Как определять градусы по окружности

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

• 

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

Единичная окружность

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Единичная окружность в тригонометрии

Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

• Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
• Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
• В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
• В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.

Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

Радиан — одна из мер для определения величины угла.

Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

• 2π радиан = 360°
• 1 радиан = (360/2π) градусов
• 1 радиан = (180/π) градусов
• 360° = 2π радиан
• 1° = (2π/360) радиан
• 1° = (π/180) радиан

Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Уравнение единичной окружности

При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Деление окружности на градусы

Во всем мире принято странное деление окружности на 360 градусов. Со всех точек зрения было бы логичнее деление окружности на 2, потом на 4, потом на 8, 16, 32, 64 и т. д. части. А то поди ж ты: сначала делим окружность на 4 части, потом каждую четверть на 90 градусов. Почему на 90? Почему не на 100 или 120? Оказывается, деление окружности на 360 градусов ведет свое начало от вавилонских жрецов. Они, наблюдая за движением Солнца, обнаружили, что в день равноденствия Солнце от восхода до заката описывает на небесном своде полуокружность, в которой видимый поперечник Солнца укладывается ровно 180 раз. Поэтому-то они и стали каждую полуокружность делить на 180 частей, а каждую окружность – на 360 градусов! Школьный транспортир напоминает, что каждое его деление есть не что иное, как отпечаток – след Солнца, проходящего по небосклону в день равноденствия.

Существует, правда, египетская гипотеза происхождения деления окружности. Длительность года у египтян составляла 360 дней. Год был разбит на 12 месяцев, а каждый месяц на 30 дней. И Солнце по небу проходило каждый год через 12 зодиакальных созвездий. Так что Солнце находилось в каждом из этих созвездий по 30 дней. Итак, за 1 день солнце проходит по небу расстояние в 1 единицу пути. Таких единиц всего 360. И только потом эту единицу пути назвали градусом.

Герой романа Жюля Верна «Таинственный остров» инженер Сайрес Смит, чтобы определить величину острого угла, образованного ножками самодельного циркуля, «измерил этот угол по окружности, разделённой на триста шестьдесят равных частей; угол равнялся десяти градусам». Зачем для измерения острого угла потребовалось делить на части всю окружность, когда достаточно рассмотреть её четверть, непонятно, и как удалось добиться их равенства? Поэтому, деление окружности непростой вопрос, которому во многих задачах стоит уделить время.

Гра́дус, мину́та, секу́нда — общепринятые единицы измерения плоских углов. Также эти величины используются в картографии для определения координат произвольной точки земной поверхности, а также для определения азимута.

Содержание

Градус [ править | править код ]

Градус (от лат. gradus — деление шкалы, шаг, ступень) обозначается °. Один полный оборот соответствует углу в 360°. В прямом угле, таким образом, 90°, в развёрнутом — 180°.

Причина выбора градуса как единицы измерения углов неизвестна. Одна из теорий предполагает, что это связано с тем, что 360 — приблизительное количество дней в году [1] . Некоторые древние календари, такие как древнеперсидский, использовали год в 360 дней.

Другая теория гласит, что аккадцы (вавилоняне) поделили окружность, используя угол равностороннего треугольника как базу и поделив результат на 60, следуя своей шестидесятеричной системе счисления [2] [3] .

Если построить окружность радиусом 57 см, то 1 градус будет примерно соответствовать 1 см длины дуги данной окружности.

Градус в альтернативных единицах измерения:

1 ∘ = 2 π 360 = >>> радиан = π 180 = 1 p ≈ 1 57,295 779513 ∘ >>= >approx 295779513^ >>>> [4] ≈ 0,017 4532925 0174532925> (радиан в 1°) 1 ∘ = 1 360 = >> оборота=0,002(7) оборота=0,002777777777… 1 ∘ = 400 360 = >> градов=1,(1) градов=1,11111111111… градов

Минуты и секунды [ править | править код ]

По аналогии с делением часа как интервала времени градус делят на 60 минут (от лат. minutus — маленький, мелкий; обозначается штрихом x′), а минуту — на 60 секунд (от лат. secunda divisio — второе деление; обозначается двумя штрихами y″. Ранее употреблялась величина в 1/60 секунды — терция (третье деление), с обозначением тремя штрихами — z″′. Деление градуса на минуты и секунды ввёл Клавдий Птолемей [5] ; корни же такого деления восходят к учёным Древнего Вавилона (где использовалась шестидесятеричная система счисления).

Минуты и секунды в других системах измерения:

1 ′ = 2 π 360 ∘ ⋅ 60 ′ = 1 ′ p ′ ≈ 1 ′ 3437,747 ′ >cdot 60′>>= 747′>>> [4] ≈ 2,908 88208 ⋅ 10 − 4 rad 90888208cdot 10^

>> (1 минута в радианах) 1 ″ = 2 π 360 ∘ ⋅ 60 ′ ⋅ 60 ″ = 1 ″ p ″ ≈ 1 ″ 206264 , 8 ″ >cdot 60’cdot 60”>>= >approx 8”>>> [4] ≈ 4,848 136811 ⋅ 10 − 6 rad 848136811cdot 10^

>> (1 секунда в радианах).

Минуты и секунды в радианной мере из-за своих чрезмерно малых величин представляют ограниченный интерес и практически очень мало используются.
Гораздо больший интерес представляет перевод десятичных (сотых, десятитысячных) долей градуса в минуты и секунды и обратно — см. Радиан#Связь радиана с другими единицами и Географические координаты.

Угловая секунда [ править | править код ]

Углова́я секу́нда (англ. arcsecond , arc second , as , second of arc ; синонимы: дуговая секунда, секунда дуги [6] ) — внесистемная астрономическая единица измерения малых углов, тождественная секунде плоского угла [7] .

Использование [ править | править код ]

Угловая секунда (обозначается ″) используется в астрономии при измерении плоских углов в градусных мерах. При измерении углов в часовых мерах (в частности, для определения прямого восхождения) используется единица измерения «секунда» (обозначается s ). Соотношение между этими величинами определяется формулой 1 s =15″. [8]

Иногда угловую секунду (и производные от неё дольные единицы) ошибочно называют арксекундой [6] [9] , что является простой транслитерацией с англ. arcsecond .

Дольные единицы [ править | править код ]

По аналогии с международной системой единиц (СИ), наряду с угловой секундой применяются и её дольные единицы измерения: миллисекунды (англ. milliarcseconds , mas ), микросекунды (англ. microarcseconds , µas ) и пикосекунды (англ. picoarcseconds , pas ). Они не входят в СИ (СИ рекомендует миллирадианы и микрорадианы), но допускаются к применению [7] . Однако согласно ГОСТ 8.417-2002, наименование и обозначения единиц плоского угла (градус, минута, секунда) не допускается применять с приставками [10] , в связи с чем такие дольные величины должны приводиться либо к единицам СИ (миллирадианам и т. п.), либо к угловым секундам, либо обозначаться исходными единицами ( mas , µas и pas соответственно).

Связь различных угловых единиц измерения

Единица	Величина	Обозначение	Аббревиатура	Радиан (прибл.)
градус	1/360 окружности	°	deg	17,4532925 mrad
минута	1/60 градуса	′	arcmin, amin, ′ ^ >> , MOA	290,8882087 µrad
секунда	1/60 минуты	″	arcsec	4,8481368 µrad
миллисекунда	1/1000 секунды	mas	4,8481368 nrad
микросекунда	1 × 10 −6 секунды	μas	4,8481368 prad

Дольные единицы могут использоваться для обозначения собственного движения звёзд и галактик, годичного параллакса и углового диаметра звёзд.

Для наблюдения астрономических объектов под такими сверхмалыми углами астрономы прибегают к методу интерферометрии, при котором сигналы, принимаемые несколькими разнесёнными радиотелескопами, комбинируются в процессе апертурного синтеза. Так, используя методику интерферометрии со сверхдлинной базой, астрономы получили возможность измерить собственное движение галактики Треугольника. [ источник не указан 2692 дня ]

В видимом свете существенно труднее достичь миллисекундного разрешения. Тем не менее, спутник Hipparcos справился с этой задачей в процессе астрометрических измерений, по результатам которых были составлены наиболее точные (по состоянию на 1997 год) каталоги звёзд Tycho (TYC) и Hipparcos (HIP) [11] [12] .

Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ По следам вавилонян, или почему в окружности 360 градусов? // Наталья Карпушина

Знаете ли вы, почему в окружности 360 градусов, а не 180 или, скажем, не 300? Откуда пошла традиция делить окружность на равные части и почему было выбрано именно такое их число? Оказывается, этому делению мы обязаны вавилонянам. Согласно их календарю, продолжительность года составляла 360 дней — именно столько раз, по наблюдениям древних астрономов, солнечный диск укладывался на годичном пути светила. Иными словами, за каждые сутки солнце делало один «шаг». Поэтому вавилоняне и разделили окружность на 360 равных частей, каждую из которых называют градусом (от лат. gradus — шаг, ступень). Считается, что они же изобрели простейший инструмент для измерения углов − транспортир. Но вот вопрос: как же древние сумели разделить окружность на равные части, не владея техникой геометрических построений и располагая лишь примитивными инструментами? Загадка…

С подобной проблемой однажды столкнулся инженер Сайрес Смит, герой романа Жюля Верна «Таинственный остров». Чтобы определить величину острого угла, образованного ножками самодельного циркуля, он «измерил этот угол по окружности, разделённой на триста шестьдесят равных частей; угол равнялся десяти градусам». Вот, собственно, и всё, что сообщает о решении данной задачи Жюль Верн. Непонятно, зачем для измерения острого угла потребовалось делить на части всю окружность, когда достаточно рассмотреть её четверть, и уж совсем неясно, как удалось добиться их равенства. Можно лишь предположить, что инженер выполнял построения на земле с помощью подручных средств, как он не раз поступал при решении других практических задач, если те требовали знания геометрии.

Сначала прикинем решение на бумаге. Для того чтобы разделить окружность на равные части, пригодится диск, край которого представляет собой окружность фиксированной длины l . Если катить диск по нарисованной на земле окружности длиной L = nl , где n = 2, 3, 4 …, то через n оборотов он обежит линию и вернётся в исходную точку. Пришло время проявить смекалку: сделаем на краю диска «острый выступ», оставляющий на земле отметку после каждого оборота. С его помощью мы разметим окружность, то есть разобьём на равные части. Допустим, нужно разделить окружность на дуги по 10°. В таком случае n = 360° : 10° = 36. Так как L превосходит l в 36 раз, то из соображений подобия и радиус R нарисованной на земле окружности должен быть во столько же раз больше радиуса r диска.

Теперь можно переходить к конкретным действиям. Измерим радиус диска. Пусть для определённости r = 5 см, тогда R = 180 см. Сделаем в диске отверстие по линии радиуса и вставим в него, например, кусочек спицы так, чтобы острый конец чуть торчал наружу. Отмерим кусок верёвки длиной 180 см и привяжем к его концам по колышку. Один колышек вобьём в землю, затем натянем верёвку и, удерживая её в таком состоянии, очертим другим колышком окружность. Наконец, прокатим по нарисованной линии диск; 36 меток (следов спицы) разделят окружность на дуги по 10° в каждой. Задача решена. Ясно, что в общем случае, подбирая подходящую длину радиуса R и количество «зарубок» на диске, легко разделить окружность на нужное число равных частей.

Задачу можно решить и по-другому, как делали древние египтяне, строя прямой угол при помощи верёвки, разделённой узелками на равные части. За единицу измерения примем длину диска. Обмотаем верёвку вокруг диска и завяжем на конце отмеренного отрезка узелок. Проделаем ту же операцию необходимое число раз. Затем положим размеченную таким образом верёвку поверх нарисованной на земле окружности (узелки соответствуют меткам, которые оставил бы на земле катящийся диск в первом способе построения). В данном случае при вычерчивании окружности можно обойтись без рулетки: радиус R окружности получим, отложив на верёвке диаметр диска n /2 раз (при нечётном n придётся добавить длину радиуса).

Проигрывая в точности построений, мы вместе с тем выигрываем в их простоте и доступности, что на практике зачастую ценится больше. Добавим, что верёвка с узелками — это примитивный циркуль, который используется до сих пор, когда надо провести на земле дугу большого радиуса, например при разметке спортивной арены, или очертить круг при разбивке клумбы.

🎬 Видео

Комментарии: 0