Как найти сторону ромба в который вписана окружность (6 видео)

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба


Рис.1	Рис.2

Содержание

Признаки ромба
Основные свойства ромба
Сторона ромба
Формулы определения длины стороны ромба:
Диагонали ромба
Формулы определения длины диагонали ромба:
Периметр ромба
Формула определения длины периметра ромба:
Площадь ромба
Формулы определения площади ромба:
Окружность вписанная в ромб
Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:
Вписанная в ромб окружность
Радиус и сторона ромба
Свойства
🔥 Видео

Видео:Задача 6 №27914 ЕГЭ по математике. Урок 132Скачать

Признаки ромба

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

AC 2 + BD 2 = 4AB 2

Видео:№493. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.Скачать

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

a =	S
	h_a

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

a =	√ S
	√ sinα

a =	√ S
	√ sinβ

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

a =	S
	2 r

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

a =	√ d ₁ 2 + d ₂ 2
	2

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

a =	d ₁
	√ 2 + 2 cosα

a =	d ₂
	√ 2 — 2 cosβ

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

a =	d ₁
	2 cos ( α /2)

a =	d ₁
	2 sin ( β /2)

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

a =	d ₂
	2 cos ( β /2)

a =	d ₂
	2 sin ( α /2)

8. Формула стороны ромба через периметр:

a =	Р
	4

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

d ₁ = a √ 2 + 2 · cosα

d ₁ = a √ 2 — 2 · cosβ

d ₂ = a √ 2 + 2 · cosβ

d ₂ = a √ 2 — 2 · cosα

d ₁ = 2 a · cos ( α /2)

d ₁ = 2 a · sin ( β /2)

d ₂ = 2 a · sin ( α /2)

d ₂ = 2 a · cos ( β /2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

d ₁ =	2S
	d ₂

d ₂ =	2S
	d ₁

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

d ₁ =	2 r
	sin ( α /2)

d ₂ =	2 r
	sin ( β /2)

Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Периметр ромба

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

4. Формула площади ромба через две диагонали:

S =	1	d ₁ d ₂
	2

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

S =	4 r 2
	sinα

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

S =	1	d ₁ 2 · tg ( α /2)
	2

S =	1	d ₂ 2 · tg ( β /2)
	2

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

r =	h
	2

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

r =	S
	2 a

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

r =	√ S · sinα
	2

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

r =	a · sinα
	2

r =	a · sinβ
	2

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

r =	d ₁ · sin ( α /2)
	2

r =	d ₂ · sin ( β /2)
	2

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

r =	d ₁ · d ₂
	2√ d ₁ 2 + d ₂ 2

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

r =	d ₁ · d ₂
	4 a

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Как найти сторону квадрата в который вписаны 2 окружностиСкачать

Вписанная в ромб окружность

Какими свойствами обладает вписанная в ромб окружность? Как найти её радиус?

Центр вписанной в ромб окружности — точка пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по общей формуле

где S — площадь ромба, p — его полупериметр.

Так как полупериметр ромба равен p=2a, где a — сторона ромба, эту формулу можно записать как

С учётом формул для нахождения площади ромба:

где α — угол ромба (причем α может быть как острым, так и тупым).

где d1и d2 — диагонали ромба.

Таким образом, еще две формулы радиуса вписанной в ромб окружности:

Так как диаметр вписанной окружности равен высоте ромба, радиус равен половине высоты ромба:

Если известно, что точка касания вписанной окружности делит сторону ромба на отрезки, то радиус можно выразить через длины этих отрезков.

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне, то по свойству высоты прямоугольного треугольника из треугольника AOD имеем

Следовательно, радиус вписанной в ромб окружности есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делит сторону точка касания:

Видео:В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону.Скачать

Радиус и сторона ромба

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Свойства

В ромбе радиус вписанной окружности связан непосредственно со стороной через синус угла α. Сам радиус по определению представляет собой половину высоты ромба, которая равна стороне ромба, умноженной на синус угла α из образованного прямоугольного треугольника. (рис.115.1) sin⁡α=2r/a

Высота в таком случае получается равна двум радиусам, а площадь- двум радиусам, умноженным на сторону ромба. h=2r S=2ar

Периметр ромба остается неизменно равным четырем его сторонам. P=4a

Угол β можно найти через полученный синус, который дает два значения – острого угла α, и тупого угла α+90˚. Диагонали ромба рассчитываются по теореме косинусов из равнобедренных треугольников, как квадратный корень из удвоенной суммы или разности (в зависимости от угла, противолежащего диагонали) квадрата стороны и его произведения на косинус угла. d_1=√(2(a^2-cos⁡α ) ) d_1=√(2(a^2+cos⁡α))