В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Определение медианы треугольника
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.
Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).
Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать
Свойства медианы
Свойство 1 (основное)
Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.
В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:
Свойство 2
Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.
Свойство 3
Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Свойство 4
Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.
- AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
- AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.
Свойство 5
Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).
Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:
Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Примеры задач
Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.
Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .
Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.
Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Треугольник. Медиана треугольника.
Медиана треугольника – отрезок, который объединяет любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для обозначения медиана общепринята буква т, к ней добавляется название той стороны, к середине которой она прочерчена: ma, mb, mc.
В любом треугольнике имеется возможность указать три медианы. Если чертить их точно, то в каждом треугольнике медианы перекрещиваются в одном единственной месте.
Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать
Характерные особенности медианы.
Медиана разделяет треугольник на два треугольника с равной площадью.
Медианы треугольника перекрещиваются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2:1, начиная от вершины. Эту точку обозначают как центр тяжести треугольника.
Весь треугольник можно разделить его медианами на шесть одинаковых треугольников.
Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать
Треугольник
Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трёх звеньев:
Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а её звенья — сторонами треугольника. Углы, образованные двумя сторона треугольника, называются углами треугольника:
В треугольнике ABC вершины A, B и C — это вершины треугольника, звенья AB, BC и CA — стороны треугольника. Три угла — ∠ABC, ∠BCA и ∠CAB — углы треугольника. Часто углы треугольника обозначаются только одной буквой: ∠A, ∠B, ∠C.
Треугольник обычно обозначается тремя буквами, стоящими при его вершинах. Например, треугольник ABC, или BCA, или CBA. Вместо слова треугольник часто используется знак . Так, запись ABC будет читаться: треугольник ABC .
У каждого треугольника 3 вершины, 3 стороны и 3 угла.
Видео:Длина медианы треугольникаСкачать
Высота
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его основание. Высота треугольника может быть опущена и на продолжение основания.
Отрезок BN — это высота ABC. Отрезок EL высота DEF, опущенная на продолжение стороны DF.
Длина высоты — это длина отрезка от вершины угла до пересечения с основанием.
Каждый треугольник имеет три высоты.
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Биссектриса
Биссектриса угла треугольника — прямая, делящая угол треугольника пополам. Длина отрезка этой прямой от вершины угла до точки пересечения с противоположной стороной называется длиной биссектрисы.
Отрезок BN — это биссектриса ABC.
Каждый треугольник имеет три биссектрисы.
Видео:Все свойства медианы в одной задаче.Скачать
Медиана
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длина этого отрезка называется длиной медианы.
Отрезок BN — это медиана ABC.
🎥 Видео
Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Формулы для медианы треугольникаСкачать
Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника - геометрия 7 классСкачать
Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольникаСкачать
Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать
Медиана треугольника. Построение. Свойства.Скачать
Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать
Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать
Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать