Как построить треугольник из медиан

Построение треугольника по трем медианам ma, mb, mc

Построения треугольников осуществляется по основным и так вспомогательным элементам. К последним относят, радиусы вписанной и описанной окружностей, а также биссектрисы, медианы и высоты. В основном такие задачи решаются применением метода вспомогательного треугольника, при котором его построение сводится к какой либо уже известной задаче по основным элементам.

Как построить треугольник из медиан

Построим вспомогательный треугольник НВР по трем сторонам равным медианам ma, mb, mc, заданным по условию (см. рис.). Отложим на стороне НВ отрезок НО = 1/3 НВ. Затем через точку О проведем прямую параллельно ВР. Она пересечет сторону треугольника НР в точке К. От точки К отложим отрезок КС = ОК, а от точки О — отрезок ОМ, тем же раствором циркуля. Соединим точку В с точкой С. Через точки В и М, С и Н проведем прямые до их пересечения в точке А.

Проведем в построенном треугольнике АВС дополнительно две медианы МС и АЕ. Докажем, что МС = РВ, а АЕ = НР. Треугольники НВР и НОК подобны с коэффициентом подобия 3. Аналогично треугольники АОС и НКС — с коэффициентом подобия 2. Откуда ОК = КС = 1/2 ОС= 1/3 mc, а НК =1/2 АО = 1/3 ma. Следовательно, построен искомый треугольник АВС.

Предлагаемый способ отличается содержанием значительно меньшего количества шагов в построении.

19.01.2016 г. / Стрижак Василий Васильевич/ г. Речица, Гомельская обл.

Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Как построить треугольник по трем медианам?

Построения треугольников осуществляется как по основным и так вспомогательным элементам. К последним относят, радиусы вписанной и описанной окружностей, а также биссектрисы, медианы и высоты. В основном такие задачи решаются применением метода вспомогательного треугольника, при котором его построение сводится к какой либо уже известной задаче по основным элементам. В предлагаемом решении вспомогательный треугольник, стороны которого равны медианам ma, mb, mc, является основой построения искомого треугольника.

Построим вспомогательный треугольник НВР по трем сторонам равным медианам ma, mb, mc, заданным по условию (см. рис.). Отложим на стороне НВ отрезок, НО = 1/3 НВ. Затем через точку О проведем прямую параллельно ВР. Она пересечет сторону треугольника НР в точке К. От точки К отложим отрезок КС = ОК, а от точки О — отрезок ОМ, тем же раствором циркуля. Соединим точку В с точкой С. Через точки В и М, С и Н проведем прямые до их пересечения в точке А.

Проведем в построенном треугольнике АВС дополнительно две медианы МС и АЕ. Докажем, что МС = РВ, а АЕ = НР. Треугольники НВР и НОК подобны с коэффициентом подобия 3. Аналогично треугольники АОС и НКС — с коэффициентом подобия 2. = КС = ½ ОС= 1/3 mc, а НК =½ АО = 1/3 ma. Следовательно, построен искомый треугольник АВС.

Предлагаемый способ отличается содержанием значительно меньшего количества шагов в построении.

Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Как построить треугольник из медиан

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:Как построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей сторонеСкачать

Как построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Как построить треугольник из медиан

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Как построить треугольник из медиан

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Как построить треугольник из медиан

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Как построить треугольник из медиан

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Как построить треугольник из медиан

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Как построить треугольник из медиан

Видео:№154. Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.Скачать

№154. Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

💡 Видео

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Как построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторонСкачать

Как построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.

Как построить биссектрису, медиану и высоту в треугольникеСкачать

Как построить биссектрису, медиану и высоту в треугольнике

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Построение биссектрисы в треугольнике

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Медиана треугольника. Построение. Свойства.Скачать

Медиана треугольника. Построение. Свойства.

Точка пересечения медиан.Скачать

Точка пересечения медиан.

Треугольник: построение медианыСкачать

Треугольник: построение медианы

Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Точка пересечения медиан в треугольнике

Высота медиана биссектриса в тупоугольном треугольникеСкачать

Высота  медиана биссектриса в  тупоугольном треугольнике

длина медианы #SHORTSСкачать

длина медианы #SHORTS
Поделиться или сохранить к себе: