Как найти объем треугольника призмы

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Видео:Найдите объем треугольной призмыСкачать

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Видео:Нахождение площади поверхности треугольной призмы при помощи развёртки (видео 5)| Объём и ПлощадьСкачать

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ являются основаниями призмы .

Четырехугольники A₁B₁BA, B₁BCC₁ и A₁C₁CA являются боковыми гранями призмы .

Стороны граней являются ребрами призмы (A₁B₁, A₁C₁, C₁B₁, AA₁, CC₁, BB₁, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Видео:Как найти объём правильной треугольной призмыСкачать

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

Объем призмы = площадь основания х высота

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как S_бок=P_осн . h, то получим:

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы :

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см 2 , то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см 3 . Если площадь основания в мм 2 , то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм 3 и т. д.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Пример призмы

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Видео:В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмыСкачать

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение:

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S_осн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S₂ = S₁k 2 = S₁2 2 = 4S₁.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.

Формулы по математике для ЕГЭ и ОГЭ

Шар и сфера, объем шара, площадь сферы, формулы

Видео:11 класс, 31 урок, Объем прямой призмыСкачать

Нахождение объема призмы: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем призмы и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:Найти объем правильной треугольной пирамидыСкачать

Формула вычисления объема призмы

Объем призмы равняется произведению площади ее основания на высоту.

V = S_осн ⋅ h

• S_осн – площадь основания, т.е. в нашем случае – четырехугольника ABCD или EFGH (равны между собой);
• h – высота призмы.

Приведенная выше формула подходит для следующих видов призм:

• прямой – боковые ребра перпендикулярны основанию;
• правильной – прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник;
• наклонной – боковые ребра расположены под углом по отношению к основанию.

Видео:Объем прямой призмы.Скачать

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем призмы, если известно, что площадь ее основания равна 14 см 2 , а высота – 6 см.

Решение:
Подставляем в формулу известные нам значения и получаем:
V = 14 см 2 ⋅ 6 см = 84 см 3 .

Задание 2
Объем призмы равняется 106 см 3 . Найдите ее высоту, если известно, что площадь основания составляет 10 см 2 .

Решение:
Из формулы расчета объема следует, что высота равняется объему, разделенному на площадь основания:
h = V / S_осн = 106 см 3 / 10 см 2 = 10,6 см.

Видео:Как найти объем. Принцип Кавальери | Ботай со мной #050 | Борис Трушин |Скачать

Геометрические фигуры

Видео:Объем наклонной призмы. Урок 15. Геометрия 11 классСкачать

Объём призмы

Видео:11 класс. Геометрия. Объём пирамиды. 28.04.2020.Скачать

Что такое треугольная призма?

Перед тем как приводить формулу объема треугольной призмы, рассмотрим свойства этой фигуры.

Чтобы получить этот вид призмы, необходимо взять треугольник произвольной формы и параллельно самому себе перенести его на некоторое расстояние. Вершины треугольника в начальном и конечном положении следует соединить прямыми отрезками. Полученная объемная фигура называется треугольной призмой. Она состоит из пяти сторон. Две из них называются основаниями: они параллельны и равны друг другу. Основаниями рассматриваемой призмы являются треугольники. Три оставшиеся стороны – это параллелограммы.

Помимо сторон, рассматриваемая призма характеризуется шестью вершинами (по три для каждого основания) и девятью ребрами (6 ребер лежат в плоскостях оснований и 3 ребра образованы пересечением боковых сторон). Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то такая призма называется прямоугольной.

Отличие треугольной призмы от всех остальных фигур этого класса заключается в том, что она всегда является выпуклой (четырех-, пяти-, …, n-угольные призмы могут также быть вогнутыми).

Правильная треугольная призма – это прямоугольная фигура, в основании которой лежит равносторонний треугольник.

Видео:Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, равен 25. Найти объём кубаСкачать

Формула объема треугольной призмы правильной

Многогранник, который мы изучаем, будет правильным, если две его грани являются одинаковыми треугольниками равносторонними и три грани — это одинаковые прямоугольники. Формулу для объема такой призмы несложно получить из выражения общего вида, записанного в пункте выше. Чтобы это сделать, рассчитаем сначала площадь основания:

So = 1 / 2 × ha × a = 1 / 2 × √3 / 2 × a × a = √3 / 4 × a2

Значение высоты треугольника ha получено, исходя из того факта, что для равностороннего основания она является также медианой и биссектрисой. Таким образом, площадь So является функцией только одного параметра (стороны a).

Формулу объема для изучаемой призмы можно получить, если умножить на высоту выражение выше:

Поскольку для рассматриваемой фигуры высота равна длине бокового ребра b, то полученное выражение также можно переписать через параметры a и b.

Видео:Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.Скачать

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ являются основаниями призмы .

Четырехугольники A₁B₁BA, B₁BCC₁ и A₁C₁CA являются боковыми гранями призмы .

Стороны граней являются ребрами призмы (A₁B₁, A₁C₁, C₁B₁, AA₁, CC₁, BB₁, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Видео:🔴 Найдите объём правильной четырёхугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Найти объем призмы, зная площадь основания и высоту

Найти объем правильной треугольной призмы, зная ребра

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Объем правильной фигуры через значение ее диагонали

Треугольная призма является самой простой фигурой из своего класса, поэтому она обладает всего одним единственным типом диагонали. Это диагонали трех ее параллелограммов.

Предположим, что имеется правильная фигура, диагональ которой равна d (это диагональ прямоугольника), а высота равна h. Как рассчитать ее объем?

Для начала следует определить значение стороны основания a. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

Тогда формула объема треугольной призмы приобретает вид:

V = √3 / 4 × a2 × h = √3 / 4 × (d2 — h2) × h

В случае правильной призмы объем всегда является функцией двух параметров (h и d в данном выражении).

Видео:От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная .8 задание ЕГЭ математика профильСкачать

Виды призм

• Прямая призма – это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.

• Наклонная призма – это призма, в которой боковые грани не перпендикулярны к основанию.

• Правильная призма – это призма, в которой основания являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.

• Усечённая призма – это призма, в которой основания не параллельны друг другу. Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.

Видео:ЕГЭ-2021: Объём отсечённой призмы | Задание 8: СтереометрияСкачать

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Видео:Правильная треугольная призмаСкачать

Вычисление объема правильной пятиугольной призмы

• Больше информации о том, как найти апофему, если она не дана, можно найти здесь . [5]

• А = 1/2 х 5 х сторона х апофема.
• А= 1/2 х 5 х 6 см х 7 см = 105 см 2 .

• 105 см 2 x 10 см = 1050 см 3 .

Видео:12 Стереометрия на ЕГЭ по математике. Задача на вычисление объема призмыСкачать

Формула вычисления объема призмы

Объем призмы равняется произведению площади ее основания на высоту.

V = S_осн ⋅ h

• S_осн – площадь основания, т.е. в нашем случае – четырехугольника ABCD или EFGH (равны между собой);
• h – высота призмы.

Приведенная выше формула подходит для следующих видов призм:

• прямой – боковые ребра перпендикулярны основанию;
• правильной – прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник;
• наклонной – боковые ребра расположены под углом по отношению к основанию.

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

– площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

– длина бокового ребра.

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Как рассчитывать объем фигуры произвольного типа?

Часть пространства, которая ограничена плоскими сторонами геометрической фигуры, называется ее объемом. В общем случае для призмы абсолютно любого типа справедлива следующая формула для определения ее объема:

Как видно, она очень проста и содержит всего два множителя: So — площадь одного основания, h — высота призмы, то есть дистанция между ее основаниями.

Применительно к треугольной призме произвольной формы (наклонной и неправильной), для вычисления величины So можно воспользоваться универсальной формулой для треугольника:

Здесь a — сторона треугольника, ha — высота треугольника, опущенная на сторону a.

Расчет высоты h призмы можно провести с использованием теоремы Пифагора, если знать длину бокового ребра b и двугранные углы между основанием и боковыми гранями.

Вычисление объема трапецеидальной призмы

• Например, основание1 = 8 см, основание2 = 6 см, а высота = 10 см.
• 1/2 х ( 6 + 8 ) х 10 = 1/2 х 14 см х 10 см = 70 см 2 .

• 70 см 2 x 12 см = 840 см 3 .

Основные свойства призмы

• Основание призмы – равные многоугольники
• Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
• Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
• Боковые грани призмы – параллелограммы
• Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
• В прямой призме грани могут быть прямоугольниками или квадратами.

Объем треугольной призмы общего типа

Как найти объем треугольной призмы? Формула в общем виде аналогична таковой для призмы любого вида. Она имеет такую математическую запись:

Здесь h – это высота фигуры, то есть расстояние между ее основаниями, So – площадь треугольника.

Величину So можно найти, если известны некоторые параметры для треугольника, например одна его сторона и два угла или две стороны и один угол. Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на длину стороны, на которую опущена эта высота.

Что касается высоты h фигуры, то ее проще всего найти для прямоугольной призмы. В последнем случае h совпадает с длиной бокового ребра.

Площадь поверхности призмы

Формула. Площадь поверхности правильной призмы через высоту ( h ), длину стороны ( a ) и количество сторон ( n ):

Пример призмы

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Объем прямой фигуры с прямоугольным треугольником в основании

Прямоугольный треугольник представляет собой фигуру из трех сторон, две из которых пересекаются под прямым углом. Эти стороны называются катетами. Обозначим их a1 и a2. Третья сторона называется гипотенузой (a3). Из планиметрии известно каждому школьнику, что если взять половину произведения катетов, то можно получить площадь рассматриваемого треугольника, то есть:

Так как призма является прямой, то достаточно умножить на So длину ее бокового ребра b, чтобы получить объем фигуры:

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение:

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S_осн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S₂ = S₁k 2 = S₁2 2 = 4S₁.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.