Ключевые слова: многоугольник, правильный многоугольник, сторона, угол, вписанная, описанная окружность
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.
Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.
Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.
Около любого треугольника можно описать окружность. |
Доказательство
Дано: произвольный АВС.
Доказать: около АВС можно описать окружность.
Доказательство:
1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).
Точка О равноудалена от вершин АВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около
АВС. Теорема доказана.
Замечание 1
Около треугольника можно описать только одну окружность. |
Доказательство
Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.
Замечание 2
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. |
Доказательство
Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.
Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 . |
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).
Углы В и D — вписанные, тогда по теореме о вписанном угле: В =
АDС,
D =
АВС, откуда следует
В +
D =
АDС +
АВС =
(
АDС +
АВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е.
АDС +
АВС = 360 0 , тогда
В +
D =
360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.
Верно и обратное утверждение:
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность. |
Доказательство
Дано: четырехугольник АВСD, BАD +
BСD = 180 0 .
Доказать: около АВСD можно описать окружность.
Доказательство:
Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.
Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.
Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).
ВСD — внешний угол
СFD, следовательно,
BСD =
ВFD +
FDE. (1)
Углы ВFD и FDE — вписанные. По теореме о вписанном угле ВFD =
ВАD и
FDE =
ЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим:
BСD =
ВАD +
ЕF =
(
ВАD +
ЕF), следовательно,
ВСD
ВАD.
BАD — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле
BАD =
ВЕD, тогда
BАD +
BСD
(
ВЕD +
ВАD).
Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. ВЕD +
ВАD = 360 0 , тогда
BАD +
BСD
360 0 = 180 0 .
Итак, мы получили, что BАD +
BСD
180 0 . Но это противоречит условию
BАD +
BСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.
Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).
По теореме о сумме углов треугольника в ВСF:
С +
В +
F = 180 0 , откуда
С = 180 0 — (
В +
F). (2)
В — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле
В =
ЕF. (3)
F и
ВFD — смежные, поэтому
F +
ВFD = 180 0 , откуда
F = 180 0 —
ВFD = 180 0 —
ВАD. (4)
Подставим (3) и (4) в (2), получим:
С = 180 0 — (
ЕF + 180 0 —
ВАD) = 180 0 —
ЕF — 180 0 +
ВАD =
(
ВАD —
ЕF), следовательно,
С
ВАD.
А — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле
А =
ВЕD, тогда
А +
С
(
ВЕD +
ВАD). Но это противоречит условию
А +
С =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.
Примечание:
Окружность всегда можно описать:
Поделись с друзьями в социальных сетях:
🎦 Видео
Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать
ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать
Центр окружности описанной вокруг треугольникаСкачать
9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать
2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Описанная окружность 1. Центр окружности, описанной около треугольника.Скачать
ОГЭ 2020 задание 17Скачать
110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать
Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать
Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУСкачать
№200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около мноСкачать
Центр окружности, описанной около треуг ABC лежит на стороне AB Радиус равен 25 Найти AC если BC=48Скачать
ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА АБС ЛЕЖИТ НА СТОРОНЕ АБ РАДИУС 14,5Скачать
Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать