Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус сферы (шара), описанной около правильной пирамиды: треугольной, четырехугольной, шестиугольной и тетраэдра.

Содержание
  1. Формулы расчета радиуса сферы (шара)
  2. Правильная треугольная пирамида
  3. Правильная четырехугольная пирамида
  4. Правильная шестиугольная пирамида
  5. Пирамида, вписанная в сферу
  6. Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу
  7. Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды
  8. Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды
  9. Радиус окружности описанной около основания правильной
  10. Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды
  11. Формулы расчета радиуса сферы (шара)
  12. Правильная треугольная пирамида
  13. Правильная четырехугольная пирамида
  14. Правильная шестиугольная пирамида
  15. Пирамида, вписанная в сферу
  16. Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу
  17. Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды
  18. Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды
  19. Радиус окружности описанной около основания правильной
  20. Как написать хороший ответ?
  21. 🎥 Видео

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Приведенная ниже информация применима только к правильным пирамидам. Формула для нахождения радиуса зависит от вида фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

На этом рисунке и чертежах далее:

  • a – ребро основания пирамиды;
  • h – высота фигуры.

Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Правильная шестиугольная пирамида

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Пирамида, вписанная в сферу

Как найти радиус окружности описанной около пирамидыПирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу
Как найти радиус окружности описанной около пирамидыРадиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды
Как найти радиус окружности описанной около пирамидыОтношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, называют такую пирамиду, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Теорема 1. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

Доказательство. Докажем сначала, что, если пирамида вписана в сферу, то около ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

На рисунке 2 изображена пирамида SA1A2 . An , вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности, в которую вписан многоугольник A1A2 . An – основание пирамиды. Доказано.

Теперь предположим, что около основания A1A2 . An пирамиды SA1A2 . An можно описать окружность. Докажем, что в этом случае около пирамиды SA1A2 . An можно описать сферу. С этой целью обозначим центр окружности, описанной около многоугольника A1A2 . An , символом O’ и проведем прямую p, проходящую через точку O’ и перпендикулярную к плоскости многоугольника A1A2 . An (рис. 3).

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Рассмотрим плоскость β, проходящую через середину отрезка SAn и перпендикулярную к этому отрезку. Если обозначить буквой O точку пересечения плоскости β с прямой p, то точка O и будет центром сферы, описанной около пирамиды SA1A2 . An . Для того, чтобы это доказать, рассмотрим следующий рисунок 4.

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Итак, мы доказали, что точка O находится на одном и том же расстоянии от всех вершин пирамиды SA1A2 . An . Отсюда вытекает, что точка O является центром сферы, описанной около пирамиды SA1A2 . An .

Для завершения доказательства теоремы остается лишь доказать, что плоскость β и прямая p действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из такого предположения будет следовать, что плоскость β и прямая p параллельны, а, значит, точка S лежит в плоскости A1A2 . An , что противоречит определению пирамиды.

Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

Следствие 2. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то около нее можно описать сферу.

Указание. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центром описанной около основания окружности. Посмотреть доказательство.

Видео:Быстро находим радиус описанной сферыСкачать

Быстро находим радиус описанной сферы

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

Задача 1. Высота правильной n — угольной пирамиды равна h , а длина ребра основания равна a . Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA1A2 . An и обозначим буквой O центр описанной около пирамиды сферы, а символом O’ – центр основания пирамиды. Проведем плоскость SO’An (рис. 5).

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Буквой R на рисунке 5 обозначен радиус описанной около пирамиды сферы, а буквой r – радиус описанной около основания пирамиды окружности. По теореме Пифагора для треугольника O’OAn получаем

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды(1)

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

из формулы (1) получаем соотношение

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды(2)

Ответ. Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 3. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром a , равен

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 6. Радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Задача 2. Около правильной n — угольной пирамиды с высотой h и ребром основания a описана сфера. Найти отношение объемов пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды.

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около пирамиды сферой, через высоту и ребро основания пирамиды:

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Ответ. Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды, равно

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 8. Отношение объема правильного тетраэдр с ребром a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данного тетраэдра, равно

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 9. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 10. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Видео:Пирамиды, в которых высота проходит через центр описанной около основания окружностиСкачать

Пирамиды,  в которых высота проходит через центр описанной около основания окружности

Радиус окружности описанной около основания правильной

Видео:Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 смСкачать

Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус сферы (шара), описанной около правильной пирамиды: треугольной, четырехугольной, шестиугольной и тетраэдра.

Видео:Нахождение радиуса сферы, описанной около пирамидыСкачать

Нахождение радиуса сферы, описанной около пирамиды

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Приведенная ниже информация применима только к правильным пирамидам. Формула для нахождения радиуса зависит от вида фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

На этом рисунке и чертежах далее:

  • a – ребро основания пирамиды;
  • h – высота фигуры.

Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Правильная шестиугольная пирамида

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

Видео:Найти радиус описанной сферы около пирамиды Д213Скачать

Найти радиус описанной сферы около пирамиды Д213

Пирамида, вписанная в сферу

Как найти радиус окружности описанной около пирамидыПирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу
Как найти радиус окружности описанной около пирамидыРадиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды
Как найти радиус окружности описанной около пирамидыОтношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, называют такую пирамиду, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Теорема 1. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

Доказательство. Докажем сначала, что, если пирамида вписана в сферу, то около ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

На рисунке 2 изображена пирамида SA1A2 . An , вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности, в которую вписан многоугольник A1A2 . An – основание пирамиды. Доказано.

Теперь предположим, что около основания A1A2 . An пирамиды SA1A2 . An можно описать окружность. Докажем, что в этом случае около пирамиды SA1A2 . An можно описать сферу. С этой целью обозначим центр окружности, описанной около многоугольника A1A2 . An , символом O’ и проведем прямую p, проходящую через точку O’ и перпендикулярную к плоскости многоугольника A1A2 . An (рис. 3).

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Рассмотрим плоскость β, проходящую через середину отрезка SAn и перпендикулярную к этому отрезку. Если обозначить буквой O точку пересечения плоскости β с прямой p, то точка O и будет центром сферы, описанной около пирамиды SA1A2 . An . Для того, чтобы это доказать, рассмотрим следующий рисунок 4.

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Итак, мы доказали, что точка O находится на одном и том же расстоянии от всех вершин пирамиды SA1A2 . An . Отсюда вытекает, что точка O является центром сферы, описанной около пирамиды SA1A2 . An .

Для завершения доказательства теоремы остается лишь доказать, что плоскость β и прямая p действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из такого предположения будет следовать, что плоскость β и прямая p параллельны, а, значит, точка S лежит в плоскости A1A2 . An , что противоречит определению пирамиды.

Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

Следствие 2. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то около нее можно описать сферу.

Указание. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центром описанной около основания окружности. Посмотреть доказательство.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

Задача 1. Высота правильной n — угольной пирамиды равна h , а длина ребра основания равна a . Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA1A2 . An и обозначим буквой O центр описанной около пирамиды сферы, а символом O’ – центр основания пирамиды. Проведем плоскость SO’An (рис. 5).

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Буквой R на рисунке 5 обозначен радиус описанной около пирамиды сферы, а буквой r – радиус описанной около основания пирамиды окружности. По теореме Пифагора для треугольника O’OAn получаем

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды(1)

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

из формулы (1) получаем соотношение

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды(2)

Ответ. Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 3. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром a , равен

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 6. Радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Видео:Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138Скачать

Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Задача 2. Около правильной n — угольной пирамиды с высотой h и ребром основания a описана сфера. Найти отношение объемов пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды.

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около пирамиды сферой, через высоту и ребро основания пирамиды:

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Ответ. Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды, равно

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 8. Отношение объема правильного тетраэдр с ребром a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данного тетраэдра, равно

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 9. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Следствие 10. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Радиус окружности описанной около основания правильной

Вопрос по геометрии:

радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды равен 3. Боковое ребро равно 5. Найдите высоту пирамиды.

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Полиночка, все на чертеже. Так строится правильная треуголоная пирамида и только так. AO это радиус описанной окружности.SO находим по т.Пифагора SO^2=5^2=3^2=16, SO=4

Как найти радиус окружности описанной около пирамиды

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

🎥 Видео

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19Скачать

Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Вычисление радиуса сферы, описанной около правильной треугольной пирамидыСкачать

Вычисление радиуса сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды

Найти центр и радиус окружностиСкачать

Найти центр и радиус окружности

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts
Поделиться или сохранить к себе: