Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Как найти площадь треугольника

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Содержание
  1. Основные понятия
  2. Формула площади треугольника
  3. Общая формула
  4. 1. Площадь треугольника через основание и высоту
  5. 2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
  6. 3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
  7. 4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
  8. 5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
  9. 6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
  10. Для прямоугольного треугольника
  11. Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
  12. Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
  13. Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
  14. Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
  15. Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
  16. Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
  17. Для равнобедренного треугольника
  18. Вычисление площади через основание и высоту
  19. Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
  20. Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
  21. Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
  22. Площадь равностороннего треугольника через сторону
  23. Площадь равностороннего треугольника через высоту
  24. Таблица формул нахождения площади треугольника
  25. Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
  26. Если треугольник прямоугольный
  27. Если он равнобедренный
  28. Если он равносторонний
  29. Если известна сторона и высота
  30. Если известны две стороны и градус угла между ними
  31. Если известны длины трех сторон
  32. Если известны три стороны и радиус описанной окружности
  33. Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
  34. Площадь треугольника через радиус описанной окружности
  35. 🎬 Видео

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

  • квадратный миллиметр (мм 2 );
  • квадратный сантиметр (см 2 );
  • квадратный дециметр (дм 2 );
  • квадратный метр (м 2 );
  • квадратный километр (км 2 );
  • гектар (га).

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Видео:ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематикаСкачать

ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематика

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19Скачать

Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА, ОПИСАННОГО ОКОЛО КВАДРАТА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 классСкачать

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА, ОПИСАННОГО ОКОЛО КВАДРАТА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 класс

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Видео:Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133

Если известны длины трех сторон

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Видео:Задание 24 Площадь описанного треугольникаСкачать

Задание 24 Площадь описанного треугольника

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Видео:Геометрия Доказательство Площадь многоугольника, описанного около окружности равна произведению егоСкачать

Геометрия Доказательство Площадь многоугольника, описанного около окружности равна произведению его

Площадь треугольника через радиус описанной окружности

Как найти площадь треугольника через радиус описанной окружности?

Площадь треугольника равна частному от деления произведения сторон треугольника на четыре радиуса описанной около треугольника окружности.

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Формула для нахождения площади треугольника через радиус описанной окружности:

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

окружность (O; R) — описанная,

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

Выразим из этой формулы синус альфа

Как найти площадь треугольника описанного около окружности

и подставим полученное выражение в первую формулу

🎬 Видео

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 классСкачать

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 класс

ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА радиус 8 классСкачать

ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА радиус 8 класс
Поделиться или сохранить к себе: