Как найти угол между вектором и осью oz

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Как найти угол между вектором и осью oz

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

  1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

  1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Теории поля с примерами решения и образцами выполнения

Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы — все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.

Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U = U(M), говорят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция U(М) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор Как найти угол между вектором и осью oz, то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воздуха, тела, …), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, …), электрического потенциала и т.д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д.

Если функция Как найти угол между вектором и осью ozне зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).

Далее будем рассматривать только стационарные поля.

Если V — область трехмерного пространства, то скалярное поле U можно рассматривать как функцию трех переменных х, у, z (координат точки М):

Как найти угол между вектором и осью oz

(Наряду с обозначениями Как найти угол между вектором и осью ozиспользуют запись Как найти угол между вектором и осью oz— радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция U (М) зависит только от двух переменных, например х и у, то соответствующее скалярное поле U(х; у) называют плоским.

Аналогично: вектор Как найти угол между вектором и осью oz, определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов Как найти угол между вектором и осью oz

Вектор Как найти угол между вектором и осью ozможно представить (разложив его по ортам координатных осей) в виде

Как найти угол между вектором и осью oz

где P(x;y;z), Q(x;y;z ), R(x;y;z) — проекции вектора Как найти угол между вектором и осью ozна оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора Как найти угол между вектором и осью ozравна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, Как найти угол между вектором и осью oz

Векторное поле называется однородным, если Как найти угол между вектором и осью oz— постоянный вектор, т. е. Р, R и Q — постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь Р = О, Q — О, R = — mg, g — ускорение силы тяжести, m — масса точки.

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции (U(x;y;z) — определяющая скалярное поле, P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x; у; z) — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими частными производными.

Пример:

Функция Как найти угол между вектором и осью ozопределяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом R = 1; скалярное поле Как найти угол между вектором и осью ozопределено во всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на ней Как найти угол между вектором и осью oz).

Пример:

Найти поле линейной скорости Как найти угол между вектором и осью ozматериальной точки М, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью Как найти угол между вектором и осью ozвокруг оси Oz (см. п. 7.4).

Решение:

Угловую скорость представим в виде вектора Как найти угол между вектором и осью oz, лежащего на оси Oz, направленного вверх. Имеем:

Как найти угол между вектором и осью oz

Построим радиус-вектор Как найти угол между вектором и осью ozточки М (см. рис. 267).

Численное значение линейной скорости Как найти угол между вектором и осью oz(модуль), как известно из курса физики, равно Как найти угол между вектором и осью oz, где р — расстояние вращающейся точки M(x;y,z) от оси вращения (оси Oz).Но Как найти угол между вектором и осью oz— угол между вектором r и осью Oz). Следовательно, Как найти угол между вектором и осью oz

Вектор скорости Как найти угол между вектором и осью ozнаправлен в сторону вращения, совпадает с направлением векторного произведения Как найти угол между вектором и осью ozвекторы Как найти угол между вектором и осью ozобразуют правую тройку). Следовательно, Как найти угол между вектором и осью ozт. е.

Как найти угол между вектором и осью oz

или Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

Поле линейных скоростей Как найти угол между вектором и осью ozтела, вращающегося вокруг неподвижной оси, есть плоское векторное поле.

Как найти угол между вектором и осью oz

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Скалярное поле

Поверхности и линии уровня:

Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией U = U(x,y,z). Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(М) принимает постоянное значение, т. е.

Как найти угол между вектором и осью oz

Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки координат точки в уравнение (70.1).

Для скалярного поля, образованного функцией

Как найти угол между вектором и осью oz

поверхностями уровня является множество концентрических сфер с центрами в начале координат: Как найти угол между вектором и осью ozВ частности, при с = 1 получим Как найти угол между вектором и осью oz, т. е. сфера стягивается в точку.

Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.

В случае плоского поля U — U(х; у) равенство U(x; у) = с представляет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня —это линия на плоскости Оху, в точках которой функция U (х; у) сохраняет постоянное значение.

В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.

Линии уровня применяются в математике при исследовании поверхностей методом сечений (см. п. 12.9).

Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения поля U =U(М) в заданном направлении введем понятие «производной по направлению».

Возьмем в пространстве, где задано поле U = U(x;y;z), некоторую точку М и найдем скорость изменения функции U при движении точки М в произвольном направлении Как найти угол между вектором и осью oz. Пусть вектор Как найти угол между вектором и осью ozимеет начало в точке М и направляющие косинусы Как найти угол между вектором и осью oz

Приращение функции U, возникающее при переходе от точки М к некоторой точке Как найти угол между вектором и осью ozв направлении вектора Как найти угол между вектором и осью ozопределяется как

Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

Производной от функции U = U(M) в точке М по направлению Как найти угол между вектором и осью ozназывается предел

Как найти угол между вектором и осью oz

Производная по направлению Как найти угол между вектором и осью ozи характеризует скорость изменения функции (поля) в точке М по этому направлению. Если Как найти угол между вектором и осью oz> 0, то функция U возрастает в направлении Как найти угол между вектором и осью oz, если Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz

где Как найти угол между вектором и осью oz— бесконечно малые функции при Как найти угол между вектором и осью oz(см. п. 44.3). Поскольку

Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

Переходя к пределу при Как найти угол между вектором и осью ozполучим формулу для вычисления производной по направлению:

Как найти угол между вектором и осью oz

В случае плоского поля U = U(x;y) имеем:

Как найти угол между вектором и осью oz

Формула (70.2) принимает вид:

Как найти угол между вектором и осью oz

Замечание:

Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных Как найти угол между вектором и осью ozИх можно рассматривать как производные от функции и по направлению координатных осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление Как найти угол между вектором и осью ozсовпадает с положительным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) Как найти угол между вектором и осью ozполучим

Пример:

Найти производную функции Как найти угол между вектором и осью ozв точке М(0; 1; 2) в направлении от этой точки к точке Как найти угол между вектором и осью oz
Решение:

Находим вектор Как найти угол между вектором и осью ozи его направляющие косинусы:

Как найти угол между вектором и осью oz

Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке М:

Как найти угол между вектором и осью oz

Следовательно, по формуле (70.2) имеем:

Как найти угол между вектором и осью oz

Поскольку jj^- Градиент скалярного поля и его свойства

В каком направлении Как найти угол между вектором и осью ozпроизводная Как найти угол между вектором и осью ozимеет наибольшее значение? Это направление указывает вектор, называемый градиентом скалярного поля.

Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет собой скалярное произведение единичного вектора

Как найти угол между вектором и осью oz

и некоторого вектора

Как найти угол между вектором и осью oz

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U(x,y,z) в точке M(x;y,z), называют градиентом функции и обозначают gradU, т. е. Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

Отметим, что grad U есть векторная величина. Говорят: скалярное поле U порождает векторное поле градиента U. Теперь равенство (70.2) можно записать в виде

Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

где Как найти угол между вектором и осью ozугол между вектором grad U и направлением Как найти угол между вектором и осью oz(см. рис. 269).

Как найти угол между вектором и осью oz

Из формулы (70.3) сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда Как найти угол между вектором и осью ozТаким образом, направление градиента совпадает с направлением А, вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна

Как найти угол между вектором и осью oz

В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свойстве градиента основано его широкое применение в математике и других дисциплинах.

Приведем важные свойства градиента функции.

1.Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня Как найти угол между вектором и осью ozНо тогда из (70.3) следует, что Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

Доказываются эти свойства на основании определения градиента. Докажем, например, последнее свойство. Имеем:

Как найти угол между вектором и осью oz

Замечание. Приведенные свойства градиента функции остаются справедливыми и для плоского поля.

Пример:

Найти наибольшую скорость возрастания функции

Как найти угол между вектором и осью oz

Решение:

Как найти угол между вектором и осью oz

Наибольшая скорость возрастания функции равна

Как найти угол между вектором и осью oz

Отметим, что функция U будет убывать с наибольшей скоростью Как найти угол между вектором и осью oz, если точка А движется в направлении Как найти угол между вектором и осью oz(антиградиентное направление).

Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

Векторное поле

Векторные линии поля:

Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором Как найти угол между вектором и осью oz. Изучение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они являются простейшими геометрическими характеристиками поля.

Векторной линией поля Как найти угол между вектором и осью ozназывается линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора Как найти угол между вектором и осью oz.

Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.

Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.

Изучение векторного поля обычно начинают с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля

Как найти угол между вектором и осью oz

описываются системой дифференциальных уравнений вида

Как найти угол между вектором и осью oz

Действительно, пусть PQ — векторная линия поля, Как найти угол между вектором и осью oz— ее радиус-вектор. Тогда вектор Как найти угол между вектором и осью ozнаправлен по касательной к линии PQ в точке М (см. рис. 270). В силу коллинеарности векторов Как найти угол между вектором и осью ozследует пропорциональность их проекций, т. е. равенства (71.2).

Пример:

Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью Как найти угол между вектором и осью ozвокруг оси Oz.

Решение:

Это поле определено вектором Как найти угол между вектором и осью oz(см. пример 69.2). Согласно (71.2), имеем:

Как найти угол между вектором и осью oz

Интегрируя, получим: Как найти угол между вектором и осью ozт. е. векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Поток поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядности будем считать Как найти угол между вектором и осью ozвектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

Выберем определенную сторону поверхности S. Пусть Как найти угол между вектором и осью oz— единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S. Разобьем поверхность на элементарные площадки Как найти угол между вектором и осью ozВыберем в каждой площадке точку Как найти угол между вектором и осью oz(см. рис. 271) и вычислим значения вектора скорости Как найти угол между вектором и осью ozв каждой точке: .Как найти угол между вектором и осью oz.

Как найти угол между вектором и осью oz

Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор Как найти угол между вектором и осью ozпостоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через Как найти угол между вектором и осью ozпротекает количество жидкости, приближенно равное Как найти угол между вектором и осью oz— площадь i-й площадки,Как найти угол между вектором и осью oz— высота i-гo цилиндра с образующей Как найти угол между вектором и осью oz. Но Я, является проекцией вектора Как найти угол между вектором и осью ozна нормаль Как найти угол между вектором и осью oz— единичный вектор нормали к поверхности в точке Как найти угол между вектором и осью oz. Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму

Как найти угол между вектором и осью oz

Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров Как найти угол между вектором и осью ozплощадок):

Как найти угол между вектором и осью oz

Независимо от физического смысла поля Как найти угол между вектором и осью ozполученный интеграл называют потоком векторного поля.

Потоком вектора Как найти угол между вектором и осью oz через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е.

Как найти угол между вектором и осью oz

Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как

Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

где Как найти угол между вектором и осью oz— проекция вектора а на направление нормали Как найти угол между вектором и осью oz— дифференциал (элемент) площади поверхности.

Иногда формулу (71.3) записывают в виде

Как найти угол между вектором и осью oz

где вектор Как найти угол между вектором и осью ozнаправлен по нормали к поверхности, причем Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

— проекции вектора Как найти угол между вектором и осью ozна соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора Как найти угол между вектором и осью oz, можно записать в виде

Как найти угол между вектором и осью oz

Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода (см. формулу (58.8)), поток вектора можно записать как

Как найти угол между вектором и осью oz

Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина. Величина К равна объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физического смысла поля).

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается в виде

Как найти угол между вектором и осью oz

В этом случае за направление вектора п обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности S (см. рис. 272).

Если векторное поле Как найти угол между вектором и осью ozесть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вектором Как найти угол между вектором и осью ozострый угол и Как найти угол между вектором и осью ozв точках, где векторные линии входят в объем, Как найти угол между вектором и осью oz).

При этом если К > 0, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.

Если К Как найти угол между вектором и осью oz

Пример:

Найти поток вектора Как найти угол между вектором и осью ozчерез верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости Зх + 6у — 2z — 6 =0 с координатными плоскостями (см. рис. 274).

Решение:

Поток найдем методом проектирования на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем случае Р = z, Q = —х, R = у. Имеем:

Как найти угол между вектором и осью oz

Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью Оу — тупой, а с осью Oz — острый угол. (Единичный вектор данной плоскости есть Как найти угол между вектором и осью ozна верхней стороне Как найти угол между вектором и осью ozпоэтому надо выбрать знак «минус»; получим:

Как найти угол между вектором и осью oz

Итак, Как найти угол между вектором и осью ozНаходимКак найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

В результате имеем: Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

Пример:

Найти поток радиус-вектора Как найти угол между вектором и осью ozчерез внешнюю сторону поверхности прямого конуса, вершина которого совпадает с точкой O(0; 0;0), если известны радиус основания R и высота конуса H (см. рис. 275).

Решение:

Как найти угол между вектором и осью oz

Очевидно, чтоКак найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

т. к. Как найти угол между вектором и осью oz

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

Как найти угол между вектором и осью oz

в точке М называется скаляр вида Как найти угол между вектором и осью ozи обозначается символом Как найти угол между вектором и осью oz, т. е.

Как найти угол между вектором и осью oz

Отметим некоторые свойства дивергенции.

  1. Если Как найти угол между вектором и осью oz— постоянный вектор, то Как найти угол между вектором и осью oz
  2. Как найти угол между вектором и осью ozгде с = const.
  3. Как найти угол между вектором и осью ozт. е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.
  4. Если U — скалярная функция, Как найти угол между вектором и осью oz— вектор, то

Как найти угол между вектором и осью oz

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4.

Так как Как найти угол между вектором и осью ozто

Как найти угол между вектором и осью oz

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса

Как найти угол между вектором и осью oz

в так называемой векторной форме.

Рассматривал область V, ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть формулы (71.7) есть поток вектора Как найти угол между вектором и осью ozчерез поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора Как найти угол между вектором и осью oz. Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде

Как найти угол между вектором и осью oz

(в котором она чаще всего и встречается).

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V, ограниченному данной поверхностью.

Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля Как найти угол между вектором и осью ozв точке М (не связанное с выбором координатных осей).

По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:

Как найти угол между вектором и осью oz

где Как найти угол между вектором и осью oz— некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде Как найти угол между вектором и осью ozОтсюда

Как найти угол между вектором и осью oz

Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда Как найти угол между вектором и осью oz, и мы получаем выражение для Как найти угол между вектором и осью ozв точке М:

Как найти угол между вектором и осью oz

Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку Как найти угол между вектором и осью oz

Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6).

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что Как найти угол между вектором и осью ozесть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при Как найти угол между вектором и осью ozточка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, при Как найти угол между вектором и осью ozточка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина Как найти угол между вектором и осью ozхарактеризует мощность (интенсивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоит физический смысл дивергенции.

Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, нет ни источников, ни стоков, то Как найти угол между вектором и осью oz

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. Как найти угол между вектором и осью ozназывается соленоидалъным (или трубчатым).

Пример:

Найти дивергенцию поля линейных скоростей Как найти угол между вектором и осью ozжидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью Как найти угол между вектором и осью oz.

Решение:

Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как показано ранее (см. пример 69.2), Как найти угол между вектором и осью ozИмеем:

Как найти угол между вектором и осью oz

Поле Как найти угол между вектором и осью oz— соленоидальное.

Циркуляция поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление.

Пусть Как найти угол между вектором и осью oz— радиус-вектор точки М на контуре L. Известно, что вектор Как найти угол между вектором и осью ozнаправлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис. 276) и Как найти угол между вектором и осью oz— дифференциал дуги кривой Как найти угол между вектором и осью oz

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора Как найти угол между вектором и осью ozна вектор Как найти угол между вектором и осью oz, касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора а вдоль L, т. е.

Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как

Как найти угол между вектором и осью oz

где Как найти угол между вектором и осью oz— проекция вектора Как найти угол между вектором и осью ozна касательную Как найти угол между вектором и осью oz, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство (71.10) можно записать в виде

Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция — это работа силы Как найти угол между вектором и осью ozполя при перемещении материальной точки вдоль L (п.56.5).

Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение Как найти угол между вектором и осью ozсохраняет знак: положительный, если направление вектора Как найти угол между вектором и осью ozсовпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный — в противном случае.

Пример:

Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей вращающегося тела (см. пример 69.2) Как найти угол между вектором и осью ozвдоль замкнутой кривой L, лежащей в плоскости Как найти угол между вектором и осью oz, перпендикулярной оси вращения.

Решение:

Будем считать, что направление нормали к плоскости Как найти угол между вектором и осью ozсовпадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (71.12), имеем:

Как найти угол между вектором и осью oz

где S — площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 56.17).

Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол Как найти угол между вектором и осью ozс осью Oz, то циркуляция будет равна Как найти угол между вектором и осью ozс изменением угла Как найти угол между вектором и осью ozвеличина С изменяется.

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля

Как найти угол между вектором и осью oz

вдоль периметра треугольника с вершинами A(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1) (см. рис. 277).

Как найти угол между вектором и осью oz

Решение:

Согласно формуле (71.12), имеем:

Как найти угол между вектором и осью oz

На отрезке AB: x + у = 1, z = 0, следовательно,

Как найти угол между вектором и осью oz

На отрезке ВС: у + z = 1, х = 0, следовательно,

Как найти угол между вектором и осью oz

На отрезке СА: х + z = 1, у = 0, следовательно,

Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

Ротор поля. Формула Стокса

Ротором (или вихрем) векторного поля

Как найти угол между вектором и осью oz

называется вектор, обозначаемый Как найти угол между вектором и осью ozи определяемый формулой

Как найти угол между вектором и осью oz

Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:

Как найти угол между вектором и осью oz

Отметим некоторые свойства ротора.

  1. Если Как найти угол между вектором и осью oz— постоянный вектор, то Как найти угол между вектором и осью oz
  2. Как найти угол между вектором и осью oz
  3. Как найти угол между вектором и осью ozт. е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.
  4. Если U — скалярная функция, а Как найти угол между вектором и осью oz— векторная, то

Как найти угол между вектором и осью oz

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3:

Как найти угол между вектором и осью oz

Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу Стокса:

Как найти угол между вектором и осью oz

Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора Как найти угол между вектором и осью ozпо контуру L, т. е. Как найти угол между вектором и осью oz(см. (71.11)). Интеграл в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора Как найти угол между вектором и осью ozчерез поверхность S, ограниченную контуром L (см. (71.3)), т. е.

Как найти угол между вектором и осью oz

Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде

Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz

Такое представление формулы Стокса называют ее векторной формой. В этой формуле положительное направление на контуре L и выбор стороны у поверхности S согласованы между собой так же, как в теореме Стокса.

Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора Как найти угол между вектором и осью oz вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора Как найти угол между вектором и осью oz через поверхность S, лежащую в поле вектора а и ограниченную контуром L (натянутую на контур) (см. рис. 278).

Используя формулу (71.14), можно дать другое определение ротора поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной системы.

Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки S с контуром L, содержащей точку М.

По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свойство 7) имеем:

Как найти угол между вектором и осью oz

где Как найти угол между вектором и осью oz— некоторая (средняя) точка площадки S (см. рис. 279).

Как найти угол между вектором и осью oz

Тогда формулу (71.15) можно записать в виде

Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

Пусть контур L стягивается в точку М. Тогда Как найти угол между вектором и осью ozПерейдя к пределу, получаем:

Как найти угол между вектором и осью oz

Ротором вектора Как найти угол между вектором и осью oz в точке М называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.

Как видно из определения, ротор вектора Как найти угол между вектором и осью ozесть векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) Как найти угол между вектором и осью oz, т. е. ротор вектора Как найти угол между вектором и осью oz

По определению ротора

Как найти угол между вектором и осью oz

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

С точностью до числового множителя ротор поля скоростей Как найти угол между вектором и осью ozпредставляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).

Замечание:

Из определения (71.13) ротора вытекает, что направление ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S.

Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).

Оператор Гамильтона

Векторные дифференциальные операции первого порядка:

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем U и векторным полем Как найти угол между вектором и осью ozявляются gradU, Как найти угол между вектором и осью ozДействия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные).

Эти операции удобно записывать с помощью так называемого оператора Гамильтона

Как найти угол между вектором и осью oz

Этот символический вектор называют также оператором Как найти угол между вектором и осью oz(читается «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора Как найти угол между вектором и осью ozна скаляр U или вектор Как найти угол между вектором и осью ozпроизводится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов Как найти угол между вектором и осью ozна величины Как найти угол между вектором и осью ozпонимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:

Как найти угол между вектором и осью oz

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

В частности, производная по направлению (70.2) может быть записана в виде

Как найти угол между вектором и осью oz

где Как найти угол между вектором и осью oz

Векторные дифференциальные операции второго порядка

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка:

Как найти угол между вектором и осью oz

(Понятно, что операция Как найти угол между вектором и осью ozнапример, не имеет смысла: Как найти угол между вектором и осью oz— скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о Как найти угол между вектором и осью ozбессмысленно.)

Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что оператор действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором.

Как найти угол между вектором и осью oz

Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции U и обозначается Как найти угол между вектором и осью oz. Таким образом,

Как найти угол между вектором и осью oz

Дифференциальное уравнение Лапласа Как найти угол между вектором и осью ozиграет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

Замечание. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение скалярный оператор дельта:

Как найти угол между вектором и осью oz

(который тоже называют оператором Лапласа).

2. Как найти угол между вектором и осью ozтак как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

Как найти угол между вектором и осью oz

4. Как найти угол между вектором и осью ozтак как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря — соленоидальное.

Как найти угол между вектором и осью oz

так как двойное векторное произведение обладает свойством

Как найти угол между вектором и осью oz

Здесь Как найти угол между вектором и осью oz— векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к вектору Как найти угол между вектором и осью oz.

Некоторые свойства основных классов векторных полей

Соленоидальное поле

Напомним, что векторное поле Как найти угол между вектором и осью ozназывается соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е. Как найти угол между вектором и осью oz

Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.

Приведем некоторые свойства соленоидального поля.

  1. В соленоидальном поле Как найти угол между вектором и осью ozпоток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и стоков.
  2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т. е. если Как найти угол между вектором и осью oz, то существует такое поле Как найти угол между вектором и осью oz, что Как найти угол между вектором и осью oz. Вектор Как найти угол между вектором и осью ozназывается векторным потенциалом поляКак найти угол между вектором и осью oz.

Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения соленоидального поля.

Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное утверждение — поле ротора векторного поля есть соленоидальное — нами доказано (выше мы показали, что Как найти угол между вектором и осью oz).

3. В соленоидальном поле Как найти угол между вектором и осью ozпоток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностью трубки).

Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями Как найти угол между вектором и осью ozбоковую поверхность трубки обозначим через S (см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из Как найти угол между вектором и осью ozравен нулю. Следовательно,

Как найти угол между вектором и осью oz

где n — внешняя нормаль.

Как найти угол между вектором и осью oz

Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль п перпендикулярна к векторам поля, то Как найти угол между вектором и осью ozи, следовательно,

Как найти угол между вектором и осью oz

Переменив направление нормали на площадке Как найти угол между вектором и осью oz, т.е. взяв внутреннюю нормаль Как найти угол между вектором и осью ozполучим:

Как найти угол между вектором и осью oz

В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее.

Потенциальное поле

Векторное поле Как найти угол между вектором и осью ozназывается потенциальным (или безвихревым, или градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е. Как найти угол между вектором и осью ozПримером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда (и другие).

Приведем основные свойства потенциального поля.

Свойство 1. Циркуляция потенциального поля Как найти угол между вектором и осью ozпо любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно,

Как найти угол между вектором и осью oz

В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости равенство С = 0 означает, что в потоке нет замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.

Свойство 2. В потенциальном поле Как найти угол между вектором и осью ozкриволинейный интеграл Как найти угол между вектором и осью ozвдоль любой кривой L с началом в точке Как найти угол между вектором и осью ozи концом в точке Как найти угол между вектором и осью ozзависит только от положения точек Как найти угол между вектором и осью ozи не зависит от формы кривой.

Это свойство вытекает из свойства 1. Действительно, взяв в поле две точки Как найти угол между вектором и осью ozсоединим их двумя кривыми Как найти угол между вектором и осью ozтак, чтобы контур Как найти угол между вектором и осью ozлежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1, имеем

Как найти угол между вектором и осью oz

Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:

Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x; y; z), т. е. если Как найти угол между вектором и осью oz, то существует функция U (х; у; z) такая, что Как найти угол между вектором и осью oz

Из равенства Как найти угол между вектором и осью ozвытекает, что Как найти угол между вектором и осью ozт. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом некоторой функции U = U(x;y;z) (следствие 56.1). Эту функцию называют потенциалом векторного поля

Как найти угол между вектором и осью oz

Отсюда: Как найти угол между вектором и осью ozСледовательно,

Как найти угол между вектором и осью oz

т. е. вектор поля Как найти угол между вектором и осью ozявляется градиентом скалярного поля.

Замечание. Из равенства rot grad U = 0 следует обратное утверждение — поле градиента скалярной функции U = U(x;y; z) является потенциальным.

Из равенства Как найти угол между вектором и осью ozследует, что потенциальное поле определяется заданием одной скалярной функции U = U(x; у; z) — его потенциала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле

Как найти угол между вектором и осью oz

где Как найти угол между вектором и осью oz— координаты фиксированной точки, (x;y;z) — координаты произвольной точки. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что grad (U + а) = grad U ).

Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций (P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y,z) — проекции вектора поля на оси координат).

Замечание. Определение потенциального поля может быть дано иначе — векторное поле Как найти угол между вектором и осью ozназывается потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля, т. е. Как найти угол между вектором и осью oz. (Иногда пишут Как найти угол между вектором и осью oz; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания U: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее нагретому и т. д.)

Пример:

Установить потенциальность поля

Как найти угол между вектором и осью oz

и найти его потенциал.

Решение:

Как найти угол между вектором и осью oz

Следовательно, поле вектора Как найти угол между вектором и осью ozпотенциальное.

Найдем потенциал U по формуле (73.1), выбирая в качестве фиксированной точки начало координат, т. е. Как найти угол между вектором и осью ozТак как

Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

Гармоническое поле

Векторное поле Как найти угол между вектором и осью ozназывается гармоническим (или лапласовым), если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т. е. если Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Так как поле Как найти угол между вектором и осью ozпотенциально, то его можно записать в виде Как найти угол между вектором и осью oz— потенциал поля.

Но так как поле одновременно и соленоидальное, то

Как найти угол между вектором и осью oz

или, что то же самое,

Как найти угол между вектором и осью oz

т. е. потенциальная функция U гармонического поля а является решением дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как уже упоминали, гармонической.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Как найти угол между вектором и осью oz

Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz Как найти угол между вектором и осью oz

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

🔥 Видео

Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

Урок 9. Проекции вектора на координатные осиСкачать

Урок 9. Проекции вектора на координатные оси

11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

11 класс, 5 урок, Угол между векторами

Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать

Косинус угла между векторами.  Коллинеарность векторов

100 Угол между векторамиСкачать

100 Угол между векторами

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

найти угол между единичными векторамиСкачать

найти угол между единичными векторами

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Вектор перпендикулярен вектору Найти угол между векторамиСкачать

Вектор перпендикулярен вектору  Найти угол между векторами

9 класс, 17 урок, Угол между векторамиСкачать

9 класс, 17 урок, Угол между векторами

Векторные величины Проекция вектора на осьСкачать

Векторные величины  Проекция вектора на ось

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

#3 Как найти угол между векторами?Скачать

#3 Как найти угол между векторами?

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: