Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Радиусы описанной и вписанной окружностей в квадрат

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Окружность вписанная в квадрат

Чтобы формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат r была правильно рассчитана, необходимо изначально вспомнить какими свойствами обладает данная фигура. Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружностиУ квадрата:

  • все углы прямые, то есть, равны 90°;
  • все стороны, как и углы, равны;
  • диагонали равны, точкой пересечения бьются строго пополам и пересекаются под углом 90°.

При этом вписанная в выпуклый многоугольник окружность обязательно касается всех его сторон. Обозначим квадрат ABCD, точку пресечения его диагоналей O. Как видно на рисунке 1, пересечение линий АС и ВD дают равнобедренный треугольник АОВ, в котором стороны АО=ОВ, углы ОАВ=АВО=45°, а угол АОВ=90°. Тогда радиусом вписанной окружности в квадрат будет не что иное, как высота ОЕ полученного равнобедренного треугольника АОВ.

Если предположить, что сторона квадрата равна у, то формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат будет выглядеть следующим образом:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Объяснение: в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОЕ или радиус r делят основание АВ пополам (свойства), образовывая при этом прямоугольный треугольник с прямым угол ОЕВ. В маленьком треугольнике ЕВО основание ОВ образует со сторонами ОЕ и ЕВ углы по 45°. Значит треугольник ЕВО еще и равнобедренный. Стороны ОЕ и ЕВ равны.

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Окружность описанная около квадрата

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружностиВокруг квадрата также можно описать окружность. В этом случае каждая вершина фигуры будет касаться окружности. Следующая формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата будет находиться еще проще. В этом случае R описанной окружности будет равен половине диагонали квадрата. В буквенном виде формула выглядит так (рисунок 2):

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Объяснение: после проведения диагоналей ABCD образовались два одинаковых прямоугольных треугольника АВС = CDA. Рассмотрим один из них. В треугольнике CAD:

  • угол CDA=90°;
  • стороны AD=CD. Признак равнобедренного треугольника;
  • угол DAC равен ACD. Они равны по 45°.

Чтобы найти в этом прямоугольном треугольнике гипотенузу АС, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:
Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности, отсюда Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности
Поскольку окружность касается вершин квадрата, а точка пересечения его диагоналей является центром описанной окружности (свойства), то отрезок ОС и будет радиусом окружности. Он является половинкой гипотенузы. Это утверждение вытекает из свойств равнобедренного треугольника или свойств диагоналей квадрата. Потому формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата в нашем случае имеет следующий вид:
Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности
Поскольку AD=CD, а свойства квадратного корня позволяют вынести одно из подкоренных выражений, тогда формула приобретает вид:
Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Нахождения величины радиуса описанной окружности около квадрата при известной величине радиуса вписанной окружности.

  • треугольник ОСЕ – равнобедренный и прямоугольный;
  • ОЕ=ЕС=Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности;
  • ОЕС=90°;
  • ЕОС=ОСЕ=45°;

Найти: ОС=?
Решение: в данном случае задачу можно решить, воспользовавшись либо теоремой Пифагора, либо формулой для R. Второй случай будет проще, поскольку формула для R выведена из теоремы.
Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:17 задание ОГЭ по математикеСкачать

17 задание ОГЭ по математике

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружностиКак найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружностиКак найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружностиКак найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружностиКак найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружностиКак найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности
Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Ответ: Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Ответ: Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Ответ: Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Видео:Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.Скачать

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности
Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности(5)

Из формулы (5) найдем R:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности
Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности, получим:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Ответ: Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности
Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружностиНайти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружностив (8), получим:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Ответ: Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности(9)

где Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружностив (9), получим:

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Ответ: Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружностиКак найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружностиКак найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности(13)

Из (13) следует, что

Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Как найти радиус вписанной окружности квадрата зная радиус описанной окружности

Видео:Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133

Найти радиус вписанной окружности квадрата c известным радиусом описанной окружности онлайн с формулами расчётов

Введите в поле «радиус описанной окружности» Ваше измерение и нажмите «Рассчитать»

Введите данные:

Достаточно ввести только одно значение, остальное калькулятор посчитает сам.

Округление:

Радиус описанной окружности (R2) = 10

Диагональ, диаметр описанной окружности (M) = (R2*2) = (10*2) = 20

Cторона, диаметр вписанной окружности (L) = (sqrt<frac<M^>>) = (sqrt<frac<20^>>) = 14.14

Радиус вписанной окружности (R1) = (frac) = (frac) = 7.07

Периметр (P) = (L*4) = (14.14*4) = 56.56

🌟 Видео

Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71Скачать

Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: