Как найти пересечение высот треугольника

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Что такое высота

Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.

У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе. Прямая попадет только на продолжение противоположной стороны и будет находиться вне самой фигуры. Таким образом, если все углы острые, отрезки будут находиться внутри, как и ортоцентр. В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.

Видео:8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

Свойства ортоцентра

Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.

Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:

• внутри;
• снаружи;
• в вершине (у прямоугольных треугольников)

Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.

Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:

Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.

Полезные факты

Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.

Пусть:

• H — ортоцентр в ABC;
• О — центр описанной окружности.

Тогда:

• окружности, описанные вокруг АБС, АНВ, CHB, HCA, равны:
• отрезок BH вдвое длиннее отрезка АС;
• середины отрезков AC и BH разделены расстоянием, равным радиусу описанной окружности.

Задача Фаньяно

Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.

Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.

Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:

Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.

Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.

Видео:ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВЫСОТ треугольника ТЕОРЕМА 8 класс АтанасянСкачать

История изучения

Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам. Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».

Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.

В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.

Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.

Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.

Видео:Высоты треугольника.Скачать

Ортоцентр треугольника

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).

Пример

В приведенном ниже примере, O это ортоцентр..

Метод расчета ортоцентра треугольника

Пускай даны точки треугольника A(4,3), B(0,5) и C(3,-6).

Шаг 1

Найдем наклоны сторон AB, BC и CA используя формулу y2-y1/x2-x1. Наклон обозначим ‘m’.

• Наклон AB (m) = 5-3/0-4 = -1/2.
• Наклон BC (m) = -6-5/3-0 = -11/3.
• Наклон CA (m) = 3+6/4-3 = 9.

Шаг 2

Теперь, давайте вычислим наклон высоты AD, BE и CF который перпендикулярен сторонам BC, CA и AB соответственно. Наклон высоты = -1/наклон противоположной стороны треугольника.

• Наклон AD = -1/наклон BC = 3/11.
• Наклон BE = -1/наклон CA = -1/9.
• Наклон CF = -1/наклон AB = 2.

Шаг 3

После того, как мы нашли наклон перпендикуляров, мы должны найти уравнение линий AD, BE и CF. Давайте найдем уравнение линии AD с точкой (4,3) и наклоном 3/11.
Формула, для нахождения уравнения ортоцентра треугольника = y-y1 = m(x-x1) y-3 = 3/11(x-4)

1) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 3x-11y = -21

Кроме того, мы должны найти уравнение линий BE и CF. Уравнение для линии BE с точкой (0,5) и наклоном -1/9 = y-5 = -1/9(x-0)

2) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим x + 9y = 45

Уравнение для линии CF с точкой (3,-6) и наклоном 2 = y+6 = 2(x-3)

3) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 2x — y = 12

Шаг 4

Найдем значение x и y решив 2 любых из 3 уравнений.

В этом примере, значение x и y (8.05263, 4.10526) которые являются координатами Ортоцентра (o).

Видео:Точка пересечения высот треугольника.Скачать

Даны точки A(5; — 1), B(4; — 8), C(- 4; — 4). Найдите координаты точки пересечения высот треугольника ABC.

Найдём уравнение прямой BC по двум точкам:

= , или y = — x — 6.

Тогда её угловой коэффициент k₁ = — . Если k₂ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту AP, то k₁ . k₂ = — 1. Поэтому

k₂ = — = 2.

Уравнение прямой, содержащей высоту AP треугольника ABC, найдём по точке A(5; — 1) и угловому коэффициенту k₂ = 2:

Найдём уравнение прямой AC по двум точкам:

= , или y = x — .

Тогда её угловой коэффициент k₃ = . Если k₄ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту BQ, то k₄ . k₃ = — 1. Поэтому

k₄ = — = — 3.

Уравнение прямой, содержащей высоту BQ треугольника ABC, найдём по точке B(4; — 8) и угловому коэффициенту k₄ = — 3:

Координаты точки H пересечения высот треугольника ABC найдём, решив систему уравнений, задающих прямые AP и BQ:

Ответ

📸 Видео

Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)Скачать

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высотСкачать

Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

Точка пересечения высот треугольникаСкачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Точка пересечения высот | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

76. Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

Теорема о пересечении высот треугольника | Геометрия 7-9 класс #73 | ИнфоурокСкачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Новое доказательство пересечения высот треугольника в одной точкеСкачать