Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Решение №281 Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 28. Найдите длину её средней линии.

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 28. Найдите длину её средней линии.

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Дано:

P ABCD = 28 ;

MK – средняя линия;

Найти: MK .

Решение:

Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.

То, зная P ABCD , найдём сумму оснований DC и АВ:

P ABCD = DC + AB + DA + CB ;

P ABCD = 2•(DC + AB) = 28 ;

DC + AB = 28 / 2 = 14 ;

Средняя линия равна:

MK = (DC + AB) / 2 = 14 / 2 = 7 ;

Ответ: 7.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 1

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.

Содержание
  1. Как найти периметр трапеции со вписанной окружностью
  2. Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
  3. Основные свойства трапеции
  4. Сторона трапеции
  5. Формулы определения длин сторон трапеции:
  6. Средняя линия трапеции
  7. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  8. Высота трапеции
  9. Формулы определения длины высоты трапеции:
  10. Диагонали трапеции
  11. Формулы определения длины диагоналей трапеции:
  12. Площадь трапеции
  13. Формулы определения площади трапеции:
  14. Периметр трапеции
  15. Формула определения периметра трапеции:
  16. Окружность описанная вокруг трапеции
  17. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  18. Окружность вписанная в трапецию
  19. Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
  20. Другие отрезки разносторонней трапеции
  21. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
  22. Трапеция. Свойства трапеции
  23. Свойства трапеции
  24. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  25. Вписанная окружность
  26. Площадь
  27. Периметр трапеции
  28. Найти периметр трапеции в задачах ЕГЭ
  29. Задача 1
  30. Задача 2
  31. Задача 3
  32. Задача 4
  33. Задача 5
  34. Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
  35. Основные свойства трапеции
  36. Сторона трапеции
  37. Формулы определения длин сторон трапеции:
  38. Средняя линия трапеции
  39. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  40. Высота трапеции
  41. Формулы определения длины высоты трапеции:
  42. Диагонали трапеции
  43. Формулы определения длины диагоналей трапеции:
  44. Площадь трапеции
  45. Формулы определения площади трапеции:
  46. Периметр трапеции
  47. Формула определения периметра трапеции:
  48. Окружность описанная вокруг трапеции
  49. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  50. Окружность вписанная в трапецию
  51. Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
  52. Другие отрезки разносторонней трапеции
  53. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

Видео:ЕГЭ математика 2023 Вариант 2 задача 1Скачать

ЕГЭ математика 2023  Вариант 2 задача 1

Как найти периметр трапеции со вписанной окружностью

Видео:Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.Скачать

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружностиКак найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности
Рис.1Рис.2

Видео:СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ #математика #егэ #shorts #профильныйегэСкачать

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ  #математика #егэ  #shorts #профильныйегэ

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Видео:Трапеция, вписанная в окружностьСкачать

Трапеция, вписанная в окружность

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Видео:2116 около окружности описана трапеция периметр которой равен 120 Найдите её среднюю линиюСкачать

2116 около окружности описана трапеция периметр которой равен 120 Найдите её среднюю линию

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Видео:№793. Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а периметр равен 48 см. Найдите среднюю линиюСкачать

№793. Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а периметр равен 48 см. Найдите среднюю линию

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
2 m2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =S
m

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =d 2 + ab —a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 =c 2 + ab —a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Видео:2113 Боковые стороны трапеции описанной около окружности равны 16 и 3 Найдите среднюю линию трапецииСкачать

2113 Боковые стороны трапеции описанной около окружности равны 16 и 3 Найдите среднюю линию трапеции

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =( a + b )· h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 d 2· sin γ=d 1 d 2· sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S =a + bc 2 —(( a — b ) 2 + c 2 — d 2)2
22( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =a + b√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |
p =a + b + c + d— полупериметр трапеции.
2

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Видео:Около трапеции описана окружностьСкачать

Около трапеции описана окружность

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)
p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =h
2

Видео:8 класс, 49 урок, Средняя линия трапецииСкачать

8 класс, 49 урок, Средняя линия трапеции

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:1 задание ЕГЭ по математике. Самые сложные задачи планиметрииСкачать

1 задание ЕГЭ по математике. Самые сложные задачи планиметрии

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Видео:СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ. ТРАПЕЦИЯ. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. Контрольная № 2 Геометрия 8 классСкачать

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ. ТРАПЕЦИЯ. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. Контрольная № 2 Геометрия 8 класс

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

3. Треугольники Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружностии Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Отношение площадей этих треугольников есть Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности.

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

4. Треугольники Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружностии Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Видео:Найти среднюю линию трапеции, зная большее основаниеСкачать

Найти среднюю линию трапеции, зная большее основание

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Видео:Как найти СРЕДНЮЮ ЛИНИЮ трапеции по БОКОВЫМ сторонам?Скачать

Как найти СРЕДНЮЮ ЛИНИЮ трапеции по БОКОВЫМ сторонам?

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружностии она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружностии Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности, то Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Видео:Средняя линия трапеции 📌 #математика #огэматематика #огэ #семенСкачать

Средняя линия трапеции 📌 #математика #огэматематика #огэ #семен

Площадь

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружностиили Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружностигде Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности– средняя линия

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ ЗА 30 МИНУТСкачать

ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ ЗА 30 МИНУТ

Периметр трапеции

Периметр трапеции часто нужно определить в задачах по геометрии. Периметр трапеции определяется также как и периметр любой другой фигуры на плоскости:

Периметр плоской фигуры — есть сумма всех сторон фигуры.

Чему равен периметр равнобедренной трапеции — то же самое — сумме всех ее сторон.

Видео:найти основание трапеции, средняя линия трапецииСкачать

найти основание трапеции, средняя линия трапеции

Найти периметр трапеции в задачах ЕГЭ

В задачах ЕГЭ вы найдете периметр трапеции. Например,

Задача 1

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 60. Найдите длину ее средней линии.

Решение:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противолежащих сторон равны:

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Где PABCD — периметр трапеции. В самом деле PABCD =AD+CB+DC+AB=2(DC+AB), а значит, DC+AB=PABCD /2

Средняя линия трапеции — это полусумма ее оснований, то есть MN=(DC+AB)/2=(PABCD /2)/2=PABCD /4 = 60/4=15 .

Ответ: 15.

Задача 2

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 44. Найдите длину ее средней линии.

Решение. Рассуждаем аналогично и получаем MN=(DC+AB)/2=(PABCD /2)/2=PABCD /4 = 44/4=11.

Ответ: 11.

То есть мы сами с вами вывели лайфхак для решения этой задачи:

И обратный лайфхак:

Применим наш лайфхак 1 к решению следующей задачи?

Задача 3

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 30. Найдите длину ее средней линии.

Ответ: 7,5.

Задача 4

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 37, найдите радиус окружности.

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Решение. Периметр трапеции равен: АD+DC+CB+AB=PABCD (1)

В трапецию можно вписать окружность, если суммы длин противоположных сторон равны. То есть, имеем: AD+CB=DC+AB (2)

С учетом (2) равенство (1) можно записать в виде: 2(АD+CB)=PABCD (3)

Теперь давайте посмотрим на вот такой рисунок:

Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности

Видно, что сторона AD=2R, где R — радиус окружности.

Тогда, AD+CB=2R+37, тогда равенство (3): 2(2R+37)=100.

Решаем уравнение, относительно R:

Ответ: 6,5

Задача 5

Из сборника ЕГЭ по математике профильный уровень 2020 год вариант 19 задание 6.
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 28. Найдите длину ее средней линии.
Решение: пользуясь лайфхаком, который мы вывели выше, вычисляем длину средней линии трепеции: делим периметр трапеции на 4.
Получаем 28:4=7
Ответ: 7.

Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Трапеция и вписанная окружность

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Как найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружностиКак найти среднюю линию трапеции через периметр вписанной окружности
Рис.1Рис.2

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
2 m2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =S
m

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =d 2 + ab —a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 =c 2 + ab —a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =( a + b )· h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 d 2· sin γ=d 1 d 2· sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S =a + bc 2 —(( a — b ) 2 + c 2 — d 2)2
22( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =a + b√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |

где

p =a + b + c + d— полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =h
2

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: