Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Как найти углы трапеции вписанной в окружностьКак найти углы трапеции вписанной в окружность
Рис.1Рис.2

Содержание
  1. Основные свойства трапеции
  2. Сторона трапеции
  3. Формулы определения длин сторон трапеции:
  4. Средняя линия трапеции
  5. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  6. Высота трапеции
  7. Формулы определения длины высоты трапеции:
  8. Диагонали трапеции
  9. Формулы определения длины диагоналей трапеции:
  10. Площадь трапеции
  11. Формулы определения площади трапеции:
  12. Периметр трапеции
  13. Формула определения периметра трапеции:
  14. Окружность описанная вокруг трапеции
  15. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  16. Окружность вписанная в трапецию
  17. Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
  18. Другие отрезки разносторонней трапеции
  19. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
  20. Трапеция. Свойства трапеции
  21. Свойства трапеции
  22. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  23. Вписанная окружность
  24. Площадь
  25. Узнать ещё
  26. Трапеция вписана в окружность
  27. 📽️ Видео

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Видео:Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основания

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
2 m2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =S
m

Видео:Окружность, вписанная в трапециюСкачать

Окружность, вписанная в трапецию

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =d 2 + ab —a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 =c 2 + ab —a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Видео:Трапеция в окружности. Задача Шаталова.Скачать

Трапеция в окружности. Задача Шаталова.

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =( a + b )· h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 d 2· sin γ=d 1 d 2· sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S =a + bc 2 —(( a — b ) 2 + c 2 — d 2)2
22( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =a + b√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |

где

p =a + b + c + d— полупериметр трапеции.
2

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Видео:Трапеция, вписанная в окружностьСкачать

Трапеция, вписанная в окружность

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =h
2

Видео:Найдите углы трапецииСкачать

Найдите углы трапеции

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:17)Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 61°.Найдите угол C этойСкачать

17)Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 61°.Найдите угол C этой

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Видео:Трапеция вписана в окружность. Найти радиус окружностиСкачать

Трапеция вписана в окружность.  Найти радиус окружности

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

3. Треугольники Как найти углы трапеции вписанной в окружностьи Как найти углы трапеции вписанной в окружность, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Отношение площадей этих треугольников есть Как найти углы трапеции вписанной в окружность.

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

4. Треугольники Как найти углы трапеции вписанной в окружностьи Как найти углы трапеции вписанной в окружность, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Видео:Трапеция. Задачи. Найти углы трапеции. Равнобедренной,прямоугольной,Скачать

Трапеция. Задачи. Найти углы трапеции. Равнобедренной,прямоугольной,

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Видео:Трапеция, вписанная в окружностьСкачать

Трапеция, вписанная в окружность

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Как найти углы трапеции вписанной в окружностьи она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Как найти углы трапеции вписанной в окружностьи Как найти углы трапеции вписанной в окружность, то Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Видео:Как найти стороны равнобокой трапеции, описанной около трёх попарно касающихся равных окружностей?Скачать

Как найти стороны равнобокой трапеции, описанной около трёх попарно касающихся равных окружностей?

Площадь

Как найти углы трапеции вписанной в окружностьили Как найти углы трапеции вписанной в окружностьгде Как найти углы трапеции вписанной в окружность– средняя линия

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Трапеция и вписанная окружность

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Трапеция вписана в окружность

Рассмотрим несколько направлений решения задач, в которых трапеция вписана в окружность.

Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

Как найти углы трапеции вписанной в окружностьЕсли диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Из треугольника ABC

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Другой вариант найти радиус описанной окружности —

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Как найти углы трапеции вписанной в окружностьПри решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Как найти углы трапеции вписанной в окружностьКстати, использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

Как найти углы трапеции вписанной в окружность

В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

📽️ Видео

Равнобедренная трапеция вписанная в окружность / 8 класс / ГеометрияСкачать

Равнобедренная трапеция вписанная в окружность / 8 класс / Геометрия

16 ЗАДАНИЕ ОГЭ ИЩЕМ УГОЛ А В ТРАПЕЦИИ ИЗ КРУГАСкачать

16 ЗАДАНИЕ ОГЭ ИЩЕМ УГОЛ А В ТРАПЕЦИИ ИЗ КРУГА

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: