- Как найти периметр трапеции: равнобедренной, разносторонней, прямоугольной
- Принятые в формулах обозначения
- Найти периметр трапеции
- Основные свойства равнобедренной трапеции
- Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
- Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
- Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
- В исходных данных: все стороны
- Периметр произвольной трапеции
- Вписанная окружность
- Решение задач о прямоугольной трапеции
- Задача Даны три стороны, одна из которых перпендикулярная боковая.
- Задача Даны оба основания и угол при основании
- Свойства и признаки равнобедренной трапеции
- Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
- Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
- Определение периметра прямоугольной трапеции
- Известны: диагонали и углы между ними
- Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
- Основные свойства трапеции
- Сторона трапеции
- Формулы определения длин сторон трапеции:
- Средняя линия трапеции
- Формулы определения длины средней линии трапеции:
- Высота трапеции
- Формулы определения длины высоты трапеции:
- Диагонали трапеции
- Формулы определения длины диагоналей трапеции:
- Площадь трапеции
- Формулы определения площади трапеции:
- Периметр трапеции
- Формула определения периметра трапеции:
- Окружность описанная вокруг трапеции
- Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
- Окружность вписанная в трапецию
- Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
- Другие отрезки разносторонней трапеции
- Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
- Как найти периметр прямоугольной трапеции вписанной окружности
Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать
Как найти периметр трапеции: равнобедренной, разносторонней, прямоугольной
Видео:2119 периметр прямоугольной трапеции описанной около окружности равен 100 её большаяСкачать
Принятые в формулах обозначения
Во всех приведенных ниже математических записях верны такие прочтения букв.
| произвольная трапеция | равнобедренная трапеция | название |
| а | а | нижнее основание |
| в | в | верхнее основание |
| с, d | с | боковые стороны |
| н | н | высота |
| m | m | средняя линия |
| d1, d2 | d1 | диагонали |
| s | s | площадь |
| α, β | α | углы при нижнем основании |
| γ, δ | γ, δ | углы на пересечении диагоналей |
Видео:2121 периметр прямоугольной трапеции описанной около окружности равен 100Скачать
Найти периметр трапеции
Введите данные:
| a = |
| b = |
| c = |
| d = |
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …).
Видео:Периметр прямоуг. трапеции, описанной около окружн., равен 100, ее большая боковая сторона равна 37.Скачать
Основные свойства равнобедренной трапеции
∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°
AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC · AD
9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) – равен полуразности оснований:
| AP = | BC + AD |
| 2 |
| PD = | AD – BC |
| 2 |
Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α
b = a – 2 h ctg α = a – 2 c cos α
| c = | h | = | a – b |
| sin α | 2 cos α |
2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:
| a = | d 1 2 – c 2 | b = | d 1 2 – c 2 | c = √ d 1 2 – ab |
| b | a |
3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:
| a = | 2S | – b b = | 2S | – a |
| h | h |
4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:
| с = | S |
| m sin α |
5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:
| с = | 2S |
| ( a + b ) sin α |
Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
m = a – h ctg α = b + h ctg α = a – √ c 2 – h 2 = b + √ c 2 – h 2
2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:
| m = | S |
| c sin α |
Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
1. Формула высоты через стороны:
| h = | 1 | √ 4 c 2 – ( a – b ) 2 |
| 2 |
2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:
| h = | a – b | tg β | = c sin β |
| 2 |
Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать
В исходных данных: все стороны
Для того чтобы найти высоту трапеции в общем случае потребуется воспользоваться такой формулой:
н = √(с 2 – (((а – в) 2 + с 2 – d 2 )/(2(а – в))) 2 ). Номер 1.
Не самая короткая, но и встречается в задачах достаточно редко. Обычно можно воспользоваться другими данными.
Формула, которая подскажет, как найти высоту равнобедренной трапеции в той же ситуации, гораздо короче:
н = √(с 2 – (а – в) 2 /4). Номер 2.
Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать
Периметр произвольной трапеции
Периметр произвольной трапеции, в которой AB=a , BC=b , CD=c , AD=d , имеет вид:
[ LARGE P_ = a + b + c + d ]
где:
P – периметр трапеции
a, b, c, d – стороны трапеции
Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом 
и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — 
и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и 
, то 
, то
Видео:8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать
Решение задач о прямоугольной трапеции
Прямоугольной называют трапецию, у которой углы при одной из боковых сторон равны 90 0 . Рассмотрим пример, как найти боковую сторону трапеции, если известны три другие стороны.
Задача Даны три стороны, одна из которых перпендикулярная боковая.
Допустим, нам дана прямоугольная трапеция АВСД, у которой АВ перпендикулярно ВС. Известно, что АВ = 12 см, ВС = 1 см, АД = 6 см. Необходимо найти большую боковую сторону.
Из точки С опускаем проводим высоту СК и получаем прямоугольный треугольник СДК и прямоугольник АВСК. Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны СК = АВ = 12 см, а АК = ВС = 1 см.
Находим отрезок КД:
- КД = АД – АК = 6 – 1 = 5 (см)
Согласно теореме Пифагора:
- СД 2 =СК 2 +КД 2 =12 2 +5 2 =144+25=169
- СД = √169 = 13 (см)
Ответ: СД = 13 см
Задача Даны оба основания и угол при основании
Дана трапеция АВСД, у которой основания ВС и АД равны 6 и 10 см соответственно, угол ВАД – прямой, а СДА равен 45 градусов. Найдите меньшую боковую сторону.
- Проводим высоту СК и получаем прямоугольный треугольник СКД и прямоугольник АВСК. Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны АК = ВС = 6 см.
- КД = АД – АК = 10 – 6 = 4 см
- cos 45 = √2/2 = КД / СД, отсюда СД = КД / cos 45
- Получаем СД = 4/√2/2 = 4√2 (см)
Ответ: СД = 4√2 см
Видео:6 Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружностиСкачать
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:
| r = | h |
| 2 |
Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:
| KM = NL = | b | KN = ML = | a | TO = OQ = | a · b |
| 2 | 2 | a + b |
Видео:Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапецииСкачать
Определение периметра прямоугольной трапеции
Периметр прямоугольной трапеции определяется по той же формуле, что и периметр равнобедренной, однако в этом случае формула имеет вид:
Периметр ABCD = АВ+ВС+СD+AD. Рассмотрим пример определения периметра прямоугольной трапеции. В данном примере сторона АВ = 5 см, ВС = 7см, AD = 10 см, длина стороны СD неизвестна.
- опустим высоту из вершины С, высота CH = AB = 5см;
- исходя из рисунка 3, AH = BC = 7 см;
- HD = AD – AH = 10 – 7 = 3 см;
- далее для нахождения периметра, необходимо определить длину стороны СD, являющейся в равнобедренном треугольнике СHD гипотенузой. Согласно теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, таким образом, длина стороны СD = 5,83 см: CD = = 5,83 см;
- подставляя полученные значения в формулу, получим периметр равный 27,83 см: Периметр ABCD = 5+7+5,83+10 = 27,83 см.
Итак, определить длину одной из сторон трапеции можно воспользовавшись теоремой Пифагора. Так же, для определения длины различных сторон трапеции могут помочь следующие формулы:
- формула расчета длины основания через среднюю линию;
- формулы длин сторон через высоту и угол при нижнем основании трапеции;
- формулы длин сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями;
- формулы длин сторон равнобедренной трапеции через площадь.
Как видно, для решения задач, связанных с расчетом длины сторон трапеции, существует более чем широкий спектр математических приемов, выбор которых обусловлен конкретной ситуацией.
Видео:ЕГЭ Математика Задание 6#27938Скачать
Известны: диагонали и углы между ними
Обычно к этим данным присоединяются еще известные величины. Например, основания или средняя линия. Если даны основания, то для ответа на вопрос, как найти высоту трапеции, пригодится такая формула:
Это для общего вида фигуры. Если дана равнобедренная, то запись преобразится так:
н = (d1 2 * sin γ) / (а + в) или н = (d1 2 * sin δ) / (а + в). Номер 6.
Когда в задаче идет речь о средней линии трапеции, то формулы для поиска ее высоты становятся такими:
н = (d1 2 * sin γ) / 2m или н = (d1 2 * sin δ) / 2m. Номер 6а.
Видео:🔴 В прямоугольной трапеции основания ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами
Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.
- Основы трапеции — параллельные стороны
- Боковые стороны — две другие стороны
- Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
- Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
- Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
 |  |
| Рис.1 | Рис.2 |
Видео:Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторонуСкачать
Основные свойства трапеции
AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD
3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
| m = | a + b |
| 2 |
BC : AD = OC : AO = OB : DO
d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2
Видео:✓ Радиус описанной окружности | ЕГЭ. Задание 1. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
Сторона трапеции
Формулы определения длин сторон трапеции:
a = b + h · ( ctg α + ctg β )
b = a — h · ( ctg α + ctg β )
a = b + c· cos α + d· cos β
b = a — c· cos α — d· cos β
4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:
| с = | h | d = | h |
| sin α | sin β |
Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать
Средняя линия трапеции
Формулы определения длины средней линии трапеции:
1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:
| m = | a + b |
| 2 |
2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:
| m = | S |
| h |
Видео:ЕГЭ ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ В ПРЯМОУГОЛЬНУЮ ТРАПЕЦИЮ | ЗАДНИЙ ХОД В МАТЕМАТИКЕ ИЛИ КАКОЙ ТО ПОДВОХ |Скачать
Высота трапеции
Формулы определения длины высоты трапеции:
h = c· sin α = d· sin β
2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:
| h = | sin γ · | d 1 d 2 | = | sin δ · | d 1 d 2 |
| a + b | a + b |
3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:
| h = | sin γ · | d 1 d 2 | = | sin δ · | d 1 d 2 |
| 2 m | 2 m |
4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
| h = | 2S |
| a + b |
5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:
| h = | S |
| m |
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Диагонали трапеции
Формулы определения длины диагоналей трапеции:
d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β
d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β
2. Формулы диагоналей через четыре стороны:
| d 1 = | √ | d 2 + ab — | a ( d 2 — c 2 ) |
| a — b |
| d 2 = | √ | c 2 + ab — | a ( c 2 — d 2 ) | a — b |
d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2
d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2
d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2
d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2
Видео:Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружностиСкачать
Площадь трапеции
Формулы определения площади трапеции:
1. Формула площади через основания и высоту:
| S = | ( a + b ) | · h |
| 2 |
3. Формула площади через диагонали и угол между ними:
| S = | d 1 d 2 | · sin γ | = | d 1 d 2 | · sin δ |
| 2 | 2 |
4. Формула площади через четыре стороны:
| S = | a + b | √ | c 2 — | ( | ( a — b ) 2 + c 2 — d 2 | ) | 2 |
| 2 | 2( a — b ) |
5. Формула Герона для трапеции
| S = | a + b | √ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d ) |
| | a — b | |
где
| p = | a + b + c + d | — полупериметр трапеции. |
| 2 |
Видео:Трапеция. Задачи. Найти углы трапеции. Равнобедренной,прямоугольной,Скачать
Периметр трапеции
Формула определения периметра трапеции:
1. Формула периметра через основания:
Видео:№481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 смСкачать
Окружность описанная вокруг трапеции
Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
1. Формула радиуса через стороны и диагональ:
| R = | a·c·d 1 |
| 4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1) |
где
| p = | a + c + d 1 |
| 2 |
a — большее основание
Окружность вписанная в трапецию
Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:
| r = | h |
| 2 |
Другие отрезки разносторонней трапеции
Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:
| KM = NL = | b | KN = ML = | a | TO = OQ = | a · b |
| 2 | 2 | a + b |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Как найти периметр прямоугольной трапеции вписанной окружности
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 42. Найдите радиус окружности.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда 
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 32, её большая боковая сторона равна 9. Найдите радиус окружности.
Пусть радиус вписанной окружности равен r, тогда длина меньшей боковой стороны равна 2r. Суммы длин противоположных сторон описанного вокруг окружности четырехугольника равны, поэтому сумма оснований трапеции равна сумме длин ее боковых сторон или 2r + 9. Тогда для периметра трапеции имеем 2(2r + 9) = 32, откуда r = 3,5.