Треугольник внутри другого треугольника

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения

Содержание:

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема 11.1 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть дан угол АОВ (рис. 112). Известно, что

Докажем, что

Предположим, что Пусть серединой отрезка является некоторая точка Тогда отрезок — средняя линия треугольника

Отсюда
Значит, через точку проходят две прямые, параллельные прямой что противоречит аксиоме параллельности прямых. Мы получили противоречие. Следовательно,

Предположим, что Пусть серединой отрезка является некоторая точка Тогда отрезок — средняя линия трапеции Отсюда Значит, через точку проходят две прямые, параллельные прямой Мы пришли к противоречию. Следовательно,
Аналогично можно доказать, что и т. д.

Определение. Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения.

Фалес Милетский
(ок. 625 — ок. 547 до н. э.)

Древнегреческий философ, ученый, купец и государственный деятель. Родом из Милета — порта в Малой Азии на побережье Эгейского моря.

Если, например, АВ = 8 см, CD = 6 см, то отношение отрезка АВ к отрезку CD равно Записывают:
Если то говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны соответственно отрезкам

Аналогично можно говорить о пропорциональности большего количества отрезков. Например, если то говорят, что отрезки АВ, CD, MN пропорциональны соответственно отрезкам

Теорема 11.2 (теорема о пропорциональных отрезках). Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии. Мы приведем доказательство для частного случая.

Пусть стороны угла MON пересечены параллельными прямыми (рис. 113). Докажем, что:
Докажем первое из этих равенств (остальные два можно доказать аналогично).

Пусть для отрезков ОА и АВ существует такой отрезок длиной , который укладывается целое число раз в каждом из них. Имеем: — некоторые натуральные числа.

Тогда отрезки ОА и АВ можно разделить соответственно на равных отрезков, каждый из которых равен .

Через концы полученных отрезков проведем прямые, параллельные прямой
(рис. 114). По теореме Фалеса эти прямые делят отрезки соответственно на равных отрезков. Пусть каждый из этих отрезков равен Отсюда

Имеем: Отсюда Тогда

Почему же приведенные рассуждения нельзя считать полным доказательством теоремы? Дело в том, что не для любых двух отрезков существует отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. В частности, для отрезков ОА и АВ такой отрезок может и не существовать. Доказательство для этого случая выходит за пределы рассматриваемого курса.

Если рисунок 113 дополнить прямой параллельной прямой (рис. 115), то, рассуждая аналогично, получим, например, что

Теорема 11.2 остается справедливой, если вместо сторон угла взять две любые прямые.

Теорема 11.3. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Доказательство. На рисунке 116 медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажем, что медиана также проходит через точку М и
Проведем Поскольку то по теореме Фалеса то есть Поскольку

По теореме о пропорциональных отрезках

Таким образом, медиана пересекая медиану делит ее в отношении 2:1, считая от вершины В.
Аналогично можно доказать (сделайте это самостоятельно), что медиана также делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины В (рис. 117).

А это означает, что все три медианы треугольника АВС проходят через одну точку. Мы доказали, что эта точка делит медиану в отношении 2:1.

Аналогично можно доказать, что эта точка делит в отношении 2 : 1 также медианы и

На рисунке 118 изображен треугольник АВС. Точка D принадлежит стороне АС. В этом случае говорят, что стороны АВ и ВС прилежат соответственно к отрезкам AD и DC.

Теорема 11.4 (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Доказательство. На рисунке 119 отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что

Через точку С проведем прямую СЕ, параллельную прямой BD. Пусть проведенная прямая пересекает прямую АВ в точке Е. Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и СЕ и секущей ВС; утлы 3 и 4 равны как соответственные при параллельных прямых BD и СЕ и секущей АЕ. Поскольку BD — биссектриса треугольника АВС, то Отсюда Тогда треугольник СВЕ — равнобедренный с равными сторонами ВС и BE. По теореме о пропорциональных отрезках Поскольку BE = ВС, то

Пример:

Разделите данный отрезок на три равных отрезка.

Решение:

Через конец А данного отрезка АВ проведем луч АС, не принадлежащий прямой АВ (рис. 120). Отметим на луче АС произвольную точку А₁. Затем отметим точки так, чтобы Проведем отрезок А₂В. Через точки A₁ и А₂ проведем прямые, параллельные прямой Они пересекут отрезок АВ в точках В₁ и В₂ соответственно. По теореме Фалеса

Подобные треугольники

На рисунке 128 вы видите уменьшенное изображение обложки учебника по геометрии. Вообще в повседневной жизни часто встречаются объекты, имеющие одинаковую форму, но разные размеры (рис. 129).

Геометрические фигуры, которые имеют одинаковую форму, называют подобными. Например, подобными являются любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника (рис. 130).

На рисунке 131 изображены треугольники у которых равны углы:

Стороны лежат против равных углов Такие стороны называют соответственными. Соответственными также являются стороны

Определение. Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Например, на рисунке 132 изображены треугольники у которых и По определению эти треугольники подобны. Пишут: (читают: «треугольник АВС подобен треугольнику »).

Число 2, которому равно отношение соответственных сторон, называют коэффициентом подобия. Говорят, что треугольник АВС подобен треугольнику с коэффициентом подобия, равным 2.
Пишут:
Поскольку то можно также сказать, что треугольник подобен треугольнику АВС с коэффициентом Пишут:

Из определения равных треугольников следует, что любые два равных треугольника подобны с коэффициентом подобия, равным 1.

Если

Докажите это свойство самостоятельно.

Лемма 1 о подобных треугольниках. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

1 Леммой называют вспомогательную теорему, которую используют для доказательства других теорем.

Доказательство. На рисунке 133 изображен треугольник АВС, отрезок параллелен стороне АС. Докажем, что

Углы равны как соответственные при параллельных прямых и секущих АВ и СВ соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников соответственно равны.

Покажем, что стороны ВА и ВС пропорциональны соответственно сторонам
Из теоремы о пропорциональных отрезках (теорема 11.2) следует, что Отсюда

Проведем Получаем: По определению четырехугольник — параллелограмм. Тогда Отсюда
Таким образом, мы доказали, что
Следовательно, в треугольниках углы соответственно равны и соответственные стороны пропорциональны. Поэтому по определению эти треугольники подобны.

Пример:

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение:

Пусть треугольник подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k. Тогда откуда

Пусть Р₁ — периметр треугольника Р — периметр треугольника АВС. Имеем: то есть

Первый признак подобия треугольников

Если для треугольников выполняются условия то по определению эти треугольники подобны.

Можно ли по меньшему количеству условий определять подобие треугольников? На этот вопрос отвечают признаки подобия треугольников.

Теорема 13.1 (первый признак подобия треугольников: по двум углам). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники , у которых Докажем, что

Если то треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, Отложим на стороне ВА отрезок равный стороне Через точку проведем прямую параллельную стороне АС (рис. 140).

Углы — соответственные при параллельных прямых и секущей Отсюда Але Получаем, что Таким образом, треугольники и равны по второму признаку равенства треугольников. По лемме о подобных треугольниках Следовательно,

Пример №1

Средняя линия трапеции равна 24 см, а ее диагонали пересекаются в точке О. Найдите основания трапеции, если АО : ОС = 5:3.

Решение:

Рассмотрим треугольники AOD и СОВ (рис. 141). Углы AOD и ВОС равны как вертикальные, углы CAD и АСВ равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС. Следовательно, треугольники AOD и СОВ подобны по двум углам.
Тогда
Пусть ВС = Зх см, тогда AD = 5х см.
Поскольку средняя линия трапеции равна 24 см, то ВС + AD = 48 см.
Имеем: Зх + 5х = 48. Отсюда х = 6.
Следовательно, ВС = 18 см, AD = 30 см.
Ответ: 18 см, 30 см.

Пример №2 (свойство пересекающихся хорд)

Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, то AM • МВ = DM • МС (рис. 142).

Решение:

Рассмотрим треугольники АСМ и DBM. Углы 3 и 4 равны как вертикальные, углы 1 и 2 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АСМ и DBM подобны по первому признаку подобия треугольников.

Тогда
Отсюда AM • МВ = DM • МС.

Пример №3 (свойство касательной и секущей)

Докажите, что если через точку А к окружности проведены касательная AM (М — точка касания) и прямая (секущая), пересекающая окружность в точках В и С (рис. 143), то

Решение:

Рассмотрим треугольники AMВ и АСМ. У них угол А общий. По свойству угла между касательной и хордой (см. ключевую задачу 1 п. 9) Угол МСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу МВ, поэтому Отсюда Следовательно, треугольники АМВ и АСМ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда
Отсюда

Теорема Менелая

Точки, принадлежащие одной прямой, называют коллинеарными. Две точки коллинеарны всегда.

В этом рассказе вы узнаете об одной знаменитой теореме, которая служит критерием коллинеарности трех точек. Эта теорема носит имя древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского ( вв. н. э.).

Теорема Менелая. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки а на продолжении стороны АС — точку Для того чтобы точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Доказательство. Сначала докажем необходимое условие коллинеарности: если точки лежат на одной прямой, то выполняется равенство (*).
Из вершин треугольника АВС опустим перпендикуляры AM, BN и СР на прямую (рис. 153, а). Поскольку то треугольники АМС₁ и BNC₁ подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда
Из подобия треугольников BNA₁ и СРА₁ получаем:
Из подобия треугольников следует равенство

Перемножив почленно левые и правые части пропорции

получаем равенство

Теперь докажем достаточное условие коллинеарности: если выполняется равенство (*), то точки лежат на одной прямой.
Пусть прямая пересекает сторону ВС треугольника АВС в некоторой точке A₂ (рис. 153, б). Поскольку точки лежат на одной прямой, то из доказанного выше можно записать:

Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, что то есть точки делят отрезок ВС в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Отсюда следует, что прямая пересекает сторону ВС в точке
Заметим, что теорема остается справедливой и тогда, когда точки лежат не на сторонах треугольника АВС, а на их продолжениях (рис. 154).

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Клавдий Птолемей
(ок. 100 — ок. 178)

Древнегреческий математик и астроном. Автор геоцентрической модели мира. Разработал математическую теорию движения планет, позволяющую вычислять
их положение. Создал прообраз современной системы координат.

Доказательство. На рисунке 158 изображен вписанный в окружность четырехугольник ABCD. Докажем, что

На диагонали АС отметим точку К так, что Углы 3 и 4 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АВК и DBC подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда то есть

Поскольку Углы 5 и 6 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому Отсюда то есть

Сложив равенства (1) и (2), получаем:

Второй и третий признаки подобия треугольников

Теорема 14.1 (второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники в которых Докажем, что

Если k = 1, то а следовательно, треугольники равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1, то есть и На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки так, что (рис. 160). Тогда

Покажем, что Предположим, что это не так. Тогда на стороне ВС отметим точку М такую, что
Имеем: тогда то есть
Следовательно, буквами М и С₂ обозначена одна и та же точка. Тогда
По лемме о подобных треугольниках получаем, что

Треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда

Теорема 14.2 (третий признак подобия треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники в которых Докажем, что

Если k = 1, то треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1. На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки такие, что (рис. 161). Тогда

В треугольниках угол В общий, прилежащие к нему стороны пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников эти треугольники подобны, причем коэффициент подобия равен k. Тогда

Учитывая, что по условию получаем:
Следовательно, треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников. С учетом того, что получаем:

Пример №4

Докажите, что отрезок, соединяющим основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Решение:

На рисунке 162 отрезки — высоты треугольника АВС. Докажем, что
В прямоугольных треугольниках острый угол В общий. Следовательно, треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда

Тогда Угол В — общий для треугольников Следовательно, треугольники АВС и подобны по второму признаку подобия треугольников.

Прямая Эйлера

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника — это центр окружности, описанной около треугольника. Обозначим эту точку буквой О.

Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной окружности. Обозначим эту точку буквой J.

Точку пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называют ортоцентром треугольника. Обозначим эту точку буквой Н.

Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника. Обозначим эту точку буквой М.

Точки О, J, Н, М называют замечательными точками треугольника.

Использование такого эмоционального эпитета вполне обосновано. Ведь эти точки обладают целым рядом красивых свойств. Разве не замечательно уже хотя бы то, что они существуют в любом треугольнике?

Рассмотрим одну из многих теорем о замечательных точках треугольника.

Теорема. В любом треугольнике центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой.

Эту прямую называют прямой Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783)
Выдающийся математик, физик, механик, астроном.

Доказательство. Для равнобедренного треугольника доказываемое утверждение очевидно.
Если данный треугольник АВС прямоугольный то его ортоцентр — это точка С, центр описанной окружности — середина гипотенузы АВ. Тогда понятно, что все три точки, о которых идет речь в теореме, принадлежат медиане, проведенной к гипотенузе.

Докажем теорему для остроугольного разностороннего треугольника.

Лемма. Если Н — ортоцентр треугольника ABC, — перпендикуляр, опущенный из центра О описанной окружности на сторону ВС, то АН = (рис. 167).

Доказательство. Выполним дополнительное построение, уже знакомое вам из решения ключевой задачи пункта 2: через каждую вершину треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник (рис. 167). В указанной ключевой задаче было показано, что ортоцентр Н треугольника АВС является центром описанной окружности треугольника . Для этой окружности угол является центральным, а угол — вписанным. Поскольку оба угла опираются на одну и ту же дугу, то Углы ВАС и равны как противолежащие углы параллелограмма поэтому Поскольку то равнобедренные треугольники подобны с коэффициентом подобия 2. Поскольку отрезки АН и — соответственные высоты подобных треугольников, то АН =
Докажем теперь основную теорему.

Поскольку точка М₁ — середина стороны ВС, то отрезок AM₁ — медиана треугольника АВС (рис. 168). Пусть М — точка пересечения отрезков Поскольку то Углы равны как вертикальные. Следовательно, треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Значит, точка М делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины А. Отсюда точка М — центроид треугольника АВС.
Доказательство для случая тупоугольного треугольника аналогично.

Обратим внимание на то, что мы не только установили факт принадлежности точек О, М, Н одной прямой, но и доказали равенство НМ = 2МО,
которое является еще одним свойством замечательных точек треугольника.

Напомню:

Теорема Фалеса

• Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема о пропорциональных отрезках

• Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Свойство медиан треугольника

• Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Свойство биссектрисы треугольника

• Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Подобные треугольники

• Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Лемма о подобных треугольниках

• Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Первый признак подобия треугольников: по двум углам

• Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними

• Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников: по трем сторонам

• Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним, что отношением отрезков и называют отношение их длин, то есть

Говорят, что отрезки и пропорциональные отрезкам и

Например, если

то действительно

Понятие пропорциональности применили и к большему количеству отрезков. Например, три отрезка и пропорциональны трем отрезкам и если

Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые и пересекают стороны угла (рис. 123). Докажем, что

1) Рассмотрим случай, когда длины отрезков и являются рациональными числами (целыми или дробными). Тогда существует отрезок длины который можно отложить целое число раз и на отрезке и на отрезке

Пусть и — рациональные числа. Запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями: Поэтому

Имеем:

2) Разделим отрезок на равных частей длины а отрезок — на равных частей длины Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой (рис. 123). По теореме Фалеса они разобьют отрезок на равных отрезков длины причем будет состоять из таких отрезков, а — из таких отрезков.

Имеем:

3) Найдем отношение и Будем иметь:

и

Следовательно,

Учитывая, что в пропорции средние члены можно поменять местами, из доказанного равенства приходим к следующему.

Следствие 1.

Следствие 2.

Доказательство:

Поскольку то

Прибавим к обеим частям этого равенства по единице:

то есть

Учитывая, что

будем иметь:

Откуда

Рассмотрим, как построить один из четырех отрезков, образующих пропорцию, если известны три из них.

Пример №5

Дано отрезки Постройте отрезок

Решение:

Поскольку то и

Для построения отрезка можно использовать как обобщенную теорему Фалеса, так и одно из ее следствий. Используем, например, следствие 1.

1) Строим неразвернутый угол с вершиной (рис. 124). Откладываем на одной его стороне отрезок а на другой — отрезки и

2) Проведем прямую Через точку параллельно проведем прямую, точку пересечения которой со стороной угла обозначим через то есть

3) По следствию 1 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

откуда Следовательно,

Построенный отрезок называют четвертым пропорциональным отрезков и так как для этих отрезков верно равенство:

Отношения и пропорции в геометрии использовались с давних времен. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса в Накаде и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э.), персидские дворцы, древнеиндийские достопримечательности и другие памятники древности.

В седьмой книге «Начал» Евклид изложил арифметическую теорию учения об отношениях, которую применил только к соразмерным величинам и целым числам. Эта теория создана на основе практики действий с дробями и применялась для исследования свойств целых чисел.

В пятой книге Евклид изложил общую теорию отношений и пропорций, которую примерно за 100 лет до него разработал древнегреческий математик, механик и астроном Евдокс (408 г. — 355 г. до н. э.). Эта теория легла в основу учения о подобии фигур, изложенного Евклидом в шестой книге «Начал», где также была решена и задача о делении отрезка в данном отношении.

Пропорциональность отрезков прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя многие историки-математики заслугу данного открытия приписывают Фалесу Милетскому.

Подобные треугольники

В повседневной жизни нам встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный мяч и металлический шарик, картина и ее фотоснимок, самолет и его модель, географические карты разного масштаба. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются все квадраты, все окружности, все отрезки.

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Это значит, что если треугольники и подобны (рис. 127), то

и

Пусть значение каждого из полученных отношений соответствующих сторон равно Число называют коэффициентом подобия треугольника к треугольнику или коэффициентом подобия треугольников и

Подобие треугольников принято обозначать символом В нашем случае Заметим, что из соотношения следует соотношение

Пример №6

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон этих треугольников.

Доказательство:

Пусть и

Тогда

Пример №7

Стороны треугольника относятся как 4 : 7 : 9, а большая сторона подобного ему треугольника равна 27 см. Найдите две другие стороны второго треугольника.

Решение:

Так как по условию и то

Обозначим По условию тогда (см). Имеем:

Ответ. 12 см, 21 см.

Заметим, что подобные треугольники легко создавать с помощью современных компьютерных программ, в частности графических редакторов. Для этого достаточно построенный треугольник растянуть или сжать, «потянув» за один из угловых маркеров.

Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры использовались еще в вавилонской и египетской архитектурах. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II есть стена, покрытая сеткой квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и других. Обобщил эти сведения Евклид в шестой книге «Начал». Начинается теория подобия следующим определением:

«Подобные прямолинейные фигуры — суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

Признаки подобия треугольников

Подобие треугольников, как и равенство треугольников, можно установить с помощью признаков.

Прежде чем их рассмотреть, сформулируем и докажем лемму, то есть вспомогательное утверждение, являющееся верным и используемое для доказательства одной или нескольких теорем.

Лемма. Прямая, параллельная стороне треугольника, отрезает от него подобный ему треугольник.

Доказательство:

Пусть прямая пересекает стороны и треугольника соответственно в точках и (рис. 129). Докажем, что

1) — общий для обоих треугольников, (как соответственные углы при параллельных прямых и и секущей (аналогично, но для секущей Следовательно, три угла треугольника равны трем углам треугольника

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

3) Докажем, что

Через точку проведем прямую, параллельную и пересекающую в точке Так как — параллелограмм, то По обобщенной теореме Фалеса:

Прибавим число 1 к обеим частям этого равенства. Получим:

Но Следовательно,

4) Окончательно имеем: и а значит,

Теорема 1 (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и у которых и (рис. 130). Докажем, что

1) Отложим на стороне треугольника отрезок и проведем через прямую, параллельную (рис. 131). Тогда (по лемме).

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса Но (по построению). Поэтому По условию следовательно, откуда

3) Так как и то (по двум сторонам между ними).

AAjBjCj (по двум сторонам и углу между ними).

4) Но следовательно,

Следствие 1. Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.

Следствие 2. Если угол при вершине одного равнобедренного треугольника равен углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 2 (признак подобия треугольников по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и у которых (рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем:

2) но Поэтому

3) Тогда (по стороне и двум прилежащим углам).

4) Следовательно,

Следствие 1. Равносторонние треугольники подобны.

Следствие 2. Если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Следствие 3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 3 (признак подобия треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и у которых (рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем:

2) Тогда но поэтому

Учитывая, что

имеем:

3) Тогда (по трем сторонам).

4) Следовательно,

Пример №8

Стороны одного треугольника равны 9 см, 15 см и 18 см, а стороны другого относятся как 3:5:6. Подобны ли эти треугольники?

Решение:

Обозначим стороны второго треугольника и Но значит, треугольники подобны (по трем сторонам).

Пример №9

Стороны параллелограмма равны 15 см и 10 см, а высота, проведенная к большей стороне, — 8 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть — параллелограмм (рис. 132). — высота параллелограмма. Проведем — вторую высоту параллелограмма.

(как прямоугольные с общим острым углом). Тогда то есть откуда

Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных друг другу прямоугольных треугольника, каждый из которых подобный данному треугольнику.

Доказательство:

Пусть — прямоугольный треугольник — высота треугольника (рис. 145). Докажем, что и

1) У прямоугольных треугольников и угол — общий. Поэтому (по острому углу).

2) Аналогично -общий, Откуда

3) У треугольников и

Поэтому (по острому углу).

Отрезок называют проекцией катета на гипотенузу а отрезок — проекцией катета на гипотенузу

Отрезок называют средним пропорциональным (или средним геометрическим) отрезков и , если

Теорема (о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике). 1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу. 2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145.

1) (по лемме). Поэтому или

2) (по лемме). Поэтому или

(по лемме). Поэтому или

Пример №10

— высота прямоугольного треугольника

с прямым углом Докажите, что

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145. Так как

то а так как то

Поэтому откуда

Пример №11

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Рассмотрим рисунок 145, где

1)

2) то есть Так как то

3) Так как то

4)

При решении задач этого параграфа советуем использовать таблицу квадратов натуральных чисел.

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство:

Пусть — биссектриса треугольника (рис. 147). Докажем, что

1) Проведем через точку прямую, параллельную и продлим биссектрису до пересечения с этой прямой в точке Тогда (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей

2) — равнобедренный (так как и то а значит,

3) (как вертикальные), поэтому (по двум углам). Следовательно,

Но таким образом

Из пропорции можно получить и такую:

Пример №12

В треугольнике — биссектриса треугольника. Найдите и

Решение:

Рассмотрим (рис. 147). Пусть

тогда Так как имеем уравнение: откуда

Следовательно,

Ответ. 6 см, 3 см.

Пример №13

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 24 см, а боковая сторона относится к основанию как 3 : 2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

Пусть в треугольнике медиана (рис. 148).

Тогда является также высотой и биссектрисой. Поскольку точка — центр вписанной окружности — является точкой пересечения биссектрис треугольника, то — радиус окружности.

Учитывая, что обозначим Так как — середина то

— биссектриса треугольника поэтому

Пусть Тогда Имеем: откуда

Применение подобия треугольников к решению задач

Рассмотрим некоторые интересные свойства геометрических фигур, которые легко получить из подобия треугольников, и применим подобие к решению практических задач.

1. Пропорциональность отрезков хорд.

Теорема 1 (о пропорциональности отрезков хорд). Если хорды и пересекаются в точке то

Доказательство:

Пусть хорды и пересекаются в точке (рис. 150). Рассмотрим и у которых (как вертикальные), (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Тогда (по двум углам), а значит, откуда

Следствие. Если — центр окружности, — ее радиус, — хорда, то где

Доказательство:

Проведем через точку диаметр (рис. 151). Тогда

Пример №14

AL — биссектриса треугольника Докажите формулу биссектрисы:

Доказательство:

Опишем около треугольника окружность и продлим до пересечения с окружностью в точке (рис. 152).

1) (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (по условию). Поэтому (по двум углам).

2) Имеем: откуда

Но по теореме о пропорциональности отрезков хорд:

то есть

2. Пропорциональность отрезков секущей и касательной.

Теорема 2 (о пропорциональности отрезков секущей и касательной). Если из точки лежащей вне круга, провести секущую, пересекающую окружность в точках и и касательную где — точка касания, то

Доказательство:

Рассмотрим рис. 153. (как вписанный угол), , то

есть Поэтому (по двум углам),

значит, Откуда

Следствие 1. Если из точки провести две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках и а другая — в точках и то

Так как по теореме каждое из произведений и равно то следствие очевидно.

Следствие 2. Если — центр окружности, — ее радиус, — касательная, — точка касания, то где

Доказательство:

Проведем из точки через центр окружности секущую (рис. 154), и — точки ее пересечения с окружностью. Тогда по теореме:

но поэтому

3. Измерительные работы на местности.

Предположим, что нам необходимо измерить высоту некоторого предмета, например высоту ели (рис. 155). Для этого установим на некотором расстоянии от ели жердь с планкой, которая вращается вокруг точки Направим планку на верхнюю точку ели, как показано на рисунке 155. На земле отметим точку в которой планка упирается в поверхность земли.

Рассмотрим и у них общий, поэтому (по острому углу).

Тогда откуда

Если, например, то

4. Задачи на построение.

Пример №15

Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

На рисунке 156 изображены два данных угла и данный отрезок. Построим треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а медиана, проведенная из вершины третьего угла, равна данному отрезку.

1) Строим некоторый треугольник, подобный искомому. Для этого построим произвольный треугольник у которого углы и равны данным (рис. 157).

2) Проводим медиану треугольника и откладываем на прямой отрезок равный данному.

3) Через точку проводим прямую, параллельную Она пересекает стороны угла в некоторых точках и (рис. 157).

4) Так как то Значит, два угла треугольника равны данным.

Докажем, что — середина

(по двум углам). Поэтому

(по двум углам). Поэтому

Получаем, что то есть Но (по построению), поэтому и

Следовательно, — медиана треугольника и треугольник — искомый.

Подобие треугольников

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а второе — деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, а второе больше напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер, немецкий астроном и математик

В этой главе вы начнете знакомиться с подобием фигур. Отношение подобия является одной из важнейших характеристик евклидовой геометрии. Проявления подобия часто встречаются и в повседневной жизни. Например, авиамодели самолетов подобны реальным машинам, а репродукции классических картин подобны оригиналам.

В основе теории подобия лежит обобщение теоремы Фалеса. Благодаря свойствам подобных треугольников устанавливаются важные геометрические соотношения. В частности, с помощью подобия будет доказана знаменитая теорема Пифагора. Правда, такое доказательство не является классическим, ведь во времена Пифагора некоторые геометрические факты, которые мы будем рассматривать, еще не были открыты. Но сегодня даже обычный школьник может овладеть знаниями, неизвестными великому Пифагору.

Определение подобных треугольники

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним некоторые понятия, связанные с делением и пропорциями, которые понадобятся нам для дальнейших рассуждений.

Отношением отрезков длиной называется частное их длин, т.е. число

Иначе говоря, отношение показывает, сколько раз отрезок и его части укладываются в отрезке Действительно, если отрезок принять за единицу измерения, то данное отношение будет равняться длине отрезка

Отрезки длиной пропорциональны отрезкам длиной если

Например, отрезки длиной 8 см и 12 см пропорциональны отрезкам длиной 10 см и 15 см, поскольку

Сформулируем обобщенную теорему Фалеса для неравных отрезков, которые отсекаются параллельными прямыми на сторонах угла.

Теорема (о пропорциональных отрезках)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки:

Утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 90.

Приведем рассуждения, на которых основывается доказательство этой теоремы.

Отношение показывает, сколько раз отрезок укладывается в отрезке а отношение сколько раз отрезок укладывается в отрезке Теорема Фалеса устанавливает соответствие между процессами измерения отрезков Действительно, прямые, параллельные «переводят» равные отрезки на одной стороне угла в равные отрезки на другой его стороне: отрезок «переходит» в отрезок десятая часть отрезка — в десятую часть отрезка и т.д. Поэтому если отрезок укладывается в отрезке раз, то отрезок укладывается в отрезке также раз.

Полное доказательство этой теоремы представлено в Приложении 1.
Замечание.
Поскольку то и следствие данной теоремы можно записать в виде На такое равенство мы также будем ссылаться как на теорему о пропорциональных отрезках.

Пример №16

Даны отрезки Постройте отрезок

Решение:

Построим произвольный неразвернутый угол и отложим на одной его стороне отрезки и а на другой стороне — отрезок (рис. 91).

Проведем прямую и прямую, которая параллельна проходит через точку и пересекает другую сторону угла в точке По теореме о пропорциональных отрезках откуда Следовательно, отрезок — искомый.

Заметим, что в задаче величина является четвертым членом пропорции Поэтому построенный отрезок называют четвертым пропорциональным отрезком.

Вычисление подобных треугольников

Равные фигуры представляются в нашем воображении как фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры. Но в повседневной жизни часто встречаются вещи, у которых одинаковая форма, но разные размеры: например, чайное блюдце и тарелка, одинаковые модели обуви разных размеров и т. п. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Например, подобными друг другу являются любые два квадрата, любые две окружности. Введем для начала понятие о подобных треугольниках. Определение

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

На рисунке 92 изображены подобные треугольники

Подобие этих треугольников кратко обозначают так: В этой записи, как и в записи равенства треугольников, названия треугольников будем записывать так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает:

Число равное отношению соответствующих сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия.

Очевидно, что два равных треугольника являются подобными с коэффициентом подобия 1.

Опорная задача

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите.

Решение:

Пусть с коэффициентом подобия Это означает, что т.е. Имеем:

Отметим также, что отношение соответствующих линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и т.п.) подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите это самостоятельно.

Подобие треугольников по двум углам

Для доказательства подобия двух треугольников, как и для доказательства их равенства, не обязательно проверять все соотношения сторон и углов согласно определению — достаточно проверить лишь некоторые из них. Какие именно? Ответ на этот вопрос дают три признака подобия треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники и в которых , (рис. 99).

Докажем подобие этих треугольников. Из теоремы о сумме углов треугольника очевидно следует, что Отложим на луче отрезок равный и проведем прямую параллельную Тогда как соответственные углы при параллельных прямых, поэтому по второму признаку, откуда По теореме о пропорциональных отрезках следовательно Аналогично доказываем что Таким образом по определению подобных треугольников Теорема доказана.

Пример №17

Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки длиной 4 см и 7 см. Меньшее основание трапеции равно 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть в трапеции диагонали пересекаются в точке (рис. 100).

Рассмотрим треугольники В них углы при вершине равны как вертикальные, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Тогда по двум углам. Отсюда следует, что По скольку по условию значит, Тогда
Средняя линия трапеции равна полусумме ее основании, т.е.

Ответ: 11 см.

Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники в которых (рис. 101).

Докажем подобие этих треугольников. Отложим на луче отрезок равный и проведем прямую параллельную Тогда как соответственные углы при параллельных прямых, поэтому по двум углам. Отсюда а поскольку Тогда по первому признаку равенства треугольников, следовательно, по двум углам. Теорема доказана.

Пример №18

Прямая, пересекающая стороны треугольника делит каждую из них в отношении начиная от вершины Докажите, что эта прямая параллельна

Решение:

Пусть прямая пересекает стороны треугольника в точках соответственно (рис. 102). Поскольку по условию задачи Тогда треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует, что Но эти углы являются соответственными при прямых и секущей Следовательно, по признаку параллельности прямых.

Подобие треугольников по трем сторонам

Теорема (признак подобия треугольников по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть в треугольниках (рис. 103).

Докажем подобие этих треугольников. Как и в предыдущих теоремах, отложим на луче отрезок равный отрезку и проведем прямую параллельную Тогда как соответственные углы при параллельных прямых, поэтому по двум углам. Отсюда а поскольку то Учитывая, что имеем Аналогично доказываем, что Тогда по третьему признаку равенства треугольников, следовательно, по двум углам. Теорема доказана.

Таким образом, для доказательства всех трех признаков подобия треугольников использован один и тот же подход, а доказательство каждого из признаков подобия основывается на соответствующем признаке равенства треугольников.

В ходе доказательства признаков подобия треугольников мы показали также, что прямая, которая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны, отсекает от данного треугольника подобный.

Подобие прямоугольных треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Признаки подобия прямоугольных треугольников являются следствиями соответствующих признаков подобия произвольных треугольников. Наиболее важным признаком подобия прямоугольных треугольников является следующий.

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.

Действительно, поскольку в прямоугольном треугольнике один угол прямой, этот признак следует из признака подобия треугольников по двум углам.

Другие признаки подобия прямоугольных треугольников сформулируйте и докажите самостоятельно (задачи № 395, 413).

Пример №19

В треугольнике с острым углом проведены высоты (рис. 110). Докажите, что

Решение:

Рассмотрим прямоугольные треугольники и Поскольку они имеют общий острый угол они подобны. Из этого следует, что соответствующие катеты и гипотенузы этих треугольников пропорциональны, т.е.

Рассмотрим теперь треугольники У них также общий угол , а по только что доказанному стороны, прилегающие к этому углу, пропорциональны. Следовательно, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют метрическими). Сначала введем несколько вспомогательных понятий.

Отрезок называется средним пропорциональным между отрезками если

В прямоугольном треугольнике с катетами и гипотенузой проведем высоту и обозначим ее (рис. 111).

Отрезки на которые эта высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу. Проекции катетов на гипотенузу обозначают соответственно.

Теорема (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике) В прямоугольном треугольнике:

1) высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу:

2) катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

3) высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу:

По признаку подобия прямоугольных треугольников (у этих треугольников общий острый угол (у этих треугольников общий острый угол и (острые углы этих треугольников равны острым углам треугольника Из подобия треугольников имеем: откуда Аналогично из подобия треугольников и получаем И наконец, из подобия треугольников и имеем откуда Теорема доказана.

В ходе доказательства теоремы мы установили интересный факт: высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Среди всех видов треугольников такое свойство имеет лишь прямоугольный.

Пример №20

Найдите периметр прямоугольного треугольника, в котором катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу равна 9 см.

Решение:

Пусть в треугольнике (рис. 112).

Из метрического соотношения в треугольнике получаем: откуда тогда Из соотношения имеем: откуда Следовательно,

Ответ: 60 см.

Теорема Пифагора и ее следствия

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему Пифагора.

Теорема (Пифагора)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Согласно доказанным метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике с катетами и гипотенузой (рис. 117)

Складывая эти равенства почленно, имеем:

Соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника было известно задолго до Пифагора. Но именно Пифагору удалось доказать его, опираясь на понятие площади (к этому доказательству мы вернемся в следующей главе). Всего же на сегодня известно более 150 способов доказательства теоремы Пифагора. С некоторыми из них вы сможете познакомиться в п. 18.3.

Доказательство, которое мы рассмотрели, является по сути алгебраическим. Собственно, важность теоремы Пифагора заключается, в частности, в том, что она значительно расширяет возможности применения алгебры в геометрии.

С ее помощью можно найти любую сторону прямоугольного треугольника, зная две другие стороны. Например, если то

Теорема Пифагора позволяет использовать для решения геометрических задач и другие алгебраические приемы, например составление уравнений.

Пример №21

Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к наибольшей стороне.

Решение:

Пусть — высота треугольника в котором (рис. 118).

Поскольку — наибольшая сторона треугольника, то точка лежит на этой стороне (докажите это самостоятельно). Примем длину отрезка равной см, тогда По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника имеем: а из прямоугольного треугольника имеем: т.е. Приравнивая два выражения для получаем:

Таким образом,

Тогда из треугольника по теореме Пифагора имеем:

Ответ: 12 см.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Наряду с теоремой Пифагора не менее важной является обратная теорема. Эту теорему можно рассматривать как признак прямоугольного треугольника.

Теорема (обратная теореме Пифагора)

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный: если

Пусть в треугольнике (рис. 119, а) Докажем, что угол прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом в котором (рис. 119, б). По теореме Пифагора а с учетом равенства двух сторон рассматриваемых треугольников Тогда по трем сторонам, откуда

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный: Об этом знали еще древние египтяне: для построения прямых углов на местности они делили бечевку на 12 равных частей, связывали ее концы, а потом с помощью кольев натягивали ее так, чтобы получился прямоугольный треугольник (рис. 120). Именно поэтому прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам 3, 4 и 5, называют египетскими треугольниками. Вообще, тройки чисел для которых выполняется равенство принято называть пифагоровыми тройками, а треугольники, длины сторон которых являются пифагоровыми тройками,— пифагоровыми треугольниками. Попробуйте самостоятельно составить несколько пифагоровых троек чисел (поможет в этом решение задачи № 443).

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка не лежит на прямой — перпендикуляр к этой прямой (рис. 121). Любой отрезок, соединяющий точку с точкой прямой и не совпадающий с перпендикуляром, называют наклонной к прямой На рисунке 121 отрезок — наклонная к прямой точка — основание наклонной. При этом отрезок прямой ограниченный основаниями перпендикуляра и наклонной, называют проекцией наклонной на данную прямую.

Понятия наклонной и ее проекции взаимосвязаны с понятием перпендикуляра к прямой: невозможно указать проекцию данной наклонной, не построив перпендикуляр. Очевидно, что перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки, вместе с проекцией наклонной образуют прямоугольный треугольник, в котором наклонная является гипотенузой.

Сформулируем свойства перпендикуляра, наклонных и проекций.

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

1. любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую (рис. 122, а):
2. равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные (рис. 122, б);
3. большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (рис. 122, в).

Все эти свойства следуют из теоремы Пифагора (самостоятельно объясните почему). Но некоторые из них можно также получить и из других свойств прямоугольного треугольника.

Применение подобия треугольников

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

По данным рисунка 123 это означает, что

Пусть — биссектриса треугольника Докажем, что

В случае, если утверждение теоремы очевидно, поскольку биссектриса является одновременно и медианой. Рассмотрим случай, когда

Проведем перпендикуляры к прямой (рис. 124). Прямоугольные треугольники подобны, поскольку их острые углы при вершине равны как вертикальные. Из подобия этих треугольников имеем:

С другой стороны, прямоугольные треугольники также подобны, поскольку имеют равные острые углы при вершине Отсюда следует что

Сравнивая это равенство с предыдущем что и требовалось доказать.

Пример №22

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его биссектриса делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см.

Решение:

Пусть — биссектриса прямоугольного треугольника с гипотенузой (рис. 125).

По свойству биссектрисы треугольника

Тогда если и по теореме Пифагора имеем:

Следовательно,

тогда

Ответ: 84 см.

Метрические соотношения в окружности

Теорема (о пропорциональности отрезков хорд)

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

По данным рисунка 126 это означает, что

Пусть хорды пересекаются в точке Проведем хорды Треугольники подобны по двум углам: как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а углы при вершине равны как вертикальные. Из подобия треугольников следует, что т.е.

Теорема (о пропорциональности отрезков секущей и касательной)

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.

По данным рисунка 127 это означает, что

Пусть из точки к окружности проведены секущая, которая пересекает окружность в точках и касательная — точка касания). Проведем хорды Треугольники подобны по двум углам: у них общий угол а углы и измеряются половиной дуги (см. опорную задачу № 230). Следовательно, из подобия треугольников получаем: т.е.

Следствие

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно.

По данным рисунка 128 это означает, что

Метод подобия

Подобие треугольников дает ключ к решению задач на доказательство и вычисление, которые содержат соотношения между произведениями некоторых отрезков. Для этого соответствующие равенства превращают в пропорции, благодаря которым можно доказать подобие соответствующих треугольников.

Пример №23

Диагонали четырехугольника пересекаются в точке Докажите, что

Решение:

Перепишем данное равенство в виде пропорции Элементы этой пропорции являются соответствующими сторонами треугольников и (рис. 129). Поскольку как вертикальные, то эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними поэтому Но углы внутренние накрест лежащие при прямых и секущей Следовательно, по признаку параллельности прямых

Подобие треугольников может использоваться не только как инструмент геометрических доказательств или вычислений, но и как средство для решения задач на построение. Метод подобия для решения задач на построение заключается в построении вспомогательной фигуры, подобной искомой.

Пример №24

Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

Анализ

Обратим внимание на то, что два данных угла (пусть они равны определяют форму искомого треугольника, а длина данной биссектрисы (пусть она равна — его размеры.

При этом искомый треугольник будет подобен любому треугольнику с углами Отсюда следует план построения: строим сначала произвольный треугольник с углами проводим в нем биссектрису и, пользуясь подобием треугольников, строим искомый треугольник (рис. 130).

Построение:

1.Построим треугольник в котором

2.Построим биссектрису угла

3.Отложим на построенной биссектрисе отрезок

4.Проведем через точку прямую, параллельную Пусть — точки ее пересечения со сторонами угла Треугольник искомый.

Поскольку по построению как соответственные углы при параллельных прямых. Значит, в треугольнике — биссектриса и по построению,

Исследование

Задача имеет единственное решение при условии и ни одного, если

Итак, при решении задач на построение методом подобия следует придерживаться следующего плана.

1. Выделить из условий задачи те, которые определяют форму искомой фигуры.

2. Построить по этим данным фигуру, подобную искомой.

3. Используя условия задачи, определяющие размеры искомой фигуры, построить эту фигуру.

Среди задач на построение, связанных с подобием, одной из наиболее интересных является задача деления отрезка на две части таким образом, чтобы одна из них была средним пропорциональным между второй частью и всем отрезком. Такое деление отрезка называют делением в среднем и крайнем отношениях, или золотым сечением. Подробнее о таком делении вы можете узнать в Приложении 2.

Справочный материал по подобию треугольников

Теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки:

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Признак подобия треугольников по двум углам

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по трем сторонам

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия прямоугольных треугольников

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу:

Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: и

Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу:

Теорема Пифагора и ее следствия

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный:

если

Перпендикуляр и наклонная

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

• любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую
• равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные
• большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Метрические соотношения в окружности

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны:

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки:

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно:

Теории подобия треугольников посвящен шестой раздел «Начал» Евклида. Интересно, что, например, в геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников, которые не были бы равны. Оказывается, что аксиома параллельных прямых в евклидовой геометрии равносильна предположению о существовании подобных, но неравных треугольников. Центральное место в евклидовой геометрии занимает теорема Пифагора. Пифагор Самосский (ок. 580-500 гг. до н. э.) долгое время жил в Египте Евклид и Вавилоне, потом поселился в городе Кротон (греческая

колония на юге Италии) и основал там так называемый пифагорийский союз. Считается, что именно от пифагорейцев происходит слово «математика» (греческое «матема» означает «наука», «познание»). Свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 были известны древним египтянам и китайским ученым. Пифагор начал исследовать другие прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Рассмотрев равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами, он увидел, что длина его гипотенузы не выражается целым числом — так были открыты иррациональные числа. Вскоре Пифагору удалось доказать, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе,— именно так выглядела теорема Пифагора в классической формулировке. По легенде, в честь своего открытия он принес богам в жертву сто быков.

Сегодня нельзя с уверенностью сказать, какие из открытий пифагорейцев принадлежат самому Пифагору, а какие — его ученикам. Вообще, школа Пифагора существовала достаточно закрыто и обособленно от общества. Это породило ненависть к пифагорейцам, и школа была разгромлена, а сам Пифагор вынужден был спасаться бегством, но в дороге был убит. После смерти Пифагора его ученики разбрелись по всей Греции и стали распространять его учение, которое дошло и до наших дней.

Пифагорейский союз был одновременно и философской школой, и научным сообществом, и религиозным братством, и даже политической партией. Исследования пифагорейцев охватывали и арифметику, и философию, и музыку, и астрономию.

Подробно о подобных треугольниках

Вы знаете, что в равных треугольниках равны соответственные стороны и углы. Посмотрите на рисунок 243. Углы равны соответственным углам Δ ABC: . Но стороны в два раза больше соответственных сторон Δ ABC: . Следовательно, треугольник не равен треугольнику ABC. Треугольники и ABC — подобные.

Поскольку = 2АВ, составим отношение этих сторон:

Аналогично получим: . Каждое из этих отношений равно числу 2. Следовательно, их можно приравнять:

Из этого двойного равенства составим три пропорции:

Именно поэтому говорят, что соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны. Их называют сходственными.

Два треугольника называются подобными, если в них соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Число, которому равно отношение сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Его обозначают буквой h.

Записываем: и говорим: «Треугольник подобен треугольнику ABC*. Знак заменяет слово «подобный». Если коэффициент подобия треугольников известен, то записываем:

Для подобных треугольников, как и для равных треугольников, имеет значение порядок записи вершин. Для треугольников на рисунке 243 запись — неверна.

Пример №25

Два треугольника на рисунке 244 подобны. Найдите длину их неизвестных сторон.

Решение:

В данных треугольниках: ے A = ے ,N ےB = ے K, ے C= ے P. Составим отношение сходственных сторон:

Подставим известные длины сторон:

Приравняем первое и третье отношения, а затем — второе и третье.

Получаем: , отсюда АВ = 5,6 см;

Для того чтобы составить отношение сходственных сторон подобных треугольников:

1. определите соответственно равные углы треугольников;
2. выясните, какие их стороны являются сходственными;
3. запишите равенство трёх дробей, в их числителях — стороны одного треугольника, а в знаменателях — сходственные стороны другого.

Может ли коэффициент подобия быть равным 1? Да, может. В этом случае подобные треугольники имеют равные стороны, следовательно, они равны.

Равенство треугольников — это частный случай подобия треугольников с коэффициентом k = 1.

Пример №26

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Докажите это.

Решение:

Пусть треугольники АВС и (рис. 245) подобны с коэффициентом k.

Докажем, что

Поскольку то

Запишем периметры подобных треугольников АВС и

1. Слово «подобный» означает «имеющий общие черты с кем-либо, чем-либо; похожий на кого-либо, что-либо». Этот термин часто используют в быту, науке, производстве. Например, эскиз треугольной косынки в масштабе 1: 10 и её выкройка в натуральную величину — это подобные треугольники. А вот выкройка и сама косынка — равные треугольники.

2. Древнегреческие математики вместо термина «подобный» употребляли слово «похожий». В отечественной математической литературе русский термин «подобие» используется с 1739 г. Знак ввёл в 1679 г. немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 — 1716).

3. На рисунке 246 вы видите подобные треугольники АВС и НТР. Они расположены так, что их стороны параллельны, а прямые АН, ВТ и CP, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке О. Говорят, что такие подобные треугольники ABC и НТР имеют перспективное расположение.

Понятие перспективы известно с древности, но собственно научная теория начинает интенсивно развиваться только в эпоху Возрождения. Посредством перспективы художники достигали эффекта объёмности своих холстов. Первым, кому это удалось сделать, был выдающийся флорентийский художник Джотто ди Бон-доне (1266 — 1337). Одновременно начинается поиск научных основ перспективы. Здесь первенство принадлежит также флорентийцу Филиппо Брунеллески (1377 — 1446). Учение о перспективе развивали и активно использовали в своём творчестве выдающиеся художники Леонардо да Винчи (Италия, 1452 — 1519), Альбрехт Дюрер (Германия, 1471 — 1528) и другие. Со временем из первых геометрических ростков учения о перспективе возникла новая наука — проективная геометрия. Её основателем был французский геометр, архитектор и инженер Жерар Дезарг (1591 — 1661), а развил до уровня стройной математической теории французский математик Жан Виктор Понселе (1788 — 1867).

Обобщённая теорема Фалеса

В теореме Фалеса утверждается, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла соответственно равные отрезки. Обобщённым является случай, когда параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (рис. 253). Соответствующая теорема называется обобщённой теоремой Фалеса. Приведём её без доказательства.

Теорема (обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Обобщённую теорему Фалеса иначе называют теоремой о пропорциональных отрезках.

Следствие. Прямая, параллельная любой стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник.

Действительно, в треугольниках ABC и MNC (рис. 254) общий угол С. Его пересекают параллельные прямые АВ и MN. С секущей АС они образуют равные соответственные углы CAB и CMN. Третьи углы треугольников также равны. Докажем пропорциональность сторон треугольников.

Из обобщенной теоремы Фалеса,

поэтому

Проводим прямую NK || АС, аналогично получаем: . Но КА = MN, поэтому

Итак, в треугольниках ABC и MNC соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: ‘ Данные треугольники подобны по определению.

Для того чтобы доказать подобие треугольников:

1. докажите равенство соответственных углов данных треугольников;
2. докажите пропорциональность сходственных сторон данных треугольников;
3. сделайте вывод: треугольники подобны по определению.

1. Может возникнуть вопрос: Как доказать обобщённую теорему Фалеса? Разделим отрезок АВ на п равных отрезков (рис. 255).

Пусть длина каждого из них равна d. Тогда АВ = dn. Отложим от точки В на луче ВМ отрезки длиной d. Через все точки деления проведём прямые, параллельные ВС. Из теоремы Фалеса следует, что эти прямые отсекают равные отрезки и на стороне АС данного угла. Обозначим их длины На отрезке АС их будет одинаковое количество п, поэтому АС = n. Пусть на отрезке ВМ помещается целое количество m таких отрезков (рис. 255). На отрезке CN их также будет m. Тогда ВМ = dm, a CN = m. Найдём отношение отрезков на двух сторонах угла:

Мы видим, что два отношения равны одному и тому же числу

Следовательно, их можно приравнять:

Пусть на отрезке ВМ помещаются т отрезков длиной dn остаётся отрезок меньшей длины, чем d (рис. 256). Это означает, что отрезок из m частей длиной d меньше отрезка ВМ, а отрезок из m + 1 частей длиной d — больше этого отрезка. Пришли к неравенству: dm ے А = ے Ау Тогда стороны АВ и АС будут лежать соответственно на лучах . Прямые ВС и cообразуют с секущей равные соответственные углы: Из признака параллельности прямых следует, что,

По следствию из обобщённой теоремы Фалеса, прямая ВС параллельная стороне , отсекает от треугольника подобный треугольник. Поэтому

Следствие. Равносторонние треугольники подобны. Действительно, в равносторонних треугольниках все углы — по 60′. Поэтому треугольники подобны по двум углам.

Пример №27

В трапеции ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О (рис. 274). Докажите, что ∆АОВ

Решение:

Рассмотрим треугольники АОВ и COD. В них: ے АОВ = ے COD как вертикальные, ے ОАВ = ے OCD как внутренние разносторонние при параллельных прямых АВ и CD и секущей АС. Следовательно, ∆АОВ

∆COD по двум углам.

Для того чтобы доказать подобие двух треугольников:

1. выделите их на рисунке;
2. докажите равенство двух пар соответственных углов;
3. сделайте вывод: треугольники подобны по двум углам.

1. На свойствах подобных треугольников базируется принцип построения номограммы — специального чертежа, при помощи которого, не выполняя расчётов, можно найти корни некоторого уравнения. Рассмотрим задачу.

Пример №28

К заданному отрезку АВ в его концах и с М одной стороны от него проведены два перпендикуляра AM = а и BN = by а также отрезки MB и NA, пересекающиеся в точке О. Расстояние от О до АВ равно х. Найдите зависимость х от а и b.

Решение:

Пусть точка К (рис. 275) — основание перпендикуляра, проведённого из точки О к прямой АВ. По условию задачи, . Тогда:

Получили уравнение, выражающее искомую зависимость. Для его приближённого решения можно на листе в клеточку или миллиметровой бумаге построить (аналогично рис. 275) отрезки о и b заданной длины и измерить расстояние х— это и будет искомый корень уравнения. Такие номограммы можно использовать в задачах по физике, в частности в разделе «Оптика».

Второй и трети и признаки подобия треугольников

Вы уже знаете, что равенство треугольников можно установить по двум сторонам и углу между ними либо по трём сторонам. Признаки подобия треугольников аналогичны. Но в данном случае нужно определить не равенство, а пропорциональность соответственных сторон двух треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано:

Доказать:

Доказательство. Пусть . Отложим на стороне треугольника отрезок = АВ = с (рис. 288). Через точку В2 проведём прямую Имеем треугольник , который по следствию из теоремы Фалеса, подобен треугольнику .

Следовательно, Отсюда

Подставим в эту пропорцию известные длины сторон и сократим полученные дроби.

Имеем: . Отсюда Из равенства треугольников подобия треугольников следует, что .

Пример №29

В каждом из треугольников ABC и /?5Г(рис. 291) медиана, проведённая к большей стороне, равна половине этой стороны. Подобны ли заданные треугольники, если АС = 9, АК= 7,5, RT = б, MR = 5?

Решение:

Медианы СK и ТМ отсекают от треугольников АВС и RSТсоответственно ∆АСК и ∆RTM. В каждом из них известны три стороны: АС= 9, АК= КС— 7,5; RT= 6, RM= МТ= 5.

Выясним, пропорциональны ли сходственные стороны этих треугольников:

Следовательно, AACK ARTM по трём сторонам. Из подобия этих треугольников следует, что ے A = ے R.

Рассмотрим ∆АВС и ∆RST. У них: ے A= ے R,

∆RSTno двум сторонам и углу между ними.

Решая задачи, помните:

1. если на рисунке нет нужной пары треугольников, то для их получения проведите вспомогательные отрезки;
2. иногда необходимо доказать подобие нескольких треугольников.

1. Вы, наверное, заметили, что признаки подобия и признаки равенства треугольников имеют много общего.

Пользуясь таблицей 19, сформулируйте попарно признак равенства и признак подобия треугольников. Чем отличаются соответствующие признаки?

2. Используя признаки подобия треугольников, можно доказать, что точка пересечения высот треугольника Н, точка пересечения его медиан М и центр описанной окружности Олежат на одной прямой (рис. 292).

Эту прямую называют прямой Эйлера в честь великого математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Он родился в Базеле (Швейцария), в 1727 — 1741 гг. работал в Петербурге, затем — в Берлине, а с 1766 г. — снова в Петербурге. С его работами связаны выдающиеся достижения во всех областях математики, в механике, физике, астрономии. Теорему о прямой, получившей его имя, Л. Эйлер сформулировал, доказал и опубликовал в 1765 г.

Применение подобия треугольников

Проведём высоту CD к гипотенузе ЛВ в прямоугольном треугольнике АБС (рис. 300). Она делит гипотенузу на отрезки AD и BD, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Если стороны треугольника обозначены А малыми буквами (рис. 300), то проекции катетов а и b на гипотенузу с обозначают соответственно:

Существуют ли зависимости между проекциями катетов на гипотенузу и сторонами прямоугольного треугольника? Да, существуют.

Одна из этих зависимостей очевидна: . Другие зависимости требуют доказательства.

Отрезок x называется средним пропорциональным между отрезками а и b, если выполняется равенство а : х = х : b.

Из определения следует, что . То есть квадрат среднего пропорционального между двумя отрезками равен произведению этих отрезков. В прямоугольном треугольнике можно выделить три средних пропорциональных: высоту, проведённую к гипотенузе, и оба катета.

Теорема (о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике).

В прямоугольном треугольнике:

1. высота, проведённая к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу;
2. катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Дано: ∆АСВ (рис. 301), ے C= 90°, СH— высота.

Доказать:

Доказательство.

1) по двум углам.

Действительно, они имеют по прямому углу и ے ACH— ے CBH

Из подобия треугольников следует: Отсюда = .

2) Каждый из треугольников АНС и СНВ подобен заданному треугольнику АСВ. Это следует из равенства их соответственных углов. Тогда получим:

Следствие. Проекции катетов на гипотенузу относятся, как квадраты катетов.

Действительно, по теореме о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике, квадраты катетов соответственно равны (рис. 302).

Поэтому

Вы знаете, что биссектриса треугольника делит его угол пополам. Существует ли зависимость между отрезками, на которые биссектриса делит противолежащую сторону треугольника? Да, существует.

Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Докажите это.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 303) проведена биссектриса AL АС

Надо доказать, что

Из точек А и В проводим перпендикуляры AM и BN к прямой CL.

no двум углам. В них: , поскольку CL — биссектриса ے С. Отсюда по двум углам.

В них: ے AML = ے BNL = 90°, ے ALM— ے BLN как вертикальные.

Отсюда (2)

Из равенств (1) и (2) получим:

Подобие треугольников используют не только в задачах на доказательство или вычисление, но и на построение.

Пример №31

Постройте треугольник по двум углам А и С и биссектрисе I угла В.

Решение:

Анализ (рис. 304). Углы А и С определяют треугольники, подобные искомому, а биссектриса — размеры искомого треугольника.

Пусть — искомый. Опустим требование задачи, что I — биссектриса ے B, то есть = I. Тогда можно построить вспомогательный по двум заданным углам А и С. Через точку на биссектрисе ے В ( = I) проходит прямая , отсекающая от треугольника ABC подобный ему треугольник. Следовательно, вершины , искомого треугольника являются точками пересечения прямой С, со сторонами ВА и несоответственно вспомогательного АВС.

Построение.

1. Строим вспомогательный ∆ABC двум углам А и С.
2. Проводим биссектрису BL угла В.
3. На луче BL откладываем отрезок = I.
4. Через точку , проводим прямую .

Доказательство.

По построению, в треугольнике : ے At = ے A, ے CX = ے C, BLy — биссектриса угла В и = I. Следовательно, , — искомый.

Дано:

Способ применения подобия треугольников в задачах на построение называют методом подобия.

Для того чтобы решить задачу на построение треугольника методом подобия:

1. выделите из условия задачи те данные, которые определяют форму искомого треугольника;
2. постройте по этим данным вспомогательный треугольник, подобный искомому;
3. постройте искомый треугольник, используя те заданные условия, которые определяют его размеры.

1. Важные свойства имеет биссектриса внешнего угла треугольника.

Если треугольник равнобедренный, то биссектриса внешнего угла параллельна основанию (рис. 305). Если треугольник не равнобедренный, то биссектриса его внешнего ума пересекает противолежащую сторону в точке, расстояния от которой до вершин этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.

Пусть ABC — заданный треугольник (рис. 306), биссектриса его внешнего угла КВС пересекает продолжение стороны АС в точке D. Докажем, что DC: DA= ВС: ВА. Выполним вспомогательное построение: проведём СМ || BD. Две параллельные прямые пересекают стороны угла А, поэтому, по обобщённой теореме Фалеса, А С : CD = А М: MB, либо AD: CD=AB: MB.

Но МВ= СВ, поскольку ∆ВСМ— равнобедренный.

Действительно, в нём ے 3 = ے 4, так как ے 1 = ے 2 (BD— биссектриса ے KBC);

ے 1 = ے 3 как соответственные (BD II СМ, АВ — секущая);

ے 2 = ے 4 как внутренние накрест лежащие (BD || СМ, ВС — секущая).

Следовательно, AD : CD = АВ : СВ, то есть DC: DA = ВС: ВА.

Рассмотрите самостоятельно случаи, когда треугольник ABC— остроугольный

2. Значительный вклад в развитие теории геометрических построений сделал известный украинский математик Александр Степанович Смогоржевский.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия Аналитическая геометрия Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Решение прямоугольных треугольников
• Параллелограмм
• Теорема синусов и теорема косинусов
• Параллельность прямых и плоскостей
• Трапеция и ее свойства
• Площадь трапеции
• Центральные и вписанные углы
• Углы и расстояния в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

math4school.ru

Треугольники

Основные свойства

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Равенство треугольников

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Подобие треугольников

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Два треугольника подобны, если:

• Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
• Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
• Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Медианы треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

• Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
• Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Биссектрисы треугольника

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Длина биссектрисы угла А :

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Высоты треугольника

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Серединные перпендикуляры

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Окружность, описанная около треугольника

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Расположение центра описанной окружности

Центр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Равносторонний треугольник

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

• два катета;
• катет и гипотенуза;
• катет и прилежащий острый угол;
• катет и противолежащий острый угол;
• гипотенуза и острый угол.

• одному острому углу;
• из пропорциональности двух катетов;
• из пропорциональности катета и гипотенузы.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты:

через катет и острый угол:

через гипотенузу и острый угол:

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

Вневписанные окружности

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О₁ , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО₁ и C О₁ внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О₁О₂О₃ (точки A , B и C – основания высот в Δ О₁О₂О₃ ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О₁ , 180°–2 О₂ , 180°–2 О₃ .

Радиус окружности, описанной около Δ О₁О₂О₃ , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О₁О₂О₃ .

Если r_a , r_b , r_с – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для r –

для R –

для S –

для самих r_a , r_b , r_с –

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

• если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
• если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
• если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):