Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

Треугольник вписанный в окружность

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

Найдите сторону треугольника на рисунке

Треугольник. Соотношения между сторонами треугольника и радиусами вписанного и описанного кругов.

По двум сторонам a и b треугольника ABC и радиусу R описанного круга вычислить третью сторону x треугольника.

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

Применяя к этому четырехугольнику теорему Птоломея будем иметь:

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

откуда легко найдем x .

Задача будет иметь другое решение, если предположим, что стороны a и b лежат по одну сторону от центра. Применяя к этому случаю теорему Птоломея, мы получим следующее уравнение:

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

Теорема.

Произведение двух сторон треугольника равно:

1. произведению диаметра описанного круга на высоту, проведенную к третьей стороне.

2. квадрату биссектрисы угла, заключенного между этими сторонами, сложенному с произведением отрезков третьей стороны.

1.Обозначим стороны треугольника ABC через a, b и с, высоту, опущенную на сторону a через ha , а радиус описанного круга через R.Проведем диаметр AD и соединим D с B.

Треугольники ABD и AEC подобны, потому что углы B и E прямые и D= С , как углы вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Из этой формулы легко определить величину радиуса R описанного круга.

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

По первой теореме мы имеем: bс = 2Rha , где b и с есть две стороны треугольника, haвысота, опущенная на третью сторону треугольника, и Rрадиус описанного круга.

Из этого равенства выводим:

Исключим из этой формулы высоту ha: для этого умножим числитель и знаменатель дроби на a. Тогда, заменив произведение ha a удвоенной площадью треугольника (которую обозначим S), получим:

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность,

Чтобы найти радиус r внутреннего вписанного круга рассмотрим треугольник АВС со вписанной в него окружностью. Отметим центр вписанной окружности и примем во внимание, что прямые OA, OB и разделяют данный треугольник на три других треугольника, у которых основаниями служат стороны данного треугольника, а высотой — радиус r.

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

Поэтому: S=1/2ar + 1/2br + 1/2cr = r ½ (a+b+c) = rp.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Видео:Найдите третью сторону треугольникаСкачать

Найдите третью сторону треугольника

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность
Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность
Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность
Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность(1)
Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружностьНайти Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружностьКак найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.
Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружностьКак найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.
Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность, Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.

И, наконец, находим угол C:

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружностьКак найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

Видео:Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.
Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.

Далее, из формулы

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.
Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружностьи Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность,
Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружностьКак найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружностьКак найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.

Из формулы (3) найдем cosA:

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружностьКак найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность
Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружностьКак найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность, Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.
Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность, Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружностьи углы Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружностьКак найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность
Как найти сторону треугольника по двум сторонам вписанного в окружность

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

🎥 Видео

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Вписанная окружность в равностороннем треугольникеСкачать

Вписанная окружность  в равностороннем треугольнике

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи
Поделиться или сохранить к себе: