Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор
Содержание
  1. 1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона
  2. 2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании
  3. 3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании
  4. 4. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота
  5. 5. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота
  6. Треугольник вписанный в окружность
  7. Определение
  8. Формулы
  9. Радиус вписанной окружности в треугольник
  10. Радиус описанной окружности около треугольника
  11. Площадь треугольника
  12. Периметр треугольника
  13. Сторона треугольника
  14. Средняя линия треугольника
  15. Высота треугольника
  16. Свойства
  17. Доказательство
  18. Все формулы для радиуса вписанной окружности
  19. Радиус вписанной окружности в треугольник
  20. Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
  21. Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
  22. 🌟 Видео

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона

Пусть известны известны основание a и боковая сторона b равнобедренного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной окружности через основание и боковую сторону.

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны a, b, c вычисляется из следующей формулы:

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности(1)

где полупериметр p вычисляется из формулы:

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности.(2)

Учитывая, что у равнобедренного треугольника боковые стороны равны (( small b=c )), имеем:

( small p=frac ) ( small =frac, )(3)
( small p-a=frac-a ) ( small =frac, )(4)
( small p-b=p-c=frac-b ) ( small =frac. )(5)

Подставляя (3)-(5) в (1), получим формулу вычисления радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности,
Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности.(6)

Пример 1. Известны основание a=13 и боковая сторона b=7 равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a,; b ) в (6):

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Ответ: Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании

Пусть известны основание a и прилежащий к ней угол β равнобедренного треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Из центра вписанной окружности проведем перпендикуляры OH и OE к сторонам a=BC и b=AC, соответственно (r=OH=OE). Соединим точки C и O. Полученные прямоугольные треугольники OCE и OCH равны по гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Тогда ( small angle OCE=angle OCH=frac. ) Для прямоугольного треугольника OCH можно записать:

( small frac=frac<large frac>=mathrmfrac .)

Откуда получим формулу радиуса вписанной в треугольник окружности:

( small r=frac cdot mathrmfrac .)(8)
( small r=frac cdot frac .)(9)

Пример 2. Известны основание ( small a=15 ) и ( small beta=30° ) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник воспользуемся формулой (8) (или (9)). Подставим значения ( small a=15, ; beta=30° ) в (8):

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Ответ: Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Видео:№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружностиСкачать

№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности

3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании

Пусть известны боковая сторона b и угол при основании β равнобедренного треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Высота равнобедренного треугольника AH делит равнобедренный треугольник ABC на две равные части. Тогда для треугольника AHC справедливо равенство:

( small frac=frac<large frac>= cos beta .)
( small a=2b cdot cos beta .)(10)

Подставляя (10) в (8), получим формулу вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

( small r=frac cdot mathrmfrac=frac cdot mathrmfrac ) ( small =b cos beta cdot mathrmfrac )
( small r=b cdot cos beta cdot mathrmfrac )(11)

Учитывая формулы половинного угла тригонометрических функций, формулу (11) можно записать и так:

( small r=b cdot frac )(12)

Пример 3. Известны боковая сторона равнобедренного треугольника: ( small b=9 ) и угол при основании β=35°. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11) (или (12)).

Подставим значения ( small b=9 ,; beta=35° ) в (11):

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Ответ: Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

4. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота

Пусть известны боковая сторона b и высота h равнобедренного треугольника (Рис.4). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности через площадь и полупериметр имеет следующий вид (см. статью на странице Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн) :

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности,(13)
Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности(14)

Так как треугольник AHC прямоугольный, то из Теоремы Пифагора имеем:

( small left( fracright)^2=b^2-h^2 )
( small a=2 cdot sqrt )(15)

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

( small S=frac cdot a cdot h. )(16)

Подставим (15) в (16):

( small S=h cdot sqrt )(17)

Учитывая, что для равнобедренного треугольника b=c, а также равенство (15), получим:

( small p=frac ) ( small =frac ) ( small =frac+b )( small =b+ sqrt )(18)

Подставляя, наконец, (17) и (18) в (13), получим формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

( small r=frac ) ( small =frac<large h cdot sqrt><large b+ sqrt> )(19)

Пример 4. Боковая сторона и высота равнобедренного треугольника равны ( small b=7 ,) ( small h=5, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (19). Подставим значения ( small b=7 ,) ( small h=5 ) в (19):

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Ответ: Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

5. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота

Пусть известны основание a и высота h равнобедренного треугольника (Рис.5). Найдем формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности.

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Из формулы (15) найдем b:

( small b^2-h^2=left( frac right)^2 )
( small b^2= frac +h^2 )
( small b= frac cdot sqrt)(20)

Подставляя (20) в (19), получим формулу радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник:

( small r=frac<large h cdot sqrt><large b+ sqrt>) ( small =frac<large h cdot sqrt<frac+h^2-h^2>><large frac cdot sqrt+ sqrt<frac+h^2-h^2>>) ( small = large frac< h cdot frac>< frac cdot sqrt+frac >)
( small r=large frac<a+ sqrt>)(21)

Пример 5. Основание и высота равнобедренного треугольника равны ( small a=7 ,) ( small h=9, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (21). Подставим значения ( small a=7 ,) ( small h=9 ) в (21):

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Ответ: Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Треугольник вписанный в окружность

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Найти радиус вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника. Разные способы.Скачать

Найти радиус вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника. Разные способы.

Все формулы для радиуса вписанной окружности

Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

Радиус вписанной окружности в треугольник

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

a , b , c — стороны треугольника

p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

a — сторона треугольника

r — радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

α — угол при основании

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Как найти основание равнобедренного треугольника зная радиус вписанной окружности

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

🌟 Видео

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать

Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128

№107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметрСкачать

№107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: