Как определить на окружности арккосинус

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс – начальные сведения

Задача, обратная нахождению значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла (числа), подразумевает нахождение угла (числа) по известным значениям тригонометрических функций. Она приводит к понятиям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

В этой статье мы дадим определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, введем принятые обозначения, а также приведем примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. В заключение упомянем про аркфункции и покажем, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс связаны с единичной окружностью.

Навигация по странице.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

Определения, обозначения, примеры

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс можно определить как угол и как число. Это связано с тем, что мы определили синус, косинус, тангенс и котангенс как угла, так и числа (смотрите синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии). Остановимся на обоих подходах к определению арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как угол

Пусть про угол альфа α известно лишь то, что его синус равен числу 1/2 , то есть, sinα=1/2 . Последнее равенство определяет угол α неоднозначно, так как ему удовлетворяет бесконечное множество углов α=(−1) k ·30°+180°·k ( α=(−1) k ·π/6+π·k ), где k∈Z . Однако, если потребовать, чтобы величина угла α в градусах принадлежала отрезку [−90, 90] (в радианах – отрезку [−π/2, π/2] ), то равенство sinα=1/2 будет определять угол альфа однозначно. При этом условии равенству удовлетворяет единственный угол в 30 градусов ( π/6 радианов).

Вообще, равенство sinα=a (не путайте a и альфа: a и α ) при любом числе a∈[−1, 1] и условии −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ) определяет единственный угол α . Этот угол называют арксинусом числа a .

Арксинус числа a∈[−1, 1] – это угол −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ), синус которого равен a .

Аналогично определяются арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Арккосинус числа a∈[−1, 1] – это угол 0°≤α≤180° ( 0≤α≤π ), косинус которого равен a .

Арктангенс числа a∈(−∞, +∞) – это угол −90° ( −π/2 ), тангенс которого равен a .

Арккотангенс числа a∈(−∞, +∞) – это угол 0° ( 0 ), котангенс которого равен a .

Для записи арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса приняты следующие обозначения: arcsin , arccos , arctg и arcctg . То есть, арксинус числа a можно записать как arcsin a , арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа a запишутся соответственно как arccos a , arctg a и arcctg a .

Также можно встретить обозначения arctan и arccot , они являются другой формой обозначения арктангенса и арккотангенса, которая принята в англоязычной литературе. Мы же арктангенс и арккотангенс будем обозначать как arctg и arcctg .

В свете введенных обозначений, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа можно записать более формально:

arcsin a , a∈[−1, 1] , есть такой угол α , что −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ) и sinα=a ;

arccos a , a∈[−1, 1] , есть такой угол α , что 0°≤α≤180° ( 0≤α≤π ) и cosα=a ;

arctg a , a∈(−∞, +∞) , есть такой угол α , что −90° ( −π/2 ) и tgα=a ;

arcctg a , a∈(−∞, +∞) , есть такой угол α , что 0° ( 0 ) и ctgα=a .

Подчеркнем, что арксинус и арккосинус числа определен для чисел, принадлежащих отрезку [−1, 1] , для остальных чисел арксинус и арккосинус не определен. Например, не имеет смысла запись arcsin2 . Аналогично не определен арксинус пяти, арксинус минус корня из трех, арккосинус семи целых двух третьих и арккосинус минус пи, так как числа 2 , 5 , Как определить на окружности арккосинус, −π выходят за пределы числового отрезка от −1 до 1 . В свою очередь записи arctg a и arcctg a имеют смысл для любого действительного числа a , например, имеют смысл записи arctg0 , arctg(−500,2) , arcctg(6·π+1) и т.п.

Теперь можно привести примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Начнем с примеров арксинуса. Определение арксинуса позволяет утверждать, что угол π/3 является арксинусом числа Как определить на окружности арккосинус, то есть, Как определить на окружности арккосинус(здесь Как определить на окружности арккосинуси α=π/3 ). Действительно, число Как определить на окружности арккосинуспринадлежит отрезку [−1, 1] , угол π/3 лежит в пределах от −π/2 до π/2 и Как определить на окружности арккосинус. Приведем еще несколько примеров арксинуса числа: arcsin(−1)=−90° , arcsin(0,5)=π/6 , Как определить на окружности арккосинус.

А вот π/10 не является арксинусом 1/2 , так как sin(π/10)≠1/2 . Еще пример: несмотря на то, что синус 270 градусов равен −1 , угол 270 градусов не является арксинусом минус единицы, так как 270 градусов не является углом в пределах от −90 до 90 градусов. Более того, угол 270 градусов вообще не может быть арксинусом какого-либо числа, так как арксинус числа должен лежать в пределах от −90 до 90 градусов.

Для полноты картины приведем примеры арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Например, угол 0 радианов является арккосинусом единицы, то есть, arccos1=0 (так как выполняются все условия из определения арккосинуса: число 1 принадлежит отрезку от −1 до 1 , угол нуль радианов лежит в пределах от нуля до пи включительно и cos0=1 ). Аналогично, угол π/2 есть арккосинус нуля: arccos0=π/2 . По определению арктангенса числа arctg(−1)=−π/4 или arctg(−1)=−45° . Арктангенс корня из трех равен 60 градусам ( π/3 рад). А из определения арккотангенса можно заключить, что arcctg0=π/2 , так как угол π/2 лежит в рамках от 0 до пи и ctg(π/2)=0 .

Подобный подход к определению арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса описан в учебнике Кочеткова [1, с. 260-278] .

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как число

Когда мы имеем дело с синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла, то естественно арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс определять как угол. Если же мы начинаем говорить про синус, косинус, тангенс и котангенс числа, а не угла, то естественно арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс определять уже как число.

Арксинусом числа a∈[−1, 1] называется такое число t∈[−π/2, π/2] , синус которого равен a .

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos ( 1 2 ) = π 3 .

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin ( — π 2 ) = — 1 , sin ( — π 3 ) = — 3 2 , sin ( — π 4 ) = — 2 2 , sin ( — π 6 ) = — 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от — 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

в р а д и а н а х

α— 1— 3 2— 2 2— 1 201 22 23 2
a r c sin α к а к у г о л— π 2— π 3— π 4— π 60π 6π 4π 3
в г р а д у с а х— 90 °— 60 °— 45 °— 30 °0 °30 °45 °60 °
a r c sin α к а к ч и с л о— π 2— π 3— π 4— π 60π 6π 4π 3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = — 1 2 , cos 3 π 4 = — 2 2 , cos 5 π 6 = — 3 2 , cos π = — 1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

a r c cos ( — 1 ) = π , arccos ( — 3 2 ) = 5 π 6 , arcocos ( — 2 2 ) = 3 π 4 , arccos — 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

в р а д и а н а х

α— 1— 3 2— 2 2— 1 201 22 23 21
a r c cos α к а к у г о лπ5 π 63 π 42 π 3π 2π 3π 4π 60
в г р а д у с а х180 °150 °135 °120 °90 °60 °45 °30 °0 °
a r c cos α к а к ч и с л оπ5 π 63 π 42 π 3π 2π 3π 4π 60

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α— 3— 1— 3 303 313
a r c t g a к а к у г о лв р а д и а н а х— π 3— π 4— π 60π 6π 4π 3
в г р а д у с а х— 60 °— 45 °— 30 °0 °30 °45 °60 °
a r c t g a к а к ч и с л о— π 3— π 4— π 60π 6π 4π 3

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g

Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin ( — α ) = — a r c sin α , a r c cos ( — α ) = π — a r c cos α , a r c t g ( — α ) = — a r c t g α , a r c c t g ( — α ) = π — a r c c t g α .

Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Как определить на окружности арккосинус

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Как определить на окружности арккосинус

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Как определить на окружности арккосинус

Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном a r c sin α = — π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − ( − π 12 ) = 7 π 12 .

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

Как определить на окружности арккосинус

При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Как определить на окружности арккосинус

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Видео:Алгебра 10 класс. 18 октября. Что такое arccos арккосинусСкачать

Алгебра 10 класс. 18 октября. Что такое arccos арккосинус

Арккосинус. Решение уравнения cos x=a

п.1. Понятие арккосинуса

В записи (y=cosx) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – косинус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному косинусу найти угол. Но одному значению косинуса соответствует бесконечное количество углов. Например, если (cosx=1), то (x=2pi k, kinmathbb); (cosx=0), то (x=fracpi2+pi k, kinmathbb) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором косинус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: (0leq xleq pi) (верхняя половина числовой окружности).

(arccosfrac12=fracpi3, arccosleft(-frac<sqrt>right)=frac)
(arccos2) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arccosx

Как определить на окружности арккосинус
1. Область определения (-1leq xleq1) .
2. Функция ограничена сверху и снизу (0leq arccosxleq pi) . Область значений (yin[0;pi])
3. Максимальное значение (y_=pi) достигается в точке x =-1
Минимальное значение (y_=0) достигается в точке x =1
4. Функция убывает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.

п.3. Уравнение cos⁡x=a

Как определить на окружности арккосинусЗначениями арккосинуса могут быть только углы от 0 до π (180°). А как выразить другие углы через арккосинус?

Углы в нижней части числовой окружности записывают через отрицательный арккосинус. А углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арккосинуса и величины, которая ‘не помещается» в область значений арккосинуса.

1) Решим уравнение (cosx=frac12).
Найдем точку (frac12) в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам (pmfracpi3) — это базовые корни.
Если взять верхний корень (fracpi3) и прибавить к нему полный оборот (fracpi3+2pi=frac), косинус полученного угла (cosfrac=frac12), т.е. (frac) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида (fracpi3+2pi k) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида (-fracpi3+2pi k).
Получаем ответ: (x=pmfracpi3+2pi k)

Заметим, что полученный ответ является записью вида
(x=pm arccosfrac12+2pi k)
А т.к. арккосинус для (frac12) точно известен и равен (fracpi3), то мы его и пишем в ответе.
Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение (cosx=0,8)

Как определить на окружности арккосинусНайдем точку 0,8 в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках.
По определению верхняя точка – это угол, равный arccos⁡0,8.
Тогда нижняя точка – это тот же угол, но отложенный в отрицательном направлении обхода числовой окружности, т.е. (–arccos⁡0,8).
Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни.
Получаем ответ:
(x=pm arccos0,8+2pi k)

п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента

Докажем полезную на практике формулу для (arccos(-a)).

Как определить на окружности арккосинусПо построению: $$ begin angle DA’O=angle BAO=angle CAO=90^\ OD=OB=OC=1\ OA’=OA=a end Rightarrow $$ (по катету и гипотенузе) begin Delta DA’O=Delta BAO=Delta CAORightarrow\ Rightarrow angle DOC=angle A’OA-alpha+alpha=angle A’OA=180^=pi\ -arccosa+pi=arccos(-a) end

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арккосинусу. Постройте графики арккосинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для (y=arccosx) область определения (-1leq xleq 1), область значений (0leq yleq pi).
Обратная функция (y=cosx) должна иметь ограниченную область определения (0leq xleq pi) и область значений (-1leq yleq 1).
Строим графики:
Как определить на окружности арккосинус
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) (cos x=-1)
Как определить на окружности арккосинус
(x=pi+2pi k)
б) (cos x=frac<sqrt>)
Как определить на окружности арккосинус
(x=pmfracpi4+2pi k)
в) (cos x=0)
Как определить на окружности арккосинус
(x=pmfracpi2+2pi k=fracpi2+pi k)
г) (cos x=sqrt)
Как определить на окружности арккосинус
(sqrtgt 1, xinvarnothing)
Решений нет
д) (cos x=0,7)
Как определить на окружности арккосинус
(x=pm arccos(0,7)+2pi k)
e) (cos x=-0,2)
Как определить на окружности арккосинус
(x=pm arccos(-0,2)+2pi k)

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arccos0,8; arccos(-0,5); arccosfracpi7 $$

Как определить на окружности арккосинусСпособ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси косинусов (ось OX) точки с абсциссами 0,8; -0,5; (fracpi7approx 0,45)
Значения арккосинусов (углы) считываются на верхней половине окружности: чем меньше косинус (от 1 до -1), тем больше угол (от 0 до π).
Получаем: (angle A_1OAltangle A_2OAangle A_3OA)
$$ arccos0,8lt arccosfracpi7lt arccos(-0,5) $$Как определить на окружности арккосинусСпособ 2. Решение с помощью графика (y=arccosx)

Отмечаем на оси OX аргументы 0,8; -0,5; (fracpi7approx 0,45). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арккосинусов по возрастанию: $$ arccos0,8lt arccosfracpi7lt arccos(-0,5) $$Способ 3. Аналитический
Арккосинус – функция убывающая: чем больше аргумент, тем меньше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по убыванию: 0,8; (fracpi7); -0,5.
И записываем арккосинусы по возрастанию: (arccos0,8lt arccosfracpi7lt arccos(-0,5))

Пример 4*. Решите уравнения:
(a) arccos(x^2-3x+3)=0) begin x^2-3x+3=cos0=1\ x^2-3x+2=0\ (x-2)(x-1)=0\ x_1=1, x_2=2 end Ответ:

(б) arccos^2x-arccosx-6=0)
( text -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arccos x, 0leq tleq pi)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-6=0Rightarrow (t-3)(t+2)=0Rightarrow left[ begin t_1=3\ t_2=-2lt 0 — text end right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: begin arccosx=3\ x=cos3 end Ответ: cos3

(в) arccos^2x-pi arccosx+frac=0)
( text -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arccos x, 0leq tleq pi)
Решаем квадратное уравнение: begin t^2-pi t+frac=0\ D=(pi^2)-4cdot frac=frac, sqrt=fracpi3\ left[ begin t_1=frac=fracpi3\ t_2=frac=frac end right. Rightarrow left[ begin arccosx_1=fracpi3\ arccosx_2=frac end right. Rightarrow left[ begin x_1=cosleft(fracpi3right)=frac12\ x_2=cosleft(fracright)=-frac12 end right. end Ответ: (left)

📹 Видео

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по Математике

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИСкачать

ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИ

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

12 часов Тригонометрии с 0.Скачать

12 часов Тригонометрии с 0.

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020Скачать

Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020

Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?Скачать

Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?

Преобразование выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 2 ч. 10 класс.Скачать

Преобразование выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 2 ч. 10 класс.

Найти знак тригонометрической функции (bezbotvy)Скачать

Найти знак тригонометрической функции (bezbotvy)

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: