Условие
Найти точку, в которой касательная к кривой y = f(x) параллельна хорде, соединяющей точки A и B на этой кривой:
y = x^(2) — 4x, A(1;-3); B(5;5). Сделать поясняющий рисунок.
Все решения
Уравнение прямой АВ:
y=kx+b
Подставляем координаты точек А и В
-3=k*(1)+b
5=k*5+b
Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты
k
Значит, k ( касательной )=2
Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))= k ( касательной )
Уравнение касательной к кривой в точке (х_(о); у_о))
[b]y=2x-9[/b]- yравнение касательной к кривой в точке (3;-3)
Видео:ЕГЭ 2017 Профильный №7 найти точки, в которых касательная параллельна прямой #7Скачать
Уравнение касательной к графику функции
п.1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace_x+underbrace_ $$
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)
 | Пусть (f(x)=x^2+3). Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1). |
(f(x_0)=1^2+3=4 )
(f'(x)=2x )
(f'(x_0)=2cdot 1=2)
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: (y=2x+2)
п.3. Вертикальная касательная
Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).
Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]).
 | Пусть (f(x)=sqrt[5]+1). Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1). |
(f(x_0)=sqrt[5]+1=1)
(f'(x)=frac15(x-1)^+0=frac15(x-1)^=frac<5(x-1)^> )
(f'(x_0)=frac<5(1-1)^>=frac10=+infty)
В точке (x_0) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: (x=1)
Ответ: (y=2x+2)
п.4. Примеры
Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.
 | Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin x=0\ x=-2 end right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке (x_0=0): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end Касательная в точке (x_0=-2): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end |
б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
 | Общее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4) По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac end Уравнение касательной: begin y=1cdotleft(x+frac34right)-frac=x-frac98 end |
в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.
 | Найдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end Точка касания (x_0=-frac32) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end Уравнение касательной: begin y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end Или, в каноническом виде: begin 2x+y+frac92=0 end |
г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.
 | У горизонтальной прямой (k=0). Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end Точка касания (x_0=-1) begin f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end Уравнение касательной: begin y=0cdot(x+1)-2=-2 end |
Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)
Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.
Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac=-frac) begin f'(x)=left(fracright)’-x’=frac-1=frac=\ =frac=- frac end В точке касания: begin f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac=-fracRightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin x=-14\ x=8 end right. end 
Уравнение касательной при (x_0=-14) begin f(x_0)=frac+14=frac+14=-18+14=-4\ y=-frac(x+14)-4=-frac end Уравнение касательной при (x_0=8) begin f(x_0)=frac-8=frac-8=-2\ y=-frac(x-8)-2=-frac end
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac)
и точка касания (8;-2), уравнение (-frac)
Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.
Найдем производные функций: begin f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b — для второй.
Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin begin 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end Rightarrow begin 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end Rightarrow begin a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end Rightarrow begin a-b=3\ a+b=frac53 end Rightarrow \ Rightarrow begin 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end Rightarrow begin a=frac73\ b=-frac23 end end Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$ 
Точки касания: begin a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac-frac+6=frac=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac=frac79 end
Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))
Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.
Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac<-3pmsqrt> end Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, (xinvarnothing) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.
Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin x=0\ 2x^2+3=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x^2=-frac32 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ xinvarnothing end right. Rightarrow x=0 end Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)
 | Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: (y=2x) и (y=2x-1). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0). |
Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac=-0,2 end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt=0,2sqrt=frac<sqrt>)
Ответ: (frac<sqrt>)
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать
Тестовые задания по теме: «Касательная к графику функции»
Разделы: Математика
При изучении темы “Касательная к графику функции” можно выделить 5 типов задач.
I. Задачи на составление уравнения касательной к графику функции в точке, принадлежащей графику
Обучение решению задач на касательную осуществляется при помощи алгоритма.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х
: y = f(х
) + f ‘(х
)(x – х)
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):
1. Обозначить х абсциссу точки касания.
2. Найти f(х)
3. Найти f ‘(x) и f ‘(х) 4. Подставить найденные числа х, f(х), f ‘(х) в общее уравнение касательной
Задача. Составьте уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой х=3.
1. х = 3 – абсцисса точки касания.
3. f ‘(x) = x 2 – 4, f ‘(3) = 5. 4.Подставив в уравнение касательной значения х=3, f(х)=-2, f ‘(х
)=5, получим y = – 2 + 5(x – 3), т.е. y = 5x – 17. Это и есть искомое уравнение касательной. Ответ: y = 5x-17.
Найти уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой х.
1. f(x)=-x -4x+2, х=-1. | 1) y=-2x-3; | 2) y=2x-1; | 3) y=-2x+3; | 4) y=2x+3. |
| 2. f(x)=-x+6x+8, х=-2. | 1) y=2x-6; | 2 )y=10x+12; | 3) y=4x+8; | 4) y=-10x+8. |
3. f(x)=x +5x+5, х=-1. | 1) y=7x+8; | 2) y=8x+7; | 3) y=9x+8; | 4) y=8x+6. |
4. f(x)=2cosx, х=  | 1) y= | 2) y= | 3) y= | 4) y= |
5. f(x)=tgx, х=  1) y=x; | 2) y=x+ | 3) y=x- | 4) y=x-1. | |
| 6. f(x)=1-sin2x, х=0. | 1) y=1-2x; | 2) y=2x; | 3) y = -2x; | 4) y=2x+1. |
7. f(x)=  х=-2. | 1) y = -x+1; 2) y = x+1; | 3) y = -x-1; | 4) y = -x-2. |
8. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=lnx в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x-2; 2) y = x-1; 3) y = x+1; 4) y = x.
9. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=e
-1 в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x; 2) y = 3x-1; 3) y = x-1; 4) y = x.
10. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=sin(x-
)+1 в точке его пересечения с осью ординат, имеет вид. 1) y = x+1; 2) y = x-1; 3) y =- x-1; 4) y =1- x.
Ответы к упражнениям
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Номер ответа 3 2 2 2 3 1 3 2 4 4
II. Проведение касательной параллельно заданной прямой
Задача 1. В каких точках касательные к кривой у=
— х
— х+1 параллельны прямой y=2x-1?
Решение. Так как касательные параллельны прямой у=2х-1 то их угловые коэффициенты совпадают. Т. е. угловой коэффициент касательной в этой точке есть к = 2 .
Находим у’ = х-2х-1; к= у'(х)= х-2х-1=2.
Решив уравнение х-2х-1=2; х-2х-3=0, получим (х)
=3, (х)
=-1, откуда (у)= -2, (у)
= 
. Итак, искомыми точками касания являются А(3;-2) и В(-1;
)
Ответ: (3;-2) и (-1;).
Задача 2. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) = 2x-lnx, параллельна прямой у = х.
Решение. Пусть х
— абсцисса точки касания. Угловой коэффициент касательной в этой точке есть к=1. Находим f ‘(x)=2-
. К= f ‘ (х)=2-
=1.
Решив уравнение 2-
=1, получим х=1.
Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у(х).
1. f(x)= х+е , у(х)= -х. | 1) — ; 2) 0; 3)  ; 4) 1. |
2. f(x)=2 +х, у(х)= 2х. | 1) 1; 2) 4; 3) 0; 4)  . |
3. f(x)=х -5х, у(х)= -х. | 1) -2; 2) 3; 3) -3; 4) 2. |
| 4. f(x)=2lnх-x, у(х)= 0. | 1) -2; 2) 0; 3) 2; 4) 1. |
5. f(x)=-х-е , у(х)= 4-2х. | 1) 3; 2) 2; 3) 0; 4) –2. |
6. Найти сумму абсцисс точек, в которых касательные к графику функции у=х
— 3х+1 параллельны оси абсцисс. 1) 0; 2) 2; 3) 1; 4) –2.
7. Найти сумму абсцисс точек в которых касательные к кривой у= 
параллельны прямой у=х+5. 1) –2; 2) 4; 3) 2; 4) –4.
8. К графику функции у = 
проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х= -1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 1) –2; 2) 2; 3) 1; 4) –3.
9. К графику функции у =- 
проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х= 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 1) –1; 2) 5; 3) 2; 4) –3.
10. На графике функции у = х (х-4) указать точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс. Найти сумму абсцисс данных точек. 1) 5; 2) 4; 3) 3; 4) – 27.
Ответы к упражнениям
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Номер ответа 2 1 4 2 2 1 4 3 2 1
III. Задачи на касательную, связанные с ее угловым коэффициентом
Задача 1. К графику функции f(x) = 3x+5x-15 в точке с абсциссой x= 
проведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох.
f'(x) является угловым коэффициентом касательной к графику функции у =f(x) в точке x. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси Ох.
k= f ‘(x)=tg
, где x— абсцисса точки касания, а — угол наклона касательной к оси Ох.
f ‘(x)= f ‘(
)=6. tg=6.
Задача 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0.
Решение. f ‘(x)= x-3. Из условия f ‘(x) = tg 45° найдем x: x – 3 = 1, x= 4.
1. x= 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной
Задача 3. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=xlnx в точке x=1.
Решение. k= f'(x)=tg.
Находим f ‘(x)= 2xlnx+x
=2xlnx+x=x(2lnx+1).
При x=1 получим f ‘(1)=1, откуда tg
=1 и, значит, =
.
Ответ: .
К графику функции f(x) в точке с абсциссой x проведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох если:
1. f(x)= 2+x-2x , x=1. | 1) -1; 2) –7; 3) 3; 4) 0. |
2. f(x)=  , x=8. | 1) 1; 2) 32; 3) 8; 4) 16. |
| 3. f(x)= 5x-3x-7, x=-1. | 1) 21; 2) 14; 3) 9; 4) -21. |
| 4. f(x)= 3x-2lnx, x=2. | 1) 10; 2) 8; 3) 11; 4) 11,5. |
5. f(x)=  -x+14, x=1. | 1) -51; 2) –65; 3) 63; 4) 77. |
Найти угловой коэффициент касательной проведённой к графику функции f(x) в точке x
| 6. f(x)=e-x, x=1. | 1) e-2; 2) –1; 3) e-1; 4) –2. |
| 7. f(x)=2sinx+2, x=0. | 1) -2; 2) 0; 3) 4; 4) 2. |
8. f(x)=4cosx-1, x= . | 1) 4; 2) 2; 3) -2; 4) 1. |
| 9. f(x)=2+3, x=4. | 1) 3,5; 2) 0,5; 3) 7; 4) 2,5. |
10. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=3lnx — x, в точке x=1. 1) 
2) 
3) arctg2; 4) 
Ответы к упражнениям
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Номер ответа 2 3 1 3 2 1 4 3 2 4
IV. Нахождение касательной проходящей через точку, внешнюю по отношению к заданному графику
Задача 1. Составить уравнения касательных к кривой y = x— 4x+3, проходящих через точку М(2;-5).
При х =2, находим у = 4-8+3=-1
-5, то есть точка М не лежит на кривой y = x-4x+3 и не является точкой касания.
Пусть (х
) – точка касания.
у ‘ =2х-4, k = 2x— 4. Составим уравнение касательной, проходящей через точку М:
у=-5-(2х-4)(2-х). Поскольку точка (х) лежит на кривой, получим y = x
-4x+3.
Решим уравнение x-4x+3 = -5-(2х-4)(2-х);
x
-4x+3=2x-8x+3, x— 4x=0, (х)=0, (х)= 4.
Таким образом, получили две точки касания А(0;3) и В(4;3). Итак, существуют две касательные к данной кривой; одна из них имеет угловой коэффициент k= -4 (при х=0) и уравнение у = -4х+3, а другая – угловой коэффициент k
=4 (при х=4) и уравнение у=4х-13.
Ответ: у =-4х+3, у = 4х-13.
Через точку М(х;у) проведены две касательные к графику функции f(x). Найти сумму абсцисс точек касания.
| 1. f(x)=4х-8х-2, М(3;-90). | 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3. |
2. f(x)=7х -2х-5, М(2;-93). | 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3. |
3. f(x)=6х -4х-1, М(1;-23). | 1) 1; 2) 5; 3) 2; 4) 3. |
| 4. f(x)=х-8х-2, М(1,5;-54). | 1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 3. |
| 5. f(x)=х-9х-5, М(-1,5;4,5). | 1) -2; 2) -5; 3) 2; 4) — 3. |
| 6. f(x)=7х-7х-1, М(2;-50). | 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3. |
7. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= х— 4х + 5, если эта касательная проходит через точку А(0;4) и абсцисса точки касания положительна.
1) у = 2х+4; 2) у = -2х+4; 3) у = -4х+4; 4) у = 4х-3.
8. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= х+ 3х + 5, если эта касательная проходит через точку А(0;1) и абсцисса точки касания отрицательна.
1) у = 2х+1; 2) у = х+1; 3) у = -х+1; 4) у = -2х-5.
9. Напишите уравнения касательных к графику функции f(x)= -0,5 х+3, если эта касательные проходят через точку на оси Оу и образуют между собой угол 90 o ?.
1) у = х+3,5 и у = х-3,5 ; 2) у = -х+3,5 и у = х+3,5; 3) у = -х+4 и у =х+4; 4) у = -х+3 и у =х+3.
10. Через точку В(-2;3) проходят касательные к графику функции у=
. Найти уравнения этих касательных.
1) у = 2х+2 и у = -22х+2; 2) у =-х+3 и у = х-3; 3)у =-0,5х+2 и у =х+4; 4)у =-0,5х+2 и у =-0,1х+2,8.
Ответы к упражнениям
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Номер ответа 2 1 3 4 4 1 2 4 2 4
V. Нестандартные задачи, связанные с касательной
1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x 2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3. Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.
2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x 2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)? Ответ: a = 0,5.
3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x 2 – 4x – 2? Ответ: p1 = – 10, p2 = 2.
4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x 3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16). Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).
5. На кривой y = x 2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0. Ответ: M(2; 3).
6. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж. Ответ: y = 2x – 4.
7. На параболе y = x 2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.
Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.
8. Найдите угол 
между касательными к графику функции y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1. Ответ: 
= 45°.
9. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5. Ответ: y = – 3x и y = x.
10. Определите, под какими углами парабола y = x 2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.
Ответ: 1 = arctg 6, 2 = arctg (– 6).
11. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x 2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N. Ответ: K(1; – 9).
12. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x 3 – 3x + 15? Ответ: – 1; 31.
13. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x 2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.
14. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?
💥 Видео
Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y=x^2+7x-7. Найдите абсциссу точки касания.Скачать
10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать
Задание 7 ЕГЭ по математикеСкачать
Как найти сумму ординат точек, в которых касательные параллельны прямой. Производная на ЕГЭ. Часть 6Скачать
№ 40130 РешуЕгэ найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна прямойСкачать
Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать
Касательная параллельна прямой 7 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать
Дан график производной Найти абсциссу точки в которой касательная к графику функции парал-на оси ХСкачать
Касательная к графику функции в точке. 10 класс.Скачать
Уравнение касательной, параллельной заданной прямой.Скачать
ЕГЭ 2017 Профильный №7 касательная к графику параллельна прямой #7Скачать
Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции y=x^2+6x-8 Найдите абсциссу точки касания.Скачать
Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать
Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном видеСкачать
Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать
14.1. Касательная к параметрически заданной функцииСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Задача 7 ЕГЭ по математике #2Скачать
