Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Треугольник вписанный в окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Вариант 30, № 6. Нахождение периметра равностороннего треугольника, в который вписана окружностьСкачать

Вариант 30, № 6. Нахождение периметра равностороннего треугольника, в который вписана окружность

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Равносторонний треугольник в окружности

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

1. Через площадь и длину стороны

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

4. Через стороны и радиус описанной окружности

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Высота в прямоугольном треугольнике

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

2. Через стороны треугольника

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Как найти высоту треугольника в который вписана окружностьСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как найти высоту треугольника в который вписана окружностьФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Как найти высоту треугольника в который вписана окружностьВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:2065 радиус окружности вписанной в правильный треугольник равен 29 Найдите высоту этого треугольникаСкачать

2065 радиус окружности вписанной в правильный треугольник равен 29 Найдите высоту этого треугольника

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Высоты треугольника.Скачать

Высоты треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность.

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникКак найти высоту треугольника в который вписана окружность
Равнобедренный треугольникКак найти высоту треугольника в который вписана окружность
Равносторонний треугольникКак найти высоту треугольника в который вписана окружность
Прямоугольный треугольникКак найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти высоту треугольника в который вписана окружность.

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти высоту треугольника в который вписана окружность.

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Произвольный треугольник
Как найти высоту треугольника в который вписана окружность
Равнобедренный треугольник
Как найти высоту треугольника в который вписана окружность
Равносторонний треугольник
Как найти высоту треугольника в который вписана окружность
Прямоугольный треугольник
Как найти высоту треугольника в который вписана окружность
Произвольный треугольник
Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти высоту треугольника в который вписана окружность.

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти высоту треугольника в который вписана окружность.

Равнобедренный треугольникКак найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Равносторонний треугольникКак найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникКак найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в  равносторонний  треугольник.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Как найти высоту треугольника в который вписана окружность– полупериметр (рис. 6).

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

с помощью формулы Герона получаем:

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

Как найти высоту треугольника в который вписана окружность

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

🎥 Видео

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту треугольникаСкачать

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту треугольника

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике
Поделиться или сохранить к себе: