Как построить вписанную окружность треугольника

Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение

Еще в Древнем Египте появилась наука, с помощью которой можно было измерять объемы, площади и другие величины. Толчком к этому послужило строительство пирамид. Оно предполагало значительное число сложных расчетов. И кроме строительства, было важно правильно измерить землю. Отсюда и появилась наука «геометрия» от греческих слов «геос» — земля и «метрио» — измеряю.

Исследованию геометрических форм способствовало наблюдение астрономических явлений. И уже в 17-м веке до н. э. были найдены начальные способы расчета площади круга, объема шара и главнейшее открытие — теорема Пифагора.

Как построить вписанную окружность треугольника Вам будет интересно: Казахская академия спорта и туризма. Факультеты, структура вуза

Формулировка теоремы об окружности, вписанной в треугольник выглядит следующим способом:

В треугольник можно вписать только одну окружность.

При таком расположении окружность — вписанная, а треугольник — описанный около окружности.

Формулировка теоремы о центре окружности, вписанной в треугольник, выглядит следующим образом:

Центральная точка окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Содержание
  1. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник
  2. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
  3. Формулировка теоремы о вписанной окружности
  4. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник
  5. Окружность, вписанная в треугольник
  6. «Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
  7. Дистанционные курсы для педагогов
  8. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  9. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  10. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  11. Оставьте свой комментарий
  12. Дистанционные курсы для педагогов
  13. Подарочные сертификаты
  14. Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  15. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  16. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  17. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  18. 🔍 Видео

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Окружность считается вписанной в треугольник, если она хотя бы одной точкой касается всех его сторон.

На фото ниже показана окружность, находящаяся внутри равнобедренного треугольника. Условие теоремы об окружности, вписанной в треугольник, соблюдено — она касается всех сторон треугольника AB, ВС И СА в точках R, S, Q соответственно.

Одним из свойств равнобедренного треугольника является то, что вписанная окружность точкой касания делит основание пополам (BS = SC), а радиус вписанной окружности составляет треть высоты данного треугольника(SP=AS/3).

Как построить вписанную окружность треугольника

Свойства теоремы об окружности, вписанной в треугольник:

  • Отрезки, выходящие из одной вершины треугольника к точкам касания с окружностью, равны. На рисунке AR = AQ, BR = BS, CS = CQ.
  • Радиус окружности (вписанной) — это площадь, деленная на полупериметр треугольника. Как пример, нужно начертить равнобедренный треугольник с теми же буквенными обозначениями, что на картинке, следующих размеров: основание ВС = 3 см, высота AS = 2 см, стороны АВ=ВС, соответственно, получаются по 2,5 см каждая. Проведем из каждого угла биссектрису и место их пересечения обозначим как Р. Впишем окружность с радиусом PS, длину которого нужно найти. Узнать площадь треугольника можно, умножив 1/2 основания на высоту: S = 1/2 * DC * AS = 1/2 * 3 * 2 = 3 см2. Полупериметр треугольника равен 1/2 суммы всех сторон: Р = (АВ + ВС + СА) / 2 = (2,5 + 3 + 2,5) / 2 = 4 см; PS = S/P = 3/4 = 0,75 см2, что полностью соответствует действительности, если измерить линейкой. Соответственно, верно свойство теоремы об окружности, вписанной в треугольник.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Для треугольника с прямым углом действуют свойства теоремы об вписанной окружности в треугольник. И, кроме того, добавляется возможность решать задачи с постулатами теоремы Пифагора.

Как построить вписанную окружность треугольника

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно определить следующим образом: сложить длины катетов, вычесть значение гипотенузы и получившееся значение разделить на 2.

Есть хорошая формула, которая поможет высчитать площадь треугольника — периметр умножить на радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Формулировка теоремы о вписанной окружности

В планиметрии важны теоремы о вписанных и описанных фигурах. Одна из них звучит так:

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

Как построить вписанную окружность треугольника

На представленном рисунке показано доказательство данной теоремы. Показано равенство углов, и, соответственно, равенство прилегающих треугольников.

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник

Радиусы окружности, вписанной в треугольник, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам треугольника.

Задание «сформулируйте теорему об окружности вписанной в треугольник» не должно застать врасплох, потому что это одни из фундаментальных и простейших знаний в геометрии, которыми необходимо владеть в полной мере для решения многих практических задач в реальной жизни.

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Окружность, вписанная в треугольник

Видео:Построить окружность, вписанную в треугольникСкачать

Построить окружность, вписанную в треугольник

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Как построить вписанную окружность треугольника

Видео:Построить окружность, описанную около треугольникаСкачать

Построить окружность, описанную около треугольника

Дистанционные курсы для педагогов

Описание презентации по отдельным слайдам:

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности. A B C O

A B C D F E M N O K r r r Как вписать в окружность треугольник В треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника. Проведём биссектрисы треугольника: АK, ВM, СN. Построим перпендикуляры ОD, OE, OF, которые равны между собой, т.к. равны соответствующие треугольники. Получаем ОD= OE= OF=r.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник 1.Строим две биссектрисы треугольника. Точка пересечения — центр вписанной окружности. 2. Строим перпендикуляр на основание из точки пересечения. 3. Этот перпендикуляр является радиусом вписанной окружности. 4. Строим вписанную окружность.

Задача №1 Построить вписанную окружность в: 1. остроугольный треугольник; 2. тупоугольный треугольник; 3. прямоугольный треугольник. Самостоятельная работа Построить вписанную окружность в: 1. остроугольный равнобедренный треугольник; 2. тупоугольный равнобедренный треугольник; 3. прямоугольный равнобедренный треугольник.

Положение центра вписанной окружности

Как построить вписанную окружность треугольника

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Как построить вписанную окружность треугольника

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 323 человека из 72 регионов

Как построить вписанную окружность треугольника

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 702 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Как построить вписанную окружность треугольника

Презентация по геометрии для урока в 8 классе создана для наглядного изучения вопроса о том, как вписать окружность в треугольник. В ней просто и доходчиво доказывается, что центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника. Важная часть презентации — это то, что в ней показан алгоритм построения окружности, вписанной в треугольник. В презентации есть три задачи для закрепления нового материала. Также даны задачи для самостоятельной работы, решение которых поможет ребятам ещё лучше разобраться в новой теме. Последний слайд обращает внимание ребят на положение центра окружности, вписанной в треугольник.

  • Сазонова Татьяна ФёдоровнаНаписать 6155 13.05.2015

Номер материала: 278228

    13.05.2015 3072
    13.05.2015 653
    13.05.2015 508
    13.05.2015 2285
    13.05.2015 1059
    13.05.2015 499
    13.05.2015 543

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Дистанционные курсы
для педагогов

530 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Как построить вписанную окружность треугольника

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Как построить вписанную окружность треугольника

Первый мониторинг вузов РФ по новым показателям пройдёт в 2023 году

Время чтения: 2 минуты

Как построить вписанную окружность треугольника

Федеральный перечень учебников будет дополнен новыми учебниками

Время чтения: 3 минуты

Как построить вписанную окружность треугольника

Более половины россиян сталкиваются с конфликтами в родительских чатах

Время чтения: 2 минуты

Как построить вписанную окружность треугольника

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Как построить вписанную окружность треугольника

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Как построить вписанную окружность треугольника

Ретроспектива культовой сказки «Вечера на Хуторе близ Диканьки»

Время чтения: 5 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Как построить вписанную окружность треугольникаСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как построить вписанную окружность треугольникаФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Как построить вписанную окружность треугольникаВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Как построить вписанную окружность треугольника

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Как построить вписанную окружность треугольника

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Как построить вписанную окружность треугольника

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Как построить вписанную окружность треугольника

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Как построить вписанную окружность треугольника

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Как построить вписанную окружность треугольника

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность, вписанная в треугольникСкачать

Окружность, вписанная в треугольник

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Как построить вписанную окружность треугольника

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Как построить вписанную окружность треугольника.

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как построить вписанную окружность треугольника

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникКак построить вписанную окружность треугольника
Равнобедренный треугольникКак построить вписанную окружность треугольника
Равносторонний треугольникКак построить вписанную окружность треугольника
Прямоугольный треугольникКак построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как построить вписанную окружность треугольника.

Как построить вписанную окружность треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как построить вписанную окружность треугольника.

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как построить вписанную окружность треугольника

Произвольный треугольник
Как построить вписанную окружность треугольника
Равнобедренный треугольник
Как построить вписанную окружность треугольника
Равносторонний треугольник
Как построить вписанную окружность треугольника
Прямоугольный треугольник
Как построить вписанную окружность треугольника
Произвольный треугольник
Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как построить вписанную окружность треугольника.

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как построить вписанную окружность треугольника.

Равнобедренный треугольникКак построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

Равносторонний треугольникКак построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникКак построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

Видео:7 класс Построение окружности, вписаной в треугольникСкачать

7 класс  Построение окружности, вписаной в треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Как построить вписанную окружность треугольника

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Как построить вписанную окружность треугольника– полупериметр (рис. 6).

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

с помощью формулы Герона получаем:

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Как построить вписанную окружность треугольника

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Как построить вписанную окружность треугольника

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как построить вписанную окружность треугольника

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Как построить вписанную окружность треугольника

Как построить вписанную окружность треугольника

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

🔍 Видео

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Как построить окружность, описанную около треугольника, в программе ГЕОГЕБРАСкачать

Как построить окружность, описанную около треугольника, в программе ГЕОГЕБРА

Как построить вписанную в треугольник окружность с помощью программы ГЕОГЕБРАСкачать

Как построить вписанную в треугольник окружность с помощью программы ГЕОГЕБРА

Построение равностронего треугольника.Скачать

Построение равностронего треугольника.

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружность

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанная и описанная окружностиСкачать

Вписанная и описанная окружности

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данир
Поделиться или сохранить к себе: