Как найти угол между вектором и осью oz (8 видео)

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Содержание

Нахождение угла между векторами
Теории поля с примерами решения и образцами выполнения
Скалярное поле
Производная по направлению
Векторное поле
Поток поля
Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса
Циркуляция поля
Ротор поля. Формула Стокса
Оператор Гамильтона
Векторные дифференциальные операции второго порядка
Некоторые свойства основных классов векторных полей
Соленоидальное поле
Потенциальное поле
Гармоническое поле
🔥 Видео

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Теории поля с примерами решения и образцами выполнения

Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы — все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.

Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U = U(M), говорят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция U(М) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воздуха, тела, …), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, …), электрического потенциала и т.д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д.

Если функция не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).

Далее будем рассматривать только стационарные поля.

Если V — область трехмерного пространства, то скалярное поле U можно рассматривать как функцию трех переменных х, у, z (координат точки М):

(Наряду с обозначениями используют запись — радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция U (М) зависит только от двух переменных, например х и у, то соответствующее скалярное поле U(х; у) называют плоским.

Аналогично: вектор , определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов

Вектор можно представить (разложив его по ортам координатных осей) в виде

где P(x;y;z), Q(x;y;z ), R(x;y;z) — проекции вектора на оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора равна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например,

Векторное поле называется однородным, если — постоянный вектор, т. е. Р, R и Q — постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь Р = О, Q — О, R = — mg, g — ускорение силы тяжести, m — масса точки.

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции (U(x;y;z) — определяющая скалярное поле, P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x; у; z) — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими частными производными.

Пример:

Функция определяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом R = 1; скалярное поле определено во всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на ней ).

Пример:

Найти поле линейной скорости материальной точки М, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью вокруг оси Oz (см. п. 7.4).

Решение:

Угловую скорость представим в виде вектора , лежащего на оси Oz, направленного вверх. Имеем:

Построим радиус-вектор точки М (см. рис. 267).

Численное значение линейной скорости (модуль), как известно из курса физики, равно , где р — расстояние вращающейся точки M(x;y,z) от оси вращения (оси Oz).Но — угол между вектором r и осью Oz). Следовательно,

Вектор скорости направлен в сторону вращения, совпадает с направлением векторного произведения векторы образуют правую тройку). Следовательно, т. е.

или

Поле линейных скоростей тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, есть плоское векторное поле.

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Скалярное поле

Поверхности и линии уровня:

Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией U = U(x,y,z). Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(М) принимает постоянное значение, т. е.

Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки координат точки в уравнение (70.1).

Для скалярного поля, образованного функцией

поверхностями уровня является множество концентрических сфер с центрами в начале координат: В частности, при с = 1 получим , т. е. сфера стягивается в точку.

Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.

В случае плоского поля U — U(х; у) равенство U(x; у) = с представляет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня —это линия на плоскости Оху, в точках которой функция U (х; у) сохраняет постоянное значение.

В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.

Линии уровня применяются в математике при исследовании поверхностей методом сечений (см. п. 12.9).

Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения поля U =U(М) в заданном направлении введем понятие «производной по направлению».

Возьмем в пространстве, где задано поле U = U(x;y;z), некоторую точку М и найдем скорость изменения функции U при движении точки М в произвольном направлении . Пусть вектор имеет начало в точке М и направляющие косинусы

Приращение функции U, возникающее при переходе от точки М к некоторой точке в направлении вектора определяется как

Производной от функции U = U(M) в точке М по направлению называется предел

Производная по направлению и характеризует скорость изменения функции (поля) в точке М по этому направлению. Если > 0, то функция U возрастает в направлении , если

где — бесконечно малые функции при (см. п. 44.3). Поскольку

Переходя к пределу при получим формулу для вычисления производной по направлению:

В случае плоского поля U = U(x;y) имеем:

Формула (70.2) принимает вид:

Замечание:

Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных Их можно рассматривать как производные от функции и по направлению координатных осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление совпадает с положительным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) получим

Пример:

Найти производную функции в точке М(0; 1; 2) в направлении от этой точки к точке
Решение:

Находим вектор и его направляющие косинусы:

Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке М:

Следовательно, по формуле (70.2) имеем:

Поскольку jj^- Градиент скалярного поля и его свойства

В каком направлении производная имеет наибольшее значение? Это направление указывает вектор, называемый градиентом скалярного поля.

Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет собой скалярное произведение единичного вектора

и некоторого вектора

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U(x,y,z) в точке M(x;y,z), называют градиентом функции и обозначают gradU, т. е.

Отметим, что grad U есть векторная величина. Говорят: скалярное поле U порождает векторное поле градиента U. Теперь равенство (70.2) можно записать в виде

где угол между вектором grad U и направлением (см. рис. 269).

Из формулы (70.3) сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда Таким образом, направление градиента совпадает с направлением А, вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна

В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свойстве градиента основано его широкое применение в математике и других дисциплинах.

Приведем важные свойства градиента функции.

1.Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня Но тогда из (70.3) следует, что

Доказываются эти свойства на основании определения градиента. Докажем, например, последнее свойство. Имеем:

Замечание. Приведенные свойства градиента функции остаются справедливыми и для плоского поля.

Пример:

Найти наибольшую скорость возрастания функции

Решение:

Наибольшая скорость возрастания функции равна

Отметим, что функция U будет убывать с наибольшей скоростью , если точка А движется в направлении (антиградиентное направление).

Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Векторное поле

Векторные линии поля:

Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором . Изучение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они являются простейшими геометрическими характеристиками поля.

Векторной линией поля называется линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора .

Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.

Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.

Изучение векторного поля обычно начинают с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля

описываются системой дифференциальных уравнений вида

Действительно, пусть PQ — векторная линия поля, — ее радиус-вектор. Тогда вектор направлен по касательной к линии PQ в точке М (см. рис. 270). В силу коллинеарности векторов следует пропорциональность их проекций, т. е. равенства (71.2).

Пример:

Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси Oz.

Решение:

Это поле определено вектором (см. пример 69.2). Согласно (71.2), имеем:

Интегрируя, получим: т. е. векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Поток поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядности будем считать вектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

Выберем определенную сторону поверхности S. Пусть — единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S. Разобьем поверхность на элементарные площадки Выберем в каждой площадке точку (см. рис. 271) и вычислим значения вектора скорости в каждой точке: ..

Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через протекает количество жидкости, приближенно равное — площадь i-й площадки,— высота i-гo цилиндра с образующей . Но Я, является проекцией вектора на нормаль — единичный вектор нормали к поверхности в точке . Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму

Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров площадок):

Независимо от физического смысла поля полученный интеграл называют потоком векторного поля.

Потоком вектора через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е.

Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как

где — проекция вектора а на направление нормали — дифференциал (элемент) площади поверхности.

Иногда формулу (71.3) записывают в виде

где вектор направлен по нормали к поверхности, причем

— проекции вектора на соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора , можно записать в виде

Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода (см. формулу (58.8)), поток вектора можно записать как

Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина. Величина К равна объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физического смысла поля).

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается в виде

В этом случае за направление вектора п обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности S (см. рис. 272).

Если векторное поле есть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вектором острый угол и в точках, где векторные линии входят в объем, ).

При этом если К > 0, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.

Если К

Пример:

Найти поток вектора через верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости Зх + 6у — 2z — 6 =0 с координатными плоскостями (см. рис. 274).

Решение:

Поток найдем методом проектирования на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем случае Р = z, Q = —х, R = у. Имеем:

Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью Оу — тупой, а с осью Oz — острый угол. (Единичный вектор данной плоскости есть на верхней стороне поэтому надо выбрать знак «минус»; получим:

Итак, Находим

В результате имеем:

Пример:

Найти поток радиус-вектора через внешнюю сторону поверхности прямого конуса, вершина которого совпадает с точкой O(0; 0;0), если известны радиус основания R и высота конуса H (см. рис. 275).

Решение:

Очевидно, что

т. к.

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

в точке М называется скаляр вида и обозначается символом , т. е.

Отметим некоторые свойства дивергенции.

Если — постоянный вектор, то
где с = const.
т. е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.
Если U — скалярная функция, — вектор, то

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4.

Так как то

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса

в так называемой векторной форме.

Рассматривал область V, ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть формулы (71.7) есть поток вектора через поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора . Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде

(в котором она чаще всего и встречается).

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V, ограниченному данной поверхностью.

Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля в точке М (не связанное с выбором координатных осей).

По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:

где — некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде Отсюда

Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда , и мы получаем выражение для в точке М:

Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку

Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6).

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что есть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при точка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, при точка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина характеризует мощность (интенсивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоит физический смысл дивергенции.

Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, нет ни источников, ни стоков, то

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. называется соленоидалъным (или трубчатым).

Пример:

Найти дивергенцию поля линейных скоростей жидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью .

Решение:

Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как показано ранее (см. пример 69.2), Имеем:

Поле — соленоидальное.

Циркуляция поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление.

Пусть — радиус-вектор точки М на контуре L. Известно, что вектор направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис. 276) и — дифференциал дуги кривой

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора на вектор , касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора а вдоль L, т. е.

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как

где — проекция вектора на касательную , проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство (71.10) можно записать в виде

Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция — это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль L (п.56.5).

Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак: положительный, если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный — в противном случае.

Пример:

Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей вращающегося тела (см. пример 69.2) вдоль замкнутой кривой L, лежащей в плоскости , перпендикулярной оси вращения.

Решение:

Будем считать, что направление нормали к плоскости совпадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (71.12), имеем:

где S — площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 56.17).

Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол с осью Oz, то циркуляция будет равна с изменением угла величина С изменяется.

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль периметра треугольника с вершинами A(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1) (см. рис. 277).

Решение:

Согласно формуле (71.12), имеем:

На отрезке AB: x + у = 1, z = 0, следовательно,

На отрезке ВС: у + z = 1, х = 0, следовательно,

На отрезке СА: х + z = 1, у = 0, следовательно,

Ротор поля. Формула Стокса

Ротором (или вихрем) векторного поля

называется вектор, обозначаемый и определяемый формулой

Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:

Отметим некоторые свойства ротора.

Если — постоянный вектор, то
т. е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.
Если U — скалярная функция, а — векторная, то

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3:

Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу Стокса:

Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора по контуру L, т. е. (см. (71.11)). Интеграл в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора через поверхность S, ограниченную контуром L (см. (71.3)), т. е.

Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде

Такое представление формулы Стокса называют ее векторной формой. В этой формуле положительное направление на контуре L и выбор стороны у поверхности S согласованы между собой так же, как в теореме Стокса.

Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через поверхность S, лежащую в поле вектора а и ограниченную контуром L (натянутую на контур) (см. рис. 278).

Используя формулу (71.14), можно дать другое определение ротора поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной системы.

Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки S с контуром L, содержащей точку М.

По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свойство 7) имеем:

где — некоторая (средняя) точка площадки S (см. рис. 279).

Тогда формулу (71.15) можно записать в виде

Пусть контур L стягивается в точку М. Тогда Перейдя к пределу, получаем:

Ротором вектора в точке М называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.

Как видно из определения, ротор вектора есть векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) , т. е. ротор вектора

По определению ротора

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

С точностью до числового множителя ротор поля скоростей представляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).

Замечание:

Из определения (71.13) ротора вытекает, что направление ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S.

Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).

Оператор Гамильтона

Векторные дифференциальные операции первого порядка:

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем U и векторным полем являются gradU, Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные).

Эти операции удобно записывать с помощью так называемого оператора Гамильтона

Этот символический вектор называют также оператором (читается «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора на скаляр U или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов на величины понимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

В частности, производная по направлению (70.2) может быть записана в виде

где

Векторные дифференциальные операции второго порядка

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка:

(Понятно, что операция например, не имеет смысла: — скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о бессмысленно.)

Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что оператор действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором.

Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции U и обозначается . Таким образом,

Дифференциальное уравнение Лапласа играет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

Замечание. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение скалярный оператор дельта:

(который тоже называют оператором Лапласа).

2. так как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

4. так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря — соленоидальное.

так как двойное векторное произведение обладает свойством

Здесь — векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к вектору .

Некоторые свойства основных классов векторных полей

Соленоидальное поле

Напомним, что векторное поле называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е.

Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.

Приведем некоторые свойства соленоидального поля.

В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и стоков.
Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т. е. если , то существует такое поле , что . Вектор называется векторным потенциалом поля.

Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения соленоидального поля.

Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное утверждение — поле ротора векторного поля есть соленоидальное — нами доказано (выше мы показали, что ).

3. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностью трубки).

Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями боковую поверхность трубки обозначим через S (см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из равен нулю. Следовательно,

где n — внешняя нормаль.

Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль п перпендикулярна к векторам поля, то и, следовательно,

Переменив направление нормали на площадке , т.е. взяв внутреннюю нормаль получим:

В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее.

Потенциальное поле

Векторное поле называется потенциальным (или безвихревым, или градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е. Примером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда (и другие).

Приведем основные свойства потенциального поля.

Свойство 1. Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно,

В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости равенство С = 0 означает, что в потоке нет замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.

Свойство 2. В потенциальном поле криволинейный интеграл вдоль любой кривой L с началом в точке и концом в точке зависит только от положения точек и не зависит от формы кривой.

Это свойство вытекает из свойства 1. Действительно, взяв в поле две точки соединим их двумя кривыми так, чтобы контур лежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1, имеем

Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:

Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x; y; z), т. е. если , то существует функция U (х; у; z) такая, что

Из равенства вытекает, что т. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом некоторой функции U = U(x;y;z) (следствие 56.1). Эту функцию называют потенциалом векторного поля

Отсюда: Следовательно,

т. е. вектор поля является градиентом скалярного поля.

Замечание. Из равенства rot grad U = 0 следует обратное утверждение — поле градиента скалярной функции U = U(x;y; z) является потенциальным.

Из равенства следует, что потенциальное поле определяется заданием одной скалярной функции U = U(x; у; z) — его потенциала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле

где — координаты фиксированной точки, (x;y;z) — координаты произвольной точки. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что grad (U + а) = grad U ).

Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций (P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y,z) — проекции вектора поля на оси координат).

Замечание. Определение потенциального поля может быть дано иначе — векторное поле называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля, т. е. . (Иногда пишут ; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания U: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее нагретому и т. д.)

Пример:

Установить потенциальность поля

и найти его потенциал.

Решение:

Следовательно, поле вектора потенциальное.

Найдем потенциал U по формуле (73.1), выбирая в качестве фиксированной точки начало координат, т. е. Так как

Гармоническое поле

Векторное поле называется гармоническим (или лапласовым), если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т. е. если

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Так как поле потенциально, то его можно записать в виде — потенциал поля.

Но так как поле одновременно и соленоидальное, то

или, что то же самое,

т. е. потенциальная функция U гармонического поля а является решением дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как уже упоминали, гармонической.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: