Как найти центр окружности описанной около многоугольника

Как найти центр окружности описанной около многоугольника

Ключевые слова: многоугольник, правильный многоугольник, сторона, угол, вписанная, описанная окружность

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.

Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.

Как найти центр окружности описанной около многоугольника

Как найти центр окружности описанной около многоугольника
См. также:
Вписанная окружность, Описанная окружность, Выпуклый четырёхугольник, Произвольный выпуклый многоугольник

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Центр описанной окружности

Где находится центр описанной около треугольника окружности? Что можно сказать о центре окружности, описанной около многоугольника?

Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Как найти центр окружности описанной около многоугольника

окружность (O;R) — описанная около ∆ ABC.

O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ∆ ABC.

Как найти центр окружности описанной около многоугольникаСоединим отрезками точки O и A, O и C.

OA=OC (как радиусы), следовательно, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению).

Как найти центр окружности описанной около многоугольникаПо свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана, проведенные к основанию AC, совпадают):

Как найти центр окружности описанной около многоугольника

Следовательно, центр описанной окружности — точка O — лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину, то есть на серединном перпендикуляре к AC.

Как найти центр окружности описанной около многоугольникаАналогично доказывается, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB.

Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности.

Что и требовалось доказать.

Аналогичные рассуждения можно применить и для многоугольника, около которого можно описать окружность.

Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

2 Comments

на мой взгляд у вас опечатка — «Соединим отрезками точки O и A, O и C.

OA=OB( написано ОВ вместо ОС) (как радиусы), следовательно, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AC (по определению).»

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Как найти центр окружности описанной около многоугольника

Теорема

Как найти центр окружности описанной около многоугольника
Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Как найти центр окружности описанной около многоугольникаАВС.

Доказать: около Как найти центр окружности описанной около многоугольникаАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Как найти центр окружности описанной около многоугольникаАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Как найти центр окружности описанной около многоугольника

Точка О равноудалена от вершин Как найти центр окружности описанной около многоугольникаАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Как найти центр окружности описанной около многоугольникаАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Как найти центр окружности описанной около многоугольника

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Как найти центр окружности описанной около многоугольника

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВ = Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаАDС, Как найти центр окружности описанной около многоугольникаD = Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаАВС, откуда следует Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВ + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаD = Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаАDС + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаАВС = Как найти центр окружности описанной около многоугольника(Как найти центр окружности описанной около многоугольникаАDС + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Как найти центр окружности описанной около многоугольникаАDС + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаАВС = 360 0 , тогда Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВ + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаD = Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольника360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Как найти центр окружности описанной около многоугольникаBАD + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Как найти центр окружности описанной около многоугольника

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Как найти центр окружности описанной около многоугольника

Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВСDвнешний угол Как найти центр окружности описанной около многоугольникаСFD, следовательно, Как найти центр окружности описанной около многоугольникаBСD = Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВFD + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВFD = Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаВАD и Как найти центр окружности описанной около многоугольникаFDE = Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Как найти центр окружности описанной около многоугольникаBСD = Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаВАD + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаЕF = Как найти центр окружности описанной около многоугольника(Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВАD + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаЕF), следовательно, Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВСDКак найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаВАD.

Как найти центр окружности описанной около многоугольникаBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Как найти центр окружности описанной около многоугольникаBАD = Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаВЕD, тогда Как найти центр окружности описанной около многоугольникаBАD + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаBСDКак найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольника(Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВЕD + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВЕD + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВАD = 360 0 , тогда Как найти центр окружности описанной около многоугольникаBАD + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаBСDКак найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольника360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Как найти центр окружности описанной около многоугольникаBАD + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаBСDКак найти центр окружности описанной около многоугольника180 0 . Но это противоречит условию Как найти центр окружности описанной около многоугольникаBАD + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Как найти центр окружности описанной около многоугольника

По теореме о сумме углов треугольника в Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВСF: Как найти центр окружности описанной около многоугольникаС + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВ + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаF = 180 0 , откуда Как найти центр окружности описанной около многоугольникаС = 180 0 — ( Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВ + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаF). (2)

Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВ = Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаЕF. (3)

Как найти центр окружности описанной около многоугольникаF и Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВFD смежные, поэтому Как найти центр окружности описанной около многоугольникаF + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВFD = 180 0 , откуда Как найти центр окружности описанной около многоугольникаF = 180 0 — Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВFD = 180 0 — Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Как найти центр окружности описанной около многоугольникаС = 180 0 — (Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаЕF + 180 0 — Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаВАD) = 180 0 — Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаЕF — 180 0 + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаВАD = Как найти центр окружности описанной около многоугольника(Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВАDКак найти центр окружности описанной около многоугольникаЕF), следовательно, Как найти центр окружности описанной около многоугольникаСКак найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаВАD.

Как найти центр окружности описанной около многоугольникаА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Как найти центр окружности описанной около многоугольникаА = Как найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольникаВЕD, тогда Как найти центр окружности описанной около многоугольникаА + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаСКак найти центр окружности описанной около многоугольникаКак найти центр окружности описанной около многоугольника(Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВЕD + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаВАD). Но это противоречит условию Как найти центр окружности описанной около многоугольникаА + Как найти центр окружности описанной около многоугольникаС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

🎦 Видео

Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Центр окружности описанной вокруг треугольникаСкачать

Центр окружности описанной вокруг треугольника

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Описанная окружность 1. Центр окружности, описанной около треугольника.Скачать

Описанная окружность 1. Центр окружности, описанной около треугольника.

ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

110. Окружность, описанная около правильного многоугольника

Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #7

Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУСкачать

Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУ

№200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около мноСкачать

№200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около мно

Центр окружности, описанной около треуг ABC лежит на стороне AB Радиус равен 25 Найти AC если BC=48Скачать

Центр окружности, описанной около треуг ABC лежит на стороне AB Радиус равен 25 Найти AC если BC=48

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА АБС ЛЕЖИТ НА СТОРОНЕ АБ РАДИУС 14,5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА АБС ЛЕЖИТ НА СТОРОНЕ АБ РАДИУС 14,5

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: