтеСкачать

№917. Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы i и j. Постройте

Основные операции над кватернионами

Кватернион удобно рассматривать как 4d вектор, и некоторые операции с ним выполняются как над векторами.

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Сложение, вычитание и умножение на скаляр.

Смысл операции сложения можно описать как «смесь» вращений, т.е. мы получим вращение, которое находится между q и q’.

Что-то подобное сложению кватернионов выполнялось при неудачной попытке объединить 3 этапа Axis Angle представления.

Умножение на скаляр на вращении не отражается. Кватернион, умноженный на скаляр, представляет то же самое вращение, кроме случая умножения на 0. При умножении на 0 мы получим «неопределенное» вращение.

Пример сложения 2-х кватернионов:

Видео:Видеоурок по AutoCAD: поворот осей координат и вида на чертёжСкачать

Видеоурок по AutoCAD: поворот осей координат и вида на чертёж

Норма и модуль

Следует различать (а путают их часто) эти две операции:

Модуль (magnitude), или как иногда говорят «длина» кватерниона:

Через модуль кватернион можно нормализовать. Нормализация кватерниона — это приведение к длине = 1 (так же как и в векторах):

Видео:Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Видеоурок по геометрии 11 классСкачать

Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Видеоурок по геометрии 11 класс

Обратный кватернион или сопряжение ( conjugate )

Обратный кватернион задает вращение, обратное данному. Чтобы получить обратный кватернион достаточно развернуть вектор оси в другую сторону и при необходимости нормализовать кватернион.

Например, если разворот вокруг оси Y на 90 градусов = (w=0,707; x = 0; y = 0,707; z=0), то обратный = (w=0,707; x = 0; y = -0,707; z=0).

Казалось бы, можно инвертировать только компоненту W, но при поворотах на 180 кватернион представляется как (w=1; x = 0; y = 0; z=0), то есть, у него длина вектора оси = 0.

Фрагмент программной реализации:

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Инверсный (inverse) кватернион

Существует такой кватернион, при умножении на который произведение дает нулевое вращение и соответствующее тождественному кватерниону (identity quaternion), и определяется как:

Видео:Как изменить систему координат: AutoCAD #5Скачать

Как изменить систему координат: AutoCAD #5

Тождественный кватернион

Записывается как q[0, 0, 0, 1]. Он описывает нулевой поворот (по аналогии с единичной матрицей), и не изменяет другой кватернион при умножении.

Видео:11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

11 класс, 2 урок, Координаты вектора

Скалярное произведение

Скалярное произведение полезно тем, что дает косинус половины угла между двумя кватернионами, умноженный на их длину. Соответственно, скалярное произведение двух единичных кватернионов даст косинус половины угла между двумя ориентациями. Угол между кватернионами — это угол поворота из q в q’ (по кратчайшей дуге).

Видео:Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Вращение 3d вектора

Вращение 3d вектора v кватернионом q определяется как

причем вектор конвертируется в кватернион как

и кватернион обратно в вектор как

Видео:Координаты в Автокад. Система координат в AutoCADСкачать

Координаты в Автокад. Система координат в AutoCAD

Умножение кватернионов

Одна из самых полезных операций, она аналогична умножению двух матриц поворота. Итоговый кватернион представляет собой комбинацию вращений — сначала объект повернули на q, а затем на q’ (если смотреть из глобальной системы координат).

Примеры векторного и скалярного перемножения 2-х векторов Как повернуть систему координат на вектор Как повернуть систему координат на векторвекторное произведение — вектор: Как повернуть систему координат на векторСкалярное произведение — число: Как повернуть систему координат на вектор

Пример умножения 2-х кватернионов:

Видео:Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

Видеоурок "Преобразование координат"

Конвертирование между кватернионом и Axis Angle представлением

Как повернуть систему координат на вектор

В разделе Axis Angle представление вращения была сделана неудачная попытка объединить 3 Axis Angle представления в одно . Это можно сделать опосредовано. Сначала Axis Angle представления конвертируются в кватернионы, затем кватернионы перемножаются и результат конвертируется в Axis Angle представление.

Пример конвертирования произведения 2-х кватернионов в Axis Angle представление:

Фрагмент программы на C:

Видео:5 4 Координаты Преобразование координат при замене базисаСкачать

5 4  Координаты  Преобразование координат при замене базиса

Конвертирование кватерниона в матрицу поворота

Матрица поворота выражается через компоненты кватерниона следующим способом:

Как повернуть систему координат на векторгде

Как повернуть систему координат на вектор

Проверим формулы конвертирования на примере конвертирования произведения 2-х кватернионов в матрицу поворотов:

Определяем элемент матрицы m[0][0] через параметры кватерниона:

Как повернуть систему координат на вектор

Соответствующее произведению кватернионов (q1 и q2) произведение матриц поворотов было получено ранее (см. Матрицы поворота и углы Эйлера):

Как повернуть систему координат на вектор

Как видим, результат m[0][0], полученный через конвертирование, совпал с значением в матрице поворота.

Фрагмент программного кода на С для конвертирования кватерниона в матрицу поворота:

При конвертировании используется только умножения и сложения, что является несомненным преимуществом на современных процессорах.

Часто для задания вращений используют только кватернионы единичной длины, но это не обязательно и иногда даже не эффективно. Разница между конвертированием единичного и неединичного кватернионов составляет около 6-ти умножений и 3-х сложений, зато избавит во многих случаях от необходимости нормировать (приводить длину к 1) кватернион. Если кусок кода критичен по скорости и вы пользуетесь только кватернионами единичной длины тогда можно воспользоваться фактом что норма его равна 1.

Конвертирование матрицы поворота в кватернион

Как повернуть систему координат на вектор

Конвертирование матрицы в кватернион выполняется не менее эффективно, чем кватерниона в матрицу, но в итоге мы получим кватернион неединичной длины. Его можно нормализовать.

Фрагмент программного кода конвертирования матрицы поворота в кватернион:

Поделиться или сохранить к себе: