Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Please wait.

Видео:✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис Трушин

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Найти расстояние от центра описанной около треугольника окружности до его ортоцентраСкачать

Найти расстояние от центра описанной около треугольника окружности до его ортоцентра

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:8 Расстояние от вершины треугольника до точек касания вписанной окружности со сторонамиСкачать

8 Расстояние от вершины треугольника до точек касания вписанной окружности со сторонами

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d9b9bc9bf2f163d • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Как найти расстояние от вершины треугольника до ортоцентра? Профиматика и ЕГЭматика знают ответ!Скачать

Как найти расстояние от вершины треугольника до ортоцентра? Профиматика и ЕГЭматика знают ответ!

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:№581. Вершины треугольника ABC лежат на сфере радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы доСкачать

№581. Вершины треугольника ABC лежат на сфере радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности.

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникКак найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности
Равнобедренный треугольникКак найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности
Равносторонний треугольникКак найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности
Прямоугольный треугольникКак найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности.

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности.

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Произвольный треугольник
Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности
Равнобедренный треугольник
Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности
Равносторонний треугольник
Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности
Прямоугольный треугольник
Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности
Произвольный треугольник
Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности.

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности.

Равнобедренный треугольникКак найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Равносторонний треугольникКак найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникКак найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Видео:Найти расстояние от центра окружности до вершины прямого углаСкачать

Найти расстояние от центра окружности до вершины прямого угла

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности– полупериметр (рис. 6).

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

с помощью формулы Герона получаем:

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Решение задачи №30 Лазута С.Ю.Скачать

Решение задачи №30 Лазута С.Ю.

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Как найти расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

📹 Видео

Задачи по геометрии. Найти сумму расстояний от вершин треугольника до ортоцентра.Скачать

Задачи по геометрии. Найти сумму расстояний от вершин треугольника до ортоцентра.

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Центр вписанной окружности равнобедренного ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центр вписанной окружности равнобедренного ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанная окружностьСкачать

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности.Скачать

Центр вписанной окружности.

Геометрия Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см Найдите расстояние от вершиныСкачать

Геометрия Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см Найдите расстояние от вершины

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Найти расстояние от вершины B до точки H пересечения высотСкачать

Найти расстояние от вершины B до точки H пересечения высот

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)

Вписанная окружность 1Скачать

Вписанная окружность 1

Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник
Поделиться или сохранить к себе: