Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§5. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ, ЕГО СВОЙСТВА. ИЗОБРАЖЕНИЕ ФИГУР В СТЕРЕОМЕТРИИ.

3. Изображение треугольника и его элементов.

Изображением каждого треугольника может произвольный треугольник (рис. 393).

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Например, на рисунке 394 изображением прямоугольного равнобедренного треугольника А0В0С0 (с прямым углом А0) является разносторонний треугольник АВС.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Исходя из следствия последней свойства предыдущего пункта, имеем: медиана треугольника изображается медианой, средняя линия треугольника — средней линией.

Если в задаче не заданы метрические соотношение между его элементами, то бісектрису треугольника изображают произвольным отрезком, который соединяет вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Высоту треугольника также изображают произвольным отрезком, соединяющим вершину треугольника с точкой противоположной стороны или с точкой на продолжении этой стороны, если треугольник тупоугольный, а высоту проведена из вершины острого угла.

В рівнобедреному треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой. Поэтому бісектрису и высоту равнобедренного треугольника, проведенные к основы, изображают медианой. На рисунке 395 треугольник АВС — изображения равнобедренного треугольника А0В 0 С0, у которого А0В0 = В0С0. АК — изображение медианы, биссектрисы и высоты треугольника, проведенные к основанию.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Пример. Треугольник АВС является параллельной проекцией равностороннего треугольника (рис. 396). Построить проекцию центра круга, вписанного в равносторонний треугольник.

Развязок. Центр окружности, вписанной в треугольник — точка пересечения точка пересечения его биссектрис. Поскольку треугольник, что проектируется, равносторонний, то его биссектрисы является также медіанами. Для нахождение проекции центра окружности, вписанной в равносторонний треугольник, необходимо провести две некоторые медианы треугольника АВС, например А L и ВК (рис. 397). А L и ИК — изображения биссектрис равностороннего треугольника, что проецируется. Точка пересечения А L и ВК — точка И является проекцией центра круга, вписанного в равносторонний треугольник.

Содержание
  1. Как построить центр окружности вписанной в треугольник
  2. Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение
  3. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник
  4. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
  5. Формулировка теоремы о вписанной окружности
  6. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник
  7. Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  8. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  9. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  10. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  11. Окружность, вписанная в треугольник
  12. «Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
  13. Описание презентации по отдельным слайдам:
  14. Краткое описание документа:
  15. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  16. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  17. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  18. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  19. Дистанционные курсы для педагогов
  20. Другие материалы
  21. Вам будут интересны эти курсы:
  22. Оставьте свой комментарий
  23. Автор материала
  24. Дистанционные курсы для педагогов
  25. Подарочные сертификаты
  26. Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение
  27. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник
  28. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
  29. Формулировка теоремы о вписанной окружности
  30. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник
  31. 💡 Видео

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Как построить центр окружности вписанной в треугольник

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение

Еще в Древнем Египте появилась наука, с помощью которой можно было измерять объемы, площади и другие величины. Толчком к этому послужило строительство пирамид. Оно предполагало значительное число сложных расчетов. И кроме строительства, было важно правильно измерить землю. Отсюда и появилась наука «геометрия» от греческих слов «геос» — земля и «метрио» — измеряю.

Исследованию геометрических форм способствовало наблюдение астрономических явлений. И уже в 17-м веке до н. э. были найдены начальные способы расчета площади круга, объема шара и главнейшее открытие — теорема Пифагора.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольникВам будет интересно: Казахская академия спорта и туризма. Факультеты, структура вуза

Формулировка теоремы об окружности, вписанной в треугольник выглядит следующим способом:

В треугольник можно вписать только одну окружность.

При таком расположении окружность — вписанная, а треугольник — описанный около окружности.

Формулировка теоремы о центре окружности, вписанной в треугольник, выглядит следующим образом:

Центральная точка окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Видео:№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать

№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярная

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Окружность считается вписанной в треугольник, если она хотя бы одной точкой касается всех его сторон.

На фото ниже показана окружность, находящаяся внутри равнобедренного треугольника. Условие теоремы об окружности, вписанной в треугольник, соблюдено — она касается всех сторон треугольника AB, ВС И СА в точках R, S, Q соответственно.

Одним из свойств равнобедренного треугольника является то, что вписанная окружность точкой касания делит основание пополам (BS = SC), а радиус вписанной окружности составляет треть высоты данного треугольника(SP=AS/3).

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Свойства теоремы об окружности, вписанной в треугольник:

  • Отрезки, выходящие из одной вершины треугольника к точкам касания с окружностью, равны. На рисунке AR = AQ, BR = BS, CS = CQ.
  • Радиус окружности (вписанной) — это площадь, деленная на полупериметр треугольника. Как пример, нужно начертить равнобедренный треугольник с теми же буквенными обозначениями, что на картинке, следующих размеров: основание ВС = 3 см, высота AS = 2 см, стороны АВ=ВС, соответственно, получаются по 2,5 см каждая. Проведем из каждого угла биссектрису и место их пересечения обозначим как Р. Впишем окружность с радиусом PS, длину которого нужно найти. Узнать площадь треугольника можно, умножив 1/2 основания на высоту: S = 1/2 * DC * AS = 1/2 * 3 * 2 = 3 см2. Полупериметр треугольника равен 1/2 суммы всех сторон: Р = (АВ + ВС + СА) / 2 = (2,5 + 3 + 2,5) / 2 = 4 см; PS = S/P = 3/4 = 0,75 см2, что полностью соответствует действительности, если измерить линейкой. Соответственно, верно свойство теоремы об окружности, вписанной в треугольник.

Видео:Построение проекции пирамиды. Метод прямого треугольника.Скачать

Построение проекции пирамиды. Метод прямого треугольника.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Для треугольника с прямым углом действуют свойства теоремы об вписанной окружности в треугольник. И, кроме того, добавляется возможность решать задачи с постулатами теоремы Пифагора.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно определить следующим образом: сложить длины катетов, вычесть значение гипотенузы и получившееся значение разделить на 2.

Есть хорошая формула, которая поможет высчитать площадь треугольника — периметр умножить на радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Построение натуральной величины треугольника методом вращенияСкачать

Построение натуральной величины треугольника методом вращения

Формулировка теоремы о вписанной окружности

В планиметрии важны теоремы о вписанных и описанных фигурах. Одна из них звучит так:

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

На представленном рисунке показано доказательство данной теоремы. Показано равенство углов, и, соответственно, равенство прилегающих треугольников.

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник

Радиусы окружности, вписанной в треугольник, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам треугольника.

Задание «сформулируйте теорему об окружности вписанной в треугольник» не должно застать врасплох, потому что это одни из фундаментальных и простейших знаний в геометрии, которыми необходимо владеть в полной мере для решения многих практических задач в реальной жизни.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольникСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольникФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольникВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронталиСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронтали

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Способ замены (перемены) плоскостей проекции. Определение истинной величины отрезка и плоской фигурыСкачать

Способ замены (перемены) плоскостей проекции. Определение истинной величины отрезка и плоской фигуры

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникКак построить проекции центра окружности вписанной в треугольник
Равнобедренный треугольникКак построить проекции центра окружности вписанной в треугольник
Равносторонний треугольникКак построить проекции центра окружности вписанной в треугольник
Прямоугольный треугольникКак построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Произвольный треугольник
Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник
Равнобедренный треугольник
Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник
Равносторонний треугольник
Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник
Прямоугольный треугольник
Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник
Произвольный треугольник
Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник.

Равнобедренный треугольникКак построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Равносторонний треугольникКак построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникКак построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Видео:Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещенияСкачать

Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещения

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник– полупериметр (рис. 6).

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

с помощью формулы Герона получаем:

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:20. Определение натуральной величины треугольника и центра окружности, вписанной в треугольникСкачать

20. Определение натуральной величины треугольника и центра окружности, вписанной в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Построение недостающих проекции сквозного отверстия в сфереСкачать

Построение недостающих проекции сквозного отверстия в сфере

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Описание презентации по отдельным слайдам:

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности. A B C O

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

A B C D F E M N O K r r r Как вписать в окружность треугольник В треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника. Проведём биссектрисы треугольника: АK, ВM, СN. Построим перпендикуляры ОD, OE, OF, которые равны между собой, т.к. равны соответствующие треугольники. Получаем ОD= OE= OF=r.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник 1.Строим две биссектрисы треугольника. Точка пересечения — центр вписанной окружности. 2. Строим перпендикуляр на основание из точки пересечения. 3. Этот перпендикуляр является радиусом вписанной окружности. 4. Строим вписанную окружность.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Задача №1 Построить вписанную окружность в: 1. остроугольный треугольник; 2. тупоугольный треугольник; 3. прямоугольный треугольник. Самостоятельная работа Построить вписанную окружность в: 1. остроугольный равнобедренный треугольник; 2. тупоугольный равнобедренный треугольник; 3. прямоугольный равнобедренный треугольник.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Положение центра вписанной окружности

Краткое описание документа:

Презентация по геометрии для урока в 8 классе создана для наглядного изучения вопроса о том, как вписать окружность в треугольник. В ней просто и доходчиво доказывается, что центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника. Важная часть презентации — это то, что в ней показан алгоритм построения окружности, вписанной в треугольник. В презентации есть три задачи для закрепления нового материала. Также даны задачи для самостоятельной работы, решение которых поможет ребятам ещё лучше разобраться в новой теме. Последний слайд обращает внимание ребят на положение центра окружности, вписанной в треугольник.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 931 человек из 79 регионов

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 309 человек из 67 регионов

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 493 833 материала в базе

Видео:Аксонометрические Проекции Окружности #черчение #окружность #проекции #изометрияСкачать

Аксонометрические Проекции Окружности  #черчение #окружность #проекции #изометрия

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

  • 13.05.2015
  • 3537
  • 13.05.2015
  • 764
  • 13.05.2015
  • 601
  • 13.05.2015
  • 3372
  • 13.05.2015
  • 1210
  • 13.05.2015
  • 621
  • 13.05.2015
  • 701

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 13.05.2015 6286 —> —> —> —>
  • PPTX 227.7 кбайт —> —>
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Сазонова Татьяна Фёдоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

  • На сайте: 7 лет
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 30278
  • Всего материалов: 17

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:СПОСОБ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙСкачать

СПОСОБ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Свободное движение повышает креативность

Время чтения: 1 минута

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Минспорта утвердило программу подготовки киберспортсменов

Время чтения: 1 минута

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Школы Сургута переведут на дистанционное обучение с 24 января

Время чтения: 1 минута

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Более 800 вузов проведут прием через суперсервис

Время чтения: 1 минута

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение

Еще в Древнем Египте появилась наука, с помощью которой можно было измерять объемы, площади и другие величины. Толчком к этому послужило строительство пирамид. Оно предполагало значительное число сложных расчетов. И кроме строительства, было важно правильно измерить землю. Отсюда и появилась наука «геометрия» от греческих слов «геос» — земля и «метрио» — измеряю.

Исследованию геометрических форм способствовало наблюдение астрономических явлений. И уже в 17-м веке до н. э. были найдены начальные способы расчета площади круга, объема шара и главнейшее открытие — теорема Пифагора.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник Вам будет интересно: Казахская академия спорта и туризма. Факультеты, структура вуза

Формулировка теоремы об окружности, вписанной в треугольник выглядит следующим способом:

В треугольник можно вписать только одну окружность.

При таком расположении окружность — вписанная, а треугольник — описанный около окружности.

Формулировка теоремы о центре окружности, вписанной в треугольник, выглядит следующим образом:

Центральная точка окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Видео:ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК [construction a regular pentagon]Скачать

ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК [construction a regular pentagon]

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Окружность считается вписанной в треугольник, если она хотя бы одной точкой касается всех его сторон.

На фото ниже показана окружность, находящаяся внутри равнобедренного треугольника. Условие теоремы об окружности, вписанной в треугольник, соблюдено — она касается всех сторон треугольника AB, ВС И СА в точках R, S, Q соответственно.

Одним из свойств равнобедренного треугольника является то, что вписанная окружность точкой касания делит основание пополам (BS = SC), а радиус вписанной окружности составляет треть высоты данного треугольника(SP=AS/3).

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Свойства теоремы об окружности, вписанной в треугольник:

  • Отрезки, выходящие из одной вершины треугольника к точкам касания с окружностью, равны. На рисунке AR = AQ, BR = BS, CS = CQ.
  • Радиус окружности (вписанной) — это площадь, деленная на полупериметр треугольника. Как пример, нужно начертить равнобедренный треугольник с теми же буквенными обозначениями, что на картинке, следующих размеров: основание ВС = 3 см, высота AS = 2 см, стороны АВ=ВС, соответственно, получаются по 2,5 см каждая. Проведем из каждого угла биссектрису и место их пересечения обозначим как Р. Впишем окружность с радиусом PS, длину которого нужно найти. Узнать площадь треугольника можно, умножив 1/2 основания на высоту: S = 1/2 * DC * AS = 1/2 * 3 * 2 = 3 см2. Полупериметр треугольника равен 1/2 суммы всех сторон: Р = (АВ + ВС + СА) / 2 = (2,5 + 3 + 2,5) / 2 = 4 см; PS = S/P = 3/4 = 0,75 см2, что полностью соответствует действительности, если измерить линейкой. Соответственно, верно свойство теоремы об окружности, вписанной в треугольник.

Видео:Центр вписанной окружности.Скачать

Центр вписанной окружности.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Для треугольника с прямым углом действуют свойства теоремы об вписанной окружности в треугольник. И, кроме того, добавляется возможность решать задачи с постулатами теоремы Пифагора.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно определить следующим образом: сложить длины катетов, вычесть значение гипотенузы и получившееся значение разделить на 2.

Есть хорошая формула, которая поможет высчитать площадь треугольника — периметр умножить на радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Построение треугольника в трёх проекцияхСкачать

Построение треугольника в трёх проекциях

Формулировка теоремы о вписанной окружности

В планиметрии важны теоремы о вписанных и описанных фигурах. Одна из них звучит так:

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

Как построить проекции центра окружности вписанной в треугольник

На представленном рисунке показано доказательство данной теоремы. Показано равенство углов, и, соответственно, равенство прилегающих треугольников.

Видео:1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник

Радиусы окружности, вписанной в треугольник, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам треугольника.

Задание «сформулируйте теорему об окружности вписанной в треугольник» не должно застать врасплох, потому что это одни из фундаментальных и простейших знаний в геометрии, которыми необходимо владеть в полной мере для решения многих практических задач в реальной жизни.

💡 Видео

Как построить шестиугольник вписанный в окружностьСкачать

Как построить шестиугольник вписанный в окружность
Поделиться или сохранить к себе: