Как найти точку соприкосновения окружностей (4 видео)

Касание окружностей

Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей. Касание окружностей бывает внутренним и внешним.

Содержание

Внутреннее касание
Внешнее касание
Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.
Касание двух окружностей
🔍 Видео

Видео:Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностейСкачать

Внутреннее касание

Касание называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от точки касания окружностей. Построим две окружности, первая с центром A и радиусом AC, отметим на радиусе AC точку B, это будет центр второй окружности с радиусом BC:

Построенные окружности имеют только одну общую точку C. Говорят, что они касаются внутренним образом.

При внутреннем касании двух окружностей, расстояние между их центрами равно разности их радиусов.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Внешнее касание

Касание называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от точки касания. Построим две окружности, первая с центром A и радиусом AC, вторая с центром B и радиусом BC:

Построенные окружности имеют только одну общую точку C. Говорят, что они касаются внешним образом.

При внешнем касании двух окружностей, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

Видео:1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO₁).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O₁ имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO_1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO₁.

Опустим из A на прямую OO₁ перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA₁, равное AB. Докажем теперь, что точка A₁ принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O₁ лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA₁ через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A₁. То же можно сказать и о точке O₁. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A₁.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A₁ (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA₁) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O₁, радиусами R и R₁ и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R₁ .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R₁, так как точка касания лежит на линии центров O O₁.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R₁, потому что в треугольнике OAO₁ сторона OO₁ меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R₁, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO₁.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R₁, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R₁, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R₁, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R₁, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R₁. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Касание двух окружностей

Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.

Общая точка двух окружностей называется точкой касания окружностей.

Касание окружностей может быть внешним и внутренним.

Внешнее касание окружностей — это касание, при котором центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной.

Внутреннее касание окружностей — касание, при котором центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной.

Касающиеся окружности имеют только одну общую точку — точку касания.

Центры касающихся окружностей и их общая точка касания лежат на одной прямой.

При любом виде касания по свойству касательной касательная перпендикулярна радиусам, проведённым в точку касания:

По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку A можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой k.

Следовательно, все три точки: центры окружностей O1, O2 и A лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать .

При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов: