Как найти растояние от центра окружность до хорды

Расстояние от центра окружности до хорды

Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найти расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=24, CD=10, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 5.

Как найти растояние от центра окружность до хордыДано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды1) Соединим центр окружности с концами хорд.

2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).

Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,

Как найти растояние от центра окружность до хорды

3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Please wait.

Видео:Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CDСкачать

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5.Скачать

Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d686ae77f1b4975 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:ОГЭ 2022 Демоверсия. 16 заданиеСкачать

ОГЭ 2022 Демоверсия. 16 задание

Найти расстояние от центра окружности до хорды

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Расстояние от центра окружности до хорды

Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найти расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=24, CD=10, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 5.

Как найти растояние от центра окружность до хордыДано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды1) Соединим центр окружности с концами хорд.

2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).

Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,

Как найти растояние от центра окружность до хорды

3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.

Видео:Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэСкачать

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэ

Please wait.

Видео:16)Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5Скачать

16)Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d233b858f3a16a3 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.Скачать

Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Как найти растояние от центра окружность до хордыОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Как найти растояние от центра окружность до хордыСвойства хорд и дуг окружности
Как найти растояние от центра окружность до хордыТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Как найти растояние от центра окружность до хордыДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Как найти растояние от центра окружность до хордыТеорема о бабочке

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Видео:ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКак найти растояние от центра окружность до хорды

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКак найти растояние от центра окружность до хорды

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКак найти растояние от центра окружность до хорды

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКак найти растояние от центра окружность до хорды

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКак найти растояние от центра окружность до хорды

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКак найти растояние от центра окружность до хорды

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКак найти растояние от центра окружность до хорды

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Как найти растояние от центра окружность до хорды

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКак найти растояние от центра окружность до хорды

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКак найти растояние от центра окружность до хорды

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКак найти растояние от центра окружность до хорды

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКак найти растояние от центра окружность до хорды

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКак найти растояние от центра окружность до хорды

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКак найти растояние от центра окружность до хорды

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружностиСкачать

"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружности

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКак найти растояние от центра окружность до хордыДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКак найти растояние от центра окружность до хордыЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКак найти растояние от центра окружность до хордыБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКак найти растояние от центра окружность до хордыУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКак найти растояние от центра окружность до хордыДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Как найти растояние от центра окружность до хорды

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКак найти растояние от центра окружность до хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКак найти растояние от центра окружность до хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКак найти растояние от центра окружность до хорды

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКак найти растояние от центра окружность до хорды

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКак найти растояние от центра окружность до хорды

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКак найти растояние от центра окружность до хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКак найти растояние от центра окружность до хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКак найти растояние от центра окружность до хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКак найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКак найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Пересекающиеся хорды
Как найти растояние от центра окружность до хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Как найти растояние от центра окружность до хорды
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Как найти растояние от центра окружность до хорды
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Как найти растояние от центра окружность до хорды
Пересекающиеся хорды
Как найти растояние от центра окружность до хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Видео:8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружностиСкачать

8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружности

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Тогда справедливо равенство

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Как найти растояние от центра окружность до хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Как найти растояние от центра окружность до хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Как найти растояние от центра окружность до хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Как найти длину хорды по радиусу и центральному углу. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти длину хорды по радиусу и центральному углу. Геометрия 8-9 класс

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Как найти растояние от центра окружность до хорды

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Как найти растояние от центра окружность до хорды

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

🔍 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Задание 24 ОГЭ по математике #6Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #6

Как решить задачу 339892 решу ОГЭ по математике 2023Скачать

Как решить задачу 339892 решу ОГЭ по математике 2023
Поделиться или сохранить к себе: