Две высоты в остроугольном треугольнике

Высоты в остроугольном треугольнике

В любом треугольнике все три высоты пересекаются в одной точке. Все высоты в остроугольном треугольнике лежат внутри треугольника (как и точка пересечения высот).

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Доказать, что углы BB1C1 и BCC1 равны; углы B1C1С и BB1C равны.

Две высоты в остроугольном треугольникеДано: ΔABC — остроугольный,

Около любого треугольника можно описать окружность. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы. Радиус такой окружности равен половине гипотенузы.

Две высоты в остроугольном треугольникеЦентр описанной около прямоугольного треугольника BB1C окружности лежит на середине гипотенузы BC, радиус этой окружности равен половине BC.

Центр описанной около прямоугольного треугольника BCC1 окружности — середина гипотенузы BC, радиус равен половине BC.

Значит эти треугольники вписаны в одну и ту же окружность.

Следовательно, точки B, C, B1 и C1лежат на одной окружности.

∠B1C1С=∠B1BC (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу B1C).

Что и требовалось доказать.

То есть решение такого рода задач начинаем с поиска прямоугольных треугольников с общей гипотенузой.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

2 Comments

Здравствуйте!
во втором случае: Угол ВВ1С — прямой, имелся в виду угол В1ВС, как опирающийся на дугу В1С

Видео:В остроугольном треугольнике ABC проведены две высоты...Скачать

В остроугольном треугольнике ABC проведены две высоты...

Высота треугольника. Задача Фаньяно

Две высоты в остроугольном треугольникеВысота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Две высоты в остроугольном треугольникеРасположение высот у треугольников различных типов
Две высоты в остроугольном треугольникеОртоцентр треугольника
Две высоты в остроугольном треугольникеРасположение ортоцентров у треугольников различных типов
Две высоты в остроугольном треугольникеОртоцентрический треугольник
Две высоты в остроугольном треугольникеЗадача Фаньяно

Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

Определение 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Две высоты в остроугольном треугольнике

На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

Утверждение . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Две высоты в остроугольном треугольнике

Доказательство . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.

Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Расположение высот у треугольников различных типов

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникДве высоты в остроугольном треугольникеВсе высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Две высоты в остроугольном треугольнике
Две высоты в остроугольном треугольнике
Прямоугольный треугольникДве высоты в остроугольном треугольникеВысоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Две высоты в остроугольном треугольнике
Две высоты в остроугольном треугольнике
Тупоугольный треугольникДве высоты в остроугольном треугольникеВысоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Две высоты в остроугольном треугольнике
Две высоты в остроугольном треугольнике
Остроугольный треугольник
Две высоты в остроугольном треугольникеДве высоты в остроугольном треугольникеДве высоты в остроугольном треугольнике
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник
Две высоты в остроугольном треугольникеДве высоты в остроугольном треугольникеДве высоты в остроугольном треугольнике
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник
Две высоты в остроугольном треугольникеДве высоты в остроугольном треугольникеДве высоты в остроугольном треугольнике
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Ортоцентр треугольника

Теорема 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1 , B1 и C1 , как показано на рисунке 3.

Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1 .

Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1 .

Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1 .

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Две высоты в остроугольном треугольнике

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Две высоты в остроугольном треугольнике

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Видео:Секретное свойство высоты в прямоугольном треугольникеСкачать

Секретное свойство высоты в прямоугольном треугольнике

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

Задача . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC .

Две высоты в остроугольном треугольнике

Решение . Рассмотрим треугольники ADC и BEC . Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

Две высоты в остроугольном треугольнике

Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники DCE и ABC подобны. Решение задачи завершено.

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Определение 3 . Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Две высоты в остроугольном треугольнике

Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

Следствие 2 . Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Две высоты в остроугольном треугольнике

Тогда справедливы равенства

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Из следствия 2 вытекает теорема 2.

Теорема 2 . Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

Доказательство . Воспользовавшись следствием 2, получаем:

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

что и требовалось доказать.

Видео:Высоты треугольника.Скачать

Высоты треугольника.

Задача Фаньяно

Задача Фаньяно . Рассматриваются всевозможные треугольники DEF , вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC .

Решение . Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D1 точку, симметричную точке D относительно прямой AC , и обозначим символом D2 точку, симметричную точке D относительно прямой AB (рис.8).

Две высоты в остроугольном треугольнике

Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D1D2 . Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис.9).

Две высоты в остроугольном треугольнике

Заметим также, что выполнено равенство

Кроме того, выполнено равенство

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Отсюда вытекает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC . Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC , проведённой из вершины A , а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A , длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

Две высоты в остроугольном треугольнике

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма . Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Две высоты в остроугольном треугольнике

В этом случае отрезок D1D2 проходит через точки F и E .

Доказательство . Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD2 , а также в силу равенства треугольников DEL и LED1 выполняются равенства:

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

Две высоты в остроугольном треугольнике

откуда вытекает, что углы AEF и D1EL , а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1 , F, E , D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Определение и свойства высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение высоты треугольника, продемонстрируем, как она выглядит в зависимости от вида треугольника, а также перечислим ее основные свойства.

Видео:Задача 6 №27350 ЕГЭ по математике. Урок 42Скачать

Задача 6 №27350 ЕГЭ по математике. Урок 42

Определение высоты треугольника

Высота треугольника – это перпендикуляр, который опущен из вершины фигуры на противоположную сторону.

Основание высоты – точка на противоположной стороне треугольника, которую пересекает высота (или точка пересечения их продолжений).

Обычно высота обозначается буквой h (иногда как ha – это означает, что она проведена к стороне a).

Видео:Задача, которую исключили из экзамена в АмерикеСкачать

Задача, которую исключили из экзамена в Америке

Высота в разных видах треугольников

В зависимости от вида фигуры высота может:

  • проходить внутри треугольника (в остроугольном △);
    Две высоты в остроугольном треугольнике
  • проходить за рамками треугольника (в тупоугольном △);
    Две высоты в остроугольном треугольнике
  • являться одним из катетов (в прямоугольном △), за исключением высоты, проведенной к гипотенузе.
    Две высоты в остроугольном треугольнике

Видео:ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном ТреугольникеСкачать

ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном Треугольнике

Свойства высоты треугольника

Свойство 1

Все три высоты в треугольнике (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (точка O на чертежах ниже).

  • в остроугольном треугольнике;
    Две высоты в остроугольном треугольнике
  • в тупоугольном треугольнике;
    Две высоты в остроугольном треугольнике
  • в прямоугольном треугольнике.
    Две высоты в остроугольном треугольнике
    Вершина A является, в т.ч., точкой пересечения высот.

Свойство 2

При пересечении двух высот в треугольнике, образуются следующие подобные треугольники:

  • ABE∼△CBF: по двум углам (∠ABC – общий, ∠AEB и ∠CFB являются прямыми).
    Две высоты в остроугольном треугольнике
  • AFG∼△CEG: по двум углам (∠AFG и ∠CEG – прямые, ∠AGF и ∠CGE равны как вертикальные углы).
  • ABC∼△BEF: по трем равным углам (∠ABC = ∠EBF, ∠ACB =BFE,CAB =BEF).
    Две высоты в остроугольном треугольнике
    Примечание: доказательство подобия последней пары треугольников достаточно длинное и не является целью данной статьи, поэтому подробно останавливаться на нем будем.

Свойство 3

Точка пересечения высот в остроугольном треугольнике является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Две высоты в остроугольном треугольнике

Ортотреугольник – треугольник, вершинами которого являются основания высот △ABC. В нашем случае – это △DEF.

Свойство 4

Точки, которые симметричны ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Две высоты в остроугольном треугольнике

Примечание: формулы для нахождения высоты треугольника подробно рассмотрены в нашей публикации – “Как найти высоту в треугольнике abc”.

📽️ Видео

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 9√69 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 9√69 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Высота медиана биссектриса в тупоугольном треугольникеСкачать

Высота  медиана биссектриса в  тупоугольном треугольнике

№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольникаСкачать

№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольника

Геометрия В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ. а) Докажите, что угол PACСкачать

Геометрия В остроугольном треугольнике ABC  проведены высоты AP и CQ. а) Докажите, что угол PAC

Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Построение биссектрисы в треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формулаСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формула

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»
Поделиться или сохранить к себе:
ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникДве высоты в остроугольном треугольнике
Прямоугольный треугольникДве высоты в остроугольном треугольнике