| Фигура | Рисунок | Формулировка | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Треугольник |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Большая сторона треугольника |  | Против большей стороны треугольника лежит больший угол | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Больший угол треугольника | Против большего угла треугольника лежит большая сторона | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Меньшая сторона треугольника |  | Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Меньший угол треугольника | Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Длины сторон треугольника |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Углы треугольника |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Внешний угол треугольника |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Больший угол треугольника |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Меньший угол треугольника |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Теорема косинусов |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Теорема синусов |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Треугольник | ||
| ||
| Большая сторона треугольника | ||
| Против большей стороны треугольника лежит больший угол | |
| Больший угол треугольника | ||
| Против большего угла треугольника лежит большая сторона | |
| Меньшая сторона треугольника | ||
| Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол | |
| Меньший угол треугольника | ||
| Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона | |
| Длины сторон треугольника | ||
| ||
| Углы треугольника | ||
| ||
| Внешний угол треугольника | ||
| ||
| Больший угол треугольника | ||
| ||
| Меньший угол треугольника | ||
| ||
| Теорема косинусов | ||
| ||
| Теорема синусов | ||
| ||
| Треугольник |
|
Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.
Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .
Свойство большей стороны треугольника:
Против большей стороны треугольника лежит больший угол
Свойство большего угла треугольника:
Против большего угла треугольника лежит большая сторона
Свойство меньшей стороны треугольника:
Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Свойство меньшего угла треугольника:
Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.
a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.
Свойство углов треугольника:
Сумма углов треугольника равна 180°
Свойство внешнего угла треугольника:
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
Свойство большего угла треугольника:
Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.
,
где α – больший угол треугольника.
Свойство меньшего угла треугольника:
Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.
,
где β – меньший угол треугольника.
Свойство меньшего угла треугольника:
,
Как найти меньший угол данного треугольника?
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла = 39гр. Как найти меньший угол данного треугольника?
Пусть ABC — треугольник, и угол B — ппрямой.
Пусть BL — высота, проведенная из вершины прямого угла B,
BM — бисектриса, проведенная из угла B, при этом на стороне АС
точки находятся в таком порядке: A, L, M, C
Начертите такой треугольник, чтобы было понятнее.
Имеем — угол ABM = 45. угол MBC = 45 ( так как BM — биссектриса угла ABC)
Угол LBM = 39 гр (по условию)
Поэтому угол LBC = угол LBM + угол MBC = 39 гр + 45 гр = 84 гр
Но в прямоугольном треугольнике LBC сумма
угол LBC + угол BCL = 90 гр
Но угол LBC = 84 гр, следовательо угол BCL = 6 гр
Угол BCL — есть угол BCA нашего треугольника ABC
Угол LBA = угол MBA — угол LBM = 45 гр — 39 гр =6 гр
Но в прямоугольном треугольнике LBA сумма
угол LBA + угол BAL = 90 гр
Но угол LBA = 6 гр, следовательо угол BAL = 84 гр
Угол BAL — есть угол BAC нашего треугольника ABC
Итак, углы заданного треугольника ABC
угол BCA = 6 гр, угол BAC = 84 гр
Наименьший угол BCA = 6 гр.
Как найти углы прямоугольного треугольника
Онлайн калькулятор
Чтобы найти острые углы прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- для угла α:
- угол β
- длины катетов a и b
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- для угла β:
- угол α
- длины катетов a и b
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Найти угол α зная угол β и наоборот
Формула
Найти углы прямоугольного треугольника зная катеты
Катет a =
Катет b =
Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?
Формулы
Пример
Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если катет a = 5 см, а катет b = 2 см:
Найти углы прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе
Гипотенуза c =
Катет =
Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны гипотенуза c и один из катетов (a или b)?