Как найти собственный вектор матрицы 3х3

Собственные векторы матрицы

Онлайн калькулятор нахождение собственных чисел и собственных векторов — Собственный вектор — понятие в линейной алгебре, определяемое для квадратной матрицы или произвольного линейного преобразования как вектор, умножение матрицы на который или применение к которому преобразования даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение, называемое собственным числом матрицы или линейного преобразования.

Данный калькулятор поможет найти собственные числа и векторы, используя характеристическое уравнение.

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)

Математический портал

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Собственные векторы и собственные значения матрицы
  • Вы здесь:
  • HomeКак найти собственный вектор матрицы 3х3
  • Векторная алгебра.Как найти собственный вектор матрицы 3х3
  • Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения

Как найти собственный вектор матрицы 3х3Как найти собственный вектор матрицы 3х3Как найти собственный вектор матрицы 3х3Как найти собственный вектор матрицы 3х3Как найти собственный вектор матрицы 3х3

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть число $lambda$ и вектор $xin L, xneq 0$ таковы, что $$Ax=lambda x.qquadqquadqquadqquadqquad(1)$$ Тогда число $lambda$ называется собственным числом линейного оператора $A,$ а вектор $x$ собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу $lambda.$

В конечномерном пространстве $L_n$ векторное равенство (1) эквивалентно матричному равенству $$(A-lambda E)X=0,,,,, Xneq 0.qquadqquadquadquad (2)$$

Отсюда следует, что число $lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда детерминант $det(A-lambda E)=0,$ т. е. $lambda$ есть корень многочлена $p(lambda)=det(A-lambda E),$ называемого характеристическим многочленом оператора $A.$ Столбец координат $X$ любого собственного вектора соответствующего собственному числу $lambda$ есть нетривиальное решение однородной системы (2).

Примеры.

Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

Решение.

Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число $lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда $det(A-lambda E)=0.$ Запишем характеристическое уравнение:

$$det(A-lambda E)=begin2-lambda&-1&2\5&-3-lambda&3\-1&0&-2-lambdaend=$$ $$=(2-lambda)(-3-lambda)(-2-lambda)+3+2(-3-lambda)+5(-2-lambda)=$$ $$=-lambda^3-3lambda^2+4lambda+12+3-6-2lambda-10-5lambda=-lambda^3-3lambda^2-3lambda-1=0.$$

Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа.

$$lambda^3+3lambda^2+3lambda+1=(lambda^3+1)+3lambda(lambda+1)=$$ $$=(lambda+1)(lambda^2-lambda+1)+3lambda(lambda+1)=(lambda+1)(lambda^2-lambda+1+3lambda)=$$ $$=(lambda+1)(lambda^2+2lambda+1)=(lambda+1)^3=0Rightarrow lambda=-1.$$

Собственный вектор для собственного числа $lambda=-1$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A+E)X=0, Xneq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin3&-1&2\5&-2&3\-1&0&-1end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin3&-1\5&-2end=-6+5=-1neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=begin3&-1\5&-2end=-1neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left<begin3x_1-x_2+2с=0\ 5x_1-2x_2+3с=0endright.Rightarrowleft<begin3x_1-x_2=-2c\5x_1-2x_2=-3cendright.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=begin-c\-c\cend.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=begin-1\-1\1end.$

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$

Ответ: $lambda=-1;$ $X=cbegin-1\-1\1end, cneq 0.$

Решение.

Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число $lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда $det(A-lambda E)=0.$ Запишем характеристическое уравнение:

$$det(A-lambda E)=begin-lambda&-1&0\1&1-lambda&-2\1&-1&-lambdaend=$$ $$=-lambda(1-lambda)(-lambda)+2-lambda+2lambda=$$ $$=-lambda^3+lambda^2+lambda+2=0.$$

Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа.

Собственный вектор для собственного числа $lambda=2$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A-2E)X=0, Xneq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin-2&-1&0\1&-1&-2\1&-1&-2end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin-2&-1\1&-1end=2+1=3neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=begin-2&-1\1&-1end=3neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left<begin-2x_1-x_2=0\ x_1-x_2-2с=0endright.Rightarrowleft<begin-2x_1-x_2=0\x_1-x_2=2cendright.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=beginfrac\-frac\cend.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=beginfrac\-frac\1end.$

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$ Переобозначив постоянную, $alpha=3c,$ получаем собственный вектор $X=alphabegin2\-4\3end, alphaneq 0.$

Домашнее задание.

Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

Ответ: $lambda=2;$ $X=c_1begin1\2\0end+c_2begin0\0\1end, $c_1$ и $ c_2$ не равны одновременно нулю.

Видео:Обратная матрицаСкачать

Обратная матрица

Как найти собственный вектор матрицы 3х3

Найдем такие вектора (называются собственными векторами) v
и такие числа — значения (называются собственными значениями) l
матрицы A, для v, l и A выполняется:
A*v = l*v.

Также вычисляется кратность собственных значений и находит характеристическое уравнение матрицы.

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Видео:Как найти обратную матрицу 3х3 методом присоединенной матрицы. Простой способ. Понятное объяснениеСкачать

Как найти обратную матрицу 3х3 методом присоединенной матрицы. Простой способ. Понятное объяснение

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

📸 Видео

Собственные значения и собственные векторыСкачать

Собственные значения и собственные векторы

Собственные значения матрицыСкачать

Собственные значения матрицы

Как найти определитель матрицы 2х2, 3х3 и 4х4Скачать

Как найти определитель матрицы 2х2, 3х3 и 4х4

А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицыСкачать

А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицы

Собственные значения и собственные векторы. ТемаСкачать

Собственные значения и собственные векторы. Тема

Как находить обратную матрицу - bezbotvyСкачать

Как находить обратную матрицу - bezbotvy

Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Матрицы и векторыСкачать

Матрицы и векторы

Собственные векторы и собственные значенияСкачать

Собственные векторы и собственные значения

7 4 Собственные векторы и собственные значенияСкачать

7 4  Собственные векторы и собственные значения

Диагональный вид матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. Собственные векторыСкачать

Диагональный вид матрицы.  Приведение матрицы к диагональному виду.  Собственные векторы

Собственные числа матрицыСкачать

Собственные числа матрицы

Определитель матрицы 3х3Скачать

Определитель матрицы 3х3

Как найти ранг матрицы (пример) - bezbotvyСкачать

Как найти ранг матрицы (пример) - bezbotvy

Собственные значения и собственные векторы. ПримерСкачать

Собственные значения и собственные векторы. Пример
Поделиться или сохранить к себе: