Как найти расстояние между векторами ab и cd

Расстояние между двумя точками онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между точками по известным координатам этих точек. Дается решение с пояснениями. Для нахождения расстояния между точками задайте размерность (2-если задача рассматривается в двухмерном пространстве, 3- если задача рассматривается в трехмерном пространстве), введите координаты точек в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Расстояние между двумя точками на прямой

Пусть заданы на оси OX точки A с координатой xa и B с координатой xb (Рис.1). Найдем расстояние между точками A и B.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Расстояние между точками A и В равно:

( small AB=OB-OA. )(1)

Поскольку расстояние от O до В равна xb, а расстояние от O до A равна xa, получим:

( small AB=x_b-x_a . )(2)
Как найти расстояние между векторами ab и cd

На рисунке 2 точки A и В находятся по разные стороны начала координат O. B этом случае рассояние между точками A и B равно:

( small AB=OB+OA. )(3)

Поскольку координата точки A отрицательна а координата точки B положительна, то (2) можно записать так:

( small AB=x_b+|x_a|=x_b-x_a . )(4)

На рисунке 3 точки A и В находятся c левой стороны начала координат O.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

B этом случае рассояние между точками A и B равно:

( small AB=OA-OB. )(5)

Координаты точек A и B отрицательны. Тогда , то (5) можно записать так:

( small AB=|x_a|-|x_b|=x_b-x_a . )(6)

Из формул (2),(4),(6) следует, что независимо от расположения точек отностительно начала координат рассояние этих точек равна разности координат этих точек, причем от большего значения вычитается меньшее (так как расстояние не может быть отрицательным числом).

Формулы (2),(4),(6) можно записать и так:

( small AB=|x_b-x_a|= |x_a-x_b| . )(7)

Пример 1. на оси Ox заданы точки ( small A(x_a)=A(-4) ) и ( small B(x_b)=B(7) ) . Найти рассояние между этими точками.

Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (7):

( small AB=|x_b-x_a|= |7-(-4)|=11 . )(7)

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Расстояние между двумя точками на плоскости

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат XOY и пусть на плоскости заданы точки A и B, где A имеет координаты (xa,ya), а B имеет координаты (xb,yb) (Рис.4).

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Учитывая результаты предыдующего параграфа, можем найти расстояние между точками A и M, а также расстояние между точками B и M:

( small AM=x_b-x_a,;; BM=y_b-y_a. )(8)

ABM является прямоугольным треугольником, где AB гипотенуза, а AM и BM катеты. Тогда, исходя из теоремы Пифагора, имеем:

( small AB^2=AM^2+BM^2. )

Тогда, учитывая (8), получим:

( small AB^2=AM^2+BM^2=(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2. )
( small AB=sqrt . )(9)

Пример 2. На плоскости, в декартовой прямоугольной системе координат XOY заданы точки ( small A(x_a; y_a)=A(-6;3) ) и ( small B(x_b, y_b)=B(11,-4). ) . Найти рассояние между этими точками.

Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (9). Подставляя координаты точек A и B в формулу (9), получим:

Как найти расстояние между векторами ab и cdКак найти расстояние между векторами ab и cdКак найти расстояние между векторами ab и cd,
Как найти расстояние между векторами ab и cd.

Ответ: Как найти расстояние между векторами ab и cd.

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

Расстояние между двумя точками в пространстве

Рассмотрим в пространстве, в декартовой прямоугольной системе координат точки A и B, где A имеет координаты (xa,ya,za), а B имеет координаты (xb,yb,zb) (Рис.5).

Как найти расстояние между векторами ab и cd

AB является диагональю параллелепипеда, грани которго параллельны координатным плоскостьям и проходят через точки A и B. Но AB является гипотенузой прямоугольного треугольника AMB, а AM и BM являются катетами этого прямоугольного треугольника. Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

( small AB^2=AM^2+BM^2. )(10)

Учитывая, что BM равно разности третьих координат точек B и A, получим:

( small BM=z_b-z_a. )

Из предыдующего параграфа следует, что:

( small A’B’^2=(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2. )(11)

Но AM=A’B’. Тогда из (10) и (11) следует:

( small AB^2=AM^2+BM^2=A’B’^2+BM^2 ) ( small =(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2. )
( small AB= sqrt. )(12)

Пример 3. В пространстве задана декартова прямоугольная система координат XOY и точки ( small A(x_a; y_a ; z_a)=A(5;1;0) ) и ( small B(x_b, y_b, z_b)=B(-8,-4;21). ) Найти рассояние между этими точками.

Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (12). Подставляя координаты точек A и B в формулу (12), получим:

Как найти расстояние между векторами ab и cdКак найти расстояние между векторами ab и cdКак найти расстояние между векторами ab и cd,
Как найти расстояние между векторами ab и cd.

Ответ: Как найти расстояние между векторами ab и cd.

Видео:№940. Найдите расстояние между точками А и В, если: а) А (2; 7), В (-2; 7); б) А (-5; 1), В (-5; -7)Скачать

№940. Найдите расстояние между точками А и В, если: а) А (2; 7), В (-2; 7); б) А (-5; 1), В (-5; -7)

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Как найти расстояние между векторами ab и cd
Как найти расстояние между векторами ab и cd

Длина вектора Как найти расстояние между векторами ab и cdв пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Как найти расстояние между векторами ab и cdи Как найти расстояние между векторами ab и cd.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Произведение вектора на число:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Скалярное произведение векторов:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Косинус угла между векторами:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Как найти расстояние между векторами ab и cdи Как найти расстояние между векторами ab и cd. Для этого нужны их координаты.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Запишем координаты векторов:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

и найдем косинус угла между векторами Как найти расстояние между векторами ab и cdи Как найти расстояние между векторами ab и cd:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Координаты точек A, B и C найти легко:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Как найти расстояние между векторами ab и cd

Координаты вершины пирамиды: Как найти расстояние между векторами ab и cd

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Найдем координаты векторов Как найти расстояние между векторами ab и cdи Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

и угол между ними:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Запишем координаты точек:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Найдем координаты векторов Как найти расстояние между векторами ab и cdи Как найти расстояние между векторами ab и cd, а затем угол между ними:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

То есть A + C + D = 0.

Как найти расстояние между векторами ab и cdКак найти расстояние между векторами ab и cd

Аналогично для точки K:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Получили систему из трех уравнений:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Решив систему, получим:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Вектор Как найти расстояние между векторами ab и cd— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Как найти расстояние между векторами ab и cdимеет вид:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Как найти расстояние между векторами ab и cdперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Как найти расстояние между векторами ab и cd

Напишем уравнение плоскости AEF.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Берем уравнение плоскости Как найти расстояние между векторами ab и cdи по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Как найти расстояние между векторами ab и cdКак найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Как найти расстояние между векторами ab и cd

Нормаль к плоскости AEF: Как найти расстояние между векторами ab и cd

Найдем угол между плоскостями:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Как найти расстояние между векторами ab и cdили, еще проще, вектор Как найти расстояние между векторами ab и cd.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Координаты вектора Как найти расстояние между векторами ab и cd— тоже:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Получим:
Как найти расстояние между векторами ab и cd

Ответ: Как найти расстояние между векторами ab и cd

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Как найти расстояние между векторами ab и cd— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Как найти расстояние между векторами ab и cd— нормаль к плоскости α.

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Находим координаты вектора Как найти расстояние между векторами ab и cd.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Как найти расстояние между векторами ab и cd.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Ответ: Как найти расстояние между векторами ab и cd

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Как найти расстояние между векторами ab и cd, AD = Как найти расстояние между векторами ab и cd. Высота параллелепипеда AA1 = Как найти расстояние между векторами ab и cd. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Как найти расстояние между векторами ab и cdКак найти расстояние между векторами ab и cd

Решим эту систему. Выберем Как найти расстояние между векторами ab и cd

Тогда Как найти расстояние между векторами ab и cd

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Как найти расстояние между векторами ab и cd

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Онлайн калькулятор. Вычисление угла между векторами

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти угол между двумя векторами (косинус угла между векторами) для плоских и пространственных задач.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление угла между векторами и закрепить пройденный материал.

Видео:Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"Скачать

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"

Калькулятор для вычисления угла между векторами

Инструкция использования калькулятора для вычисления угла между векторами

Ввод даных в калькулятор для вычисления угла между векторами

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления угла между векторами

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Координаты середины отрезкаСкачать

Координаты середины отрезка

Теория. Вычисление угла между векторами

Как найти расстояние между векторами ab и cd

Угол между двумя векторами a и b можно найти использовав следующую формулу:

cos α =a · b
| a || b |

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

🔥 Видео

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

№740. Начертите векторы АВ, CD, и EF так, чтобы:Скачать

№740. Начертите векторы АВ, CD, и EF так, чтобы:

Математика 6 Расстояние между точками координатной прямойСкачать

Математика 6 Расстояние между точками координатной прямой

Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать

Косинус угла между векторами.  Коллинеарность векторов

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Расстояние между точкамиСкачать

Расстояние между точками

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Длина отрезкаСкачать

Длина отрезка

Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).Скачать

Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).

9 класс, 17 урок, Угол между векторамиСкачать

9 класс, 17 урок, Угол между векторами

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: